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1、概率的加法公式概率的加法公式 1 1事件的包含事件的包含 若事件若事件B发生发生,则事件则事件A一定发生，则称一定发生，则称事件事件A包含事件包含事件B。记作记作：A B。 小范围发生小范围发生, ,则大范围必发生。则大范围必发生。 一、一、 事件的关系及其运算事件的关系及其运算2 2事件的和事件的和 “事件事件A与与B中至少有一个发生中至少有一个发生”这样的这样的事件叫做事件叫做事件事件A与事件与事件B的并或和的并或和。记作记作：C=AB（或（或C=A+B） 如图中阴影部分所表示的就是如图中阴影部分所表示的就是AB.3二、互斥事件、事件的并、对立事件二、互斥事件、事件的并、对立事件 1互斥事
2、件互斥事件：不可能同时发生的两个事：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（件叫做互斥事件（互不相容事件互不相容事件）例：抛掷一颗骰子，例：抛掷一颗骰子，A为为“出现奇数点出现奇数点”、B为为“出现出现2点点”显然显然, A与与B不可能同时发生不可能同时发生,即即: A与与B为互不相容事件为互不相容事件.4 假定事件假定事件A与与B互斥，则互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。 二、互斥事件的概率加法公式二、互斥事件的概率加法公式 证明：假定证明：假定A、B为互斥事件，在为互斥事件，在n次试验次试验中，事件中，事件A出现的频数为出现的频数为n1，事件，事件B出现的出现的频数为频数为n2，则事件
3、，则事件AB出现的频数正好是出现的频数正好是n1+n2，所以事件，所以事件AB的频率为的频率为 5 如果用如果用n(A)表示在表示在n次试验中事件次试验中事件A出现出现的频率，则有的频率，则有n(AB)=n(A)+n(B). 由概率的统计定义可知，由概率的统计定义可知，P(AB)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An彼此互彼此互斥，那么斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和的和. 6若A、B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)例例1中事件中事件C：“出现奇数点或出现奇
4、数点或2点点”的概的概率是事件率是事件A：“出现奇数点出现奇数点”的概率与事的概率与事件件B：“出现出现2点点”的概率之和，即的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=7例例4. 在数学考试中，小明的成绩在在数学考试中，小明的成绩在90分以分以上的概率是上的概率是0.18，在，在8089分的概率是分的概率是0.51,在在7079分的概率是分的概率是0.15，在，在6069分的概分的概率是率是0.09，计算小明在数学考试中取得，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解：解： 分别记小明的成绩在分别记小明的成绩在90分以上，在分以上
5、，在8089分，在分，在7079分，在分，在6069分为事件分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成根据概率的加法公式，小明的考试成绩在绩在80分以上的概率是分以上的概率是P(BC)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.8小明考试及格的概率为小明考试及格的概率为 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.在上面的例题中，若令在上面的例题中，若令A=“小明考试及格小明考试及格”,则则A=“小明考试不及格小明考试不及格”显然A与 是互斥事件，且A或
6、必有一个发生92对立事件对立事件：不能同时发生且必有一个：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。发生的两个事件叫做互为对立事件。事件事件A的对立事件记作的对立事件记作.10对立事件的概率对立事件的概率 若事件若事件A的对立事件为的对立事件为A，则，则P(A)=1P(A).证明：事件证明：事件A与与A是互斥事件，所以是互斥事件，所以P(AA)=P(A)+P(A)，又，又AA=， 而由必然事件得到而由必然事件得到P()=1, 故故P(A)=1P(A).11P(A)=1P(A)=10.93=0.07.即小明考试不及格的概率是即小明考试不及格的概率是0.07.12互斥事件互斥事件: :
7、不同时发生的两个或多个事件不同时发生的两个或多个事件对立事件对立事件: :必有一个发生的两个彼此互斥的必有一个发生的两个彼此互斥的事件事件互斥事件互斥事件 P(A+B) = P(A) + P(B)对立事件对立事件P(A)=1互斥未必对立互斥未必对立对立一定互斥对立一定互斥小结小结13例例1.判断下列各对事件是否是互斥事件，判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明理由。并说明理由。 某小组有某小组有3名男生和名男生和2名女生，从中任选名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有）恰有1名男生和恰有名男生和恰有2名男生；名男生；（2）至少有）至少有1名男生和至少有
8、名男生和至少有1名女生；名女生；（3）至少有）至少有1名男生和全是男生；名男生和全是男生；（4）至少有）至少有1名男生和全是女生。名男生和全是女生。例题选讲例题选讲14例例2.判断下列给出的每对事件，（判断下列给出的每对事件，（1）是否）是否为互斥事件，（为互斥事件，（2）是否为对立事件，并）是否为对立事件，并说明理由。说明理由。 从从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从花，点数从110各各4张）中，任取张）中，任取1张：张：（1）“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数
9、为抽出的牌点数为5的倍数的倍数”与与“抽出抽出的牌点数大于的牌点数大于9”。15 在求某些较为复杂事件的概率时，先在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概率加法公式具有因此互斥事件的概率加法公式具有“化整化整为零、化难为易为零、化难为易”的功效，但需要注意的的功效，但需要注意的是使用该公式时是使用该公式时必须检验是否满足它的必须检验是否满足它的前提条件前提条件“彼此互斥彼此互斥”.
