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1、2.4.1 平面向量数量积的平面向量数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义复习向量的夹角复习向量的夹角OABOABOAB已知已知两个非零向量两个非零向量 和和 ，作作 ， ，则则 叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAB物理问物理问 题题sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那么力，那么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？为此，我们引入向量为此，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。 功是一个功是一个标量标量，它由力和位移两个向量来确定，它由力和位移两个向量来确定.这给这给我们一种启示，能否把我们一种启示，能否把“功功”看成是这两个向
2、量的一种运看成是这两个向量的一种运算的结果呢？算的结果呢？其中其中是是 F 与与 s 的夹角的夹角 .W = |F|s| cos现在我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，现在我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；一、平面向量数量积的定义一、平面向量数量积的定义规定：零向量与任一向量的数量积为规定：零向量与任一向量的数量积为0，即即 1、定义：已知两个非零向量、定义：已知两个非零向量 与与 ，我们把数量，我们把数量 叫叫作作 与与 的的数
3、量积数量积（或（或内积内积），记作），记作 ，即，即问题问题1：向量的数量积是一个数量，那么它什向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？ 问题问题2 2：向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？什么不同？向量的向量的线性运算的性运算的结果是果是向量向量两向量的数量积是一个两向量的数量积是一个数量数量2 2、向量数量积的性质、向量数量积的性质二、平面向量数量积的几何意义二、平面向量数量积的几何意义向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？ 投影一定是正数吗？投影一
4、定是正数吗？| b | cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影OABab，过点，过点B作作垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则| b | cosacos说明：说明：（2）投影是一个数量，不是向量。）投影是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABab为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0当当 = 0 时投影为时投影为|b|当当 = 180 时投影为时投影为-|b|.问题：根据投影的概念，数量积问题：根据投影的概念，数量积 的几何意义是什么？的几何意义是什么？ 数量积数量积
5、ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积. .交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：三、数量积的运算律三、数量积的运算律运算律（运算律（2）（）（3）的证明在下节给出）的证明在下节给出 向量向量数量积数量积不满足不满足结合律结合律 .说明：说明： 向量向量数量积数量积不满足消去不满足消去律律 应用举例课堂小结：课堂小结：1、向量的数量积的定义、向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 2、向量数量积的性质、向量数量积的性质3、向量数量积的几何意义、向量数量积的几何意义4、数量积运算律、数量积运算律作业作业第108页，A组 1 、3、 6、 7、 8课时训练22
