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1、1实变函数实变函数期末辅导期末辅导一、考试题型证明题：每题10分或15分，共100分.二、总复习提纲1.作业复习范围 课件上每章练习题和综合模拟试题，三次网络作业。22.重点难点内容提要第一章 集与点集：会求集合列的上、下极限；判断两集合的对等，求集合的基数，判断集合的可数性，掌握开集、闭集、完备集、稠集、疏集、 型集和 型集的概念及其性质，会求一个点集的内部、导集、闭包、边界；掌握Cantor集P的结构和性质.3第二章 测度与可测函数：掌握可测集和测度的概念及其性质；会求一些常见可测集的测度（例如：可数集的测度，区间和区域的测度等）；测度的完备性；零测度集的概念及其性质；会判断一个集合的可测
2、性；掌握可测函数的概念及其性质；重点掌握特征函数的性质；会判断一个函数是否可测函数；掌握可测函数列几种收敛性之间的关系（包括处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、几乎一致收敛、测度收敛）4第三章 Lebesgue积分：掌握 Lebesgue 积分的定义（包括非负简单函数的积分、非负可测函数的积分、一般可测函数的积分）及其性质；会判断一个函数是否L可积；掌握三大积分收敛定理及其推论；掌握R积分与L积分之间的区别和联系；掌握Fubini 定理及其应用. 5第四章 微分论：掌握单调增函数的连续性、可积性和可微性；有界变差函数的概念及其性质；会利用全变差的可加性和单调函数全变差公式来求一个函数的全变差；绝
3、对连续函数的概念及其性质；会利用牛顿莱布尼兹公式判断一个函数是否绝对连续；掌握几类函数之间的关系（包括连续可微函数、Lipschitz函数、绝对连续函数、 有界变差函数、单调函数、连续函数）. 6三、典型问题解答（共10个例题）例1.设，若和都是可测集，且，则也是可测集.7证明已知.因为，所以为零测度集，又因为也是可测集，所以为可测集.例2.设，而且（一致收敛），则且.8证明 因为 ，所以存在 ，使当 时， 对一切 都有从而 因为 且 ，所以 取 作为函数列 的控制函数， 则由Lebesgue控制收敛定理知 且9例3.设，则.证明令，则且时）因为，所以，从而由积分的可加性知，故级数收敛，从而1
4、0又因为从而例4设为上单增有界函数，求证11证明已知为上单增有界函数，则和都是有限数.对任意，则在上为单增有界函数，从而由定理知在上几乎处处可微，且.于，从而在上几乎处处可微，且于R，为R上可测函数.12不妨设在R上非负，已知，则由积分的下连续性知故13例5.设是上的绝对连续函数列，且,求证在上几乎处处存在有限导数，而且.证明已知对每一个是上的绝对连续函数，从而由牛顿莱布尼兹公式知14因为且所以由控制收敛定理知，而且，当然也有从而15即.已知，所以在上几乎处处存在有限导数，而且.从而也在上几乎处处存在有限导数，而且16例6设在E上可积，均为可测集，且，求证.证明由在E上可积，所以由积分的绝对连续性知，对任意，存在，只要且，就有.因，所以对，存在，当时，有从而即.例7求，其中.解因，所以，且在0，1上几乎处处有限，当时，而且在0，1上几乎处处小于1，从而函数列在0，1上几乎处处收敛于零.又因，故由控制收敛定理知原式.例8设是有限可测函数，为连续或单调函数，则可测.证明：（1）当时，由于为R中开集，所以为R中开集，从而为R中可数个互不相交的构成区间的并集，即，从而又因可测，所以为可测集，从而为可测集，故为可测函数.（2）当为单调函数时，不妨设单调增加，则有以下三种情况：因为可测函数，所以不论哪种情况都有为可测集，故为可测函数.1920212223
