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1、 前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理前几章介绍了量子力学的基本理论，使用这些理论解决了一些简单问题。如：论解决了一些简单问题。如： （1）一维无限深势阱问题；）一维无限深势阱问题； （2）线性谐振子问题；）线性谐振子问题； （3）势垒贯穿问题；）势垒贯穿问题； （4）氢原子问题。）氢原子问题。 这些问题都给出了问题的精确解析解。这些问题都给出了问题的精确解析解。 然然而而，对对于于大大量量的的实实际际物物理理问问题题，Schrdinger 方方程程能能有有精精确确解解的的情情况况很很少少。通通常常体体系系的的 Hamilton 量量是是比比较较复复杂杂的的，往往往往不不能能精精确确求求
2、解解。因因此此，在在处处理理复复杂杂的的实实际际问问题题时时，量量子子力力学学求求问问题题近近似似解解的的方方法法（简简称称近似方法）就显得特别重要。近似方法）就显得特别重要。第五章第五章 定态微扰论定态微扰论 原子的能级原子的能级无简并定态微扰论无简并定态微扰论2 近似方法的出发点近似方法的出发点近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求较复杂问题的近似（解析）解。微扰论来求较复杂问题的近似（解析）解。微扰论, 变分法变分法, 绝热近似绝热近似, 准经典近似等准经典近似等3 近似解问题分为两类近似解问题分为两类 1）体系）体系 Ham
3、ilton 量不是时间的显函数量不是时间的显函数定态问题定态问题（2）体体系系 Hamilton 量量显显含含时时间间状状态态之之间间的的跃跃迁迁问题问题与时间与时间 t 有关的微扰理论有关的微扰理论 定态微扰论定态微扰论; 变分法变分法.无简并定态微扰论无简并定态微扰论称为微扰算符称为微扰算符.(2) 很小，其具体要求是很小，其具体要求是其中，其中，（1） 可以分解成两部分可以分解成两部分于是本征方程可变为于是本征方程可变为其中，其中， 的本征方程的本征方程必须能精确求解必须能精确求解.可用可用 作作为粗略判断粗略判断无简并定态微扰论无简并定态微扰论5.1 无无简并定并定态微微扰论无简并是指
4、无简并是指 的本征值谱中，一个本征值只对应一个的本征值谱中，一个本征值只对应一个波函数，即波函数，即定态微扰论相当于研究下述情况：定态微扰论相当于研究下述情况：无微扰时，无微扰时，1. 建立级数修正项方程建立级数修正项方程无简并定态微扰论无简并定态微扰论由于由于所以，体系受微扰后，其状态变化较小，所以，体系受微扰后，其状态变化较小，把上面的把上面的E和和 代入代入 的本征方程中，的本征方程中，再把同级小量分别集中加在一起，得再把同级小量分别集中加在一起，得无简并定态微扰论无简并定态微扰论要使上面等式成立，等式两边同级小量之和必须对应相要使上面等式成立，等式两边同级小量之和必须对应相等，于是得到
5、一系列求各级修正项的方程等，于是得到一系列求各级修正项的方程(1)(2)(3)无简并定态微扰论无简并定态微扰论于是可以得到于是可以得到类似可以得到类似可以得到 等等等等.2. 一级修正的表达式一级修正的表达式按按 本征函数本征函数 展开展开（4）把上式代入方程把上式代入方程 中可得，中可得，无简并定态微扰论无简并定态微扰论用用 左乘上式两左乘上式两边，再，再对整个空整个空间积分，利用本征函数的分，利用本征函数的正交正交归一性化一性化简，得，得称称为微微扰矩矩阵元元（5）无简并定态微扰论无简并定态微扰论当当m=k时，即取，即取 时， ，于是从，于是从(5)式可式可得到得到E的一的一级修正修正为求
6、求 ，现在求在求(4)式中各叠加系数。式中各叠加系数。（5）当当mk时，由，由(5)式可得叠加系数式可得叠加系数或或还有有 没有求出，可由没有求出，可由归一化条件一化条件 求得求得.无简并定态微扰论无简并定态微扰论此此时，于是于是归一化条件一化条件为必必须把把 代入上式，得代入上式，得为纯虚数虚数无简并定态微扰论无简并定态微扰论如果如果 为纯虚数，虚数，则设因此，可以因此，可以选无简并定态微扰论无简并定态微扰论于是于是 的一的一级修正修正为（6）（7）把把(4)式式 和上面和上面(7)式代入方程式代入方程(3)式中，式中，(3)，得，得无简并定态微扰论无简并定态微扰论当当m=k时，即取，即取
7、，上式可，上式可变为用用 左乘上式两左乘上式两边，再，再对整个空整个空间积分，并利用正交分，并利用正交归一性化一性化简可得可得无简并定态微扰论无简并定态微扰论通常情况下，用微通常情况下，用微扰法法对E最多最多计算到二算到二级近似，近似，对 则只只计算到一算到一级近似近似.=0无简并定态微扰论无简并定态微扰论至此，至此，具体要求具体要求此条件可保此条件可保证 很小，很小， 也很小。也很小。级数数收收敛很快，求到很快，求到 和和已足已足够精确。精确。无简并定态微扰论无简并定态微扰论例：例：一一维无限深无限深势阱阱(0xa)中的粒子，受到微中的粒子，受到微扰 的的作用，求基作用，求基态能量的一能量的
8、一级修正修正.解：一解：一维无限深无限深势阱中，粒子能量的本征函数阱中，粒子能量的本征函数(无无简并并)为对于基于基态，k=1，无简并定态微扰论无简并定态微扰论基基态能量的一能量的一级修正修正值为无简并定态微扰论无简并定态微扰论例：例：设一体系的哈密一体系的哈密顿量量为 ，其中，其中的的实数数.求在二求在二级近似下的能量本征近似下的能量本征值.微微扰 作用后，两个能作用后，两个能级能量的一能量的一级修正修正值分分别为解：解：无简并定态微扰论无简并定态微扰论二二级修正修正值：因此，在二因此，在二级近似下，两个能近似下，两个能级的能量分的能量分别为无简并定态微扰论无简并定态微扰论1.设一含微一含微扰体系的哈密体系的哈密顿量量为求能量的二求能量的二级修正修正值.其中，其中， 是是对角化的，而角化的，而作作业题2. 习题141页，第一，第一题无简并定态微扰论无简并定态微扰论
