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1、 量子力学体系的哈密顿算符量子力学体系的哈密顿算符 不是时间的显函数不是时间的显函数 时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数 特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解，这样近似方特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解，这样近似方 法在量子力学中就显得十分重要。主要介绍两种应用最广法在量子力学中就显得十分重要。主要介绍两种应用最广 的近似方法：微扰论和变分法。的近似方法：微扰论和变分法。 微扰论是各种近似方法中最基本的一种，它的许多结微扰论是各种近似方法中最基本的一种，它的许多结 果几乎成为量子力学理论的组成部分，是本章学习的重果几乎成
2、为量子力学理论的组成部分，是本章学习的重 点；变分法特别适用于研究体系的基态。两种方法配合使点；变分法特别适用于研究体系的基态。两种方法配合使 用可以得出精确度较高的结果。用可以得出精确度较高的结果。第五章第五章第五章第五章 微扰理论微扰理论微扰理论微扰理论第五章第五章第五章第五章 微扰理论微扰理论微扰理论微扰理论5.1 5.1 5.1 5.1 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论不含时哈密顿算符可分为两部分不含时哈密顿算符可分为两部分右图给出了右图给出了设设是能量和波函数的一级修正是能量和波函数的一级修正,等等等等1-3式变为式变为由等式两边由等式两边同次
3、幂系数相等得同次幂系数相等得.能量和波函数的一级修正。能量和波函数的一级修正。非简并情况下，非简并情况下，等式左边为等式左边为由可得到由可得到求出求出 可由可由5.1-9求出求出代入可得代入可得微扰矩阵元微扰矩阵元上式简化为上式简化为或或代入可得代入可得求二级修正，把代入，求二级修正，把代入，=0=0由由5.1-10可求出可求出 同理，可求出更高级修正。同理，可求出更高级修正。体系能量为体系能量为体系波函数为体系波函数为级数和要收敛才有意义。但不知其一般项，级数和要收敛才有意义。但不知其一般项，故要求已知项中后面项要远小于前面的项。即故要求已知项中后面项要远小于前面的项。即如库仑场，能量与如库
4、仑场，能量与n的二次方成反比，微扰理论只适用的二次方成反比，微扰理论只适用于低能级修正。于低能级修正。 例例 1 一电荷为一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场的线性谐振子受恒定弱电场作用，作用，电场沿电场沿x正方向。用定态微扰法求体系能量和波函数。正方向。用定态微扰法求体系能量和波函数。解：解：对于弱电场，最后一项很小，令对于弱电场，最后一项很小，令能量一级修正为能量一级修正为由于积分函数为奇函数由于积分函数为奇函数须求二级修正。须求二级修正。微扰矩阵元微扰矩阵元根据厄密多项式递推关系得（）根据厄密多项式递推关系得（）例题例题2 设氢原子中价电子所受有效作用势为设氢原子中价电子所受有效作用势为其
5、中其中 ， 试用微扰论公式计算基态能试用微扰论公式计算基态能量。量。 解：因为解：因为 所以所以 由由 决定的基态能量和波函数为决定的基态能量和波函数为 基态能量的一级修正为基态能量的一级修正为 基态能量的一级近似为基态能量的一级近似为 解：（解：（1）首先看）首先看 的矩阵元的矩阵元 即即 在自身表象为对角矩阵，本问题在自身表象为对角矩阵，本问题 可写为可写为 于是可得微扰矩阵元于是可得微扰矩阵元 例题例题3 二维空间哈密顿算符二维空间哈密顿算符 在能量表象中的矩阵表示在能量表象中的矩阵表示为为 其中其中 为小的实数。用微扰公式求能量至二级修正为小的实数。用微扰公式求能量至二级修正. 所以所以 同理可得同理可得5.2 5.2 5.2 5.2 简并情况下的微扰理论简并情况下的微扰理论简并情况下的微扰理论简并情况下的微扰理论设设代入得代入得式中式中有解的条件为有解的条件为