10、16例例3. 某战士射击一次，问：某战士射击一次，问：（1）若事件）若事件A=“中靶中靶”的概率为的概率为0.95，则，则A的概率为多少？的概率为多少？（2）若事件）若事件B=“中靶环数大于中靶环数大于5”的概率为的概率为0.7 ，那么事件，那么事件C=“中靶环数小于中靶环数小于6”的概率的概率为多少？为多少？（3）事件）事件D=“中靶环数大于中靶环数大于0且小于且小于6”的的概率是多少？概率是多少？ 17解：因为解：因为A与与A互为对立事件，互为对立事件，（1）P(A)=1P(A)=0.05； （2）事件）事件B与事件与事件C也是互为对立事件，也是互为对立事件，所以所以P(C)=1P(B)=
11、0.3；（3）事件）事件D的概率应等于中靶环数小于的概率应等于中靶环数小于6的概率减去未中靶的概率，即的概率减去未中靶的概率，即P(D)=P(C)P(A)=0.30.05=0.2518例例4.盒内装有各色球盒内装有各色球12只，其中只，其中5红、红、4黑、黑、2白、白、1绿，从中取绿，从中取1球，设事件球，设事件A为为“取出取出1只红球只红球”，事件，事件B为为“取出取出1只黑球只黑球”，事件，事件C为为“取出取出1只白球只白球”，事件，事件D为为“取出取出1只绿球只绿球”.已知已知P(A)= ，P(B)= , P(C)= ，P(D)= ，求：（求：（1）“取出取出1球为红或黑球为红或黑”的概
12、率；的概率；（2）“取出取出1球为红或黑或白球为红或黑或白”的概率的概率.19解：（解：（1）“取出红球或黑球取出红球或黑球”的概率为的概率为P(AB)=P(A)+P(B)= ；（2）“取出红或黑或白球取出红或黑或白球”的概率为的概率为P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)= 。又（又（2）ABC的对立事件为的对立事件为D，所以所以P(ABC)=1P(D)= 即为所求即为所求.20例例5. 某公务员去开会，他乘火车、轮船、某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4，（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；）求他乘火车或乘飞机去的
13、概率；（2）求他不乘轮船去的概率；）求他不乘轮船去的概率；（3）如果他乘某种交通工具去开会的概）如果他乘某种交通工具去开会的概率为率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具，请问他有可能是乘何种交通工具去的？去的？ 21解：记解：记“他乘火车去他乘火车去”为事件为事件A，“他乘他乘轮船去轮船去”为事件为事件B，“他乘汽车去他乘汽车去”为事件为事件C，“他乘飞机去他乘飞机去”为事件为事件D，这四个事件，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥，不可能同时发生，故它们彼此互斥， （1）故）故P(AC)=0.4； （2）设他不乘轮船去的概率为）设他不乘轮船去的概率为P，则，则P=1P(B)=0.8；
14、（3）由于）由于0.5=0.1+0.4=0.2+0.3，故他有，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去。车或乘飞机去。221从从1，2，9中任取两数，其中：中任取两数，其中：恰有一个偶数和恰有一个奇数；恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有至少有一个奇数和两个都是奇数；一个奇数和两个都是奇数；至少有一个至少有一个奇数和两个都是偶数；奇数和两个都是偶数；至少有一个奇数至少有一个奇数和至少有一个偶数。在上述事件中，是对和至少有一个偶数。在上述事件中，是对立事件的是（立事件的是（ ） （A） （B） （C） （D）C练习题：练习题：232.甲、乙甲、乙2人
15、下棋，下成和棋的概率是人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是，则甲不胜的概率是（ ） A. B. C. D. B243. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（是（ ）A.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是黑球都是黑球”B.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“至少有一个红球至少有一个红球”C.“恰有一个黑球恰有一个黑球”与与“恰有两个黑球恰有两个黑球”D.“至少有一个黑球至少有一个黑球”与与“都是红球都是红球” C254.抽查抽查10件产品，
16、设事件件产品，设事件A：至少有两件：至少有两件次品，则次品，则A的对立事件为（的对立事件为（ ） A. 至多两件次品至多两件次品 B. 至多一件次品至多一件次品 C. 至多两件正品至多两件正品 D. 至少两件正品至少两件正品B265. 从一批羽毛球产品中任取一个，其质量从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于小于4.8 g的概率为的概率为0.3，质量小于，质量小于4.85 g的的概率为概率为0.32，那么质量在，那么质量在4.8，4.85) (g)范范围内的概率是围内的概率是 （ ） A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68C276.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙某产品分甲、乙
17、、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为率为0.03、丙级品的概率为、丙级品的概率为0.01，则对成，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96D287.某射手射击一次击中某射手射击一次击中10环、环、9环、环、8环的环的概率分别是概率分别是0.3，0.3，0.2，那么他射击一，那么他射击一次不够次不够8环的概率是环的概率是 。 0.28. 某人在打靶中，连续射击某人在打靶中，连续射击2次，事件次，事件“至至少有一次中靶少有一次中靶”的互斥事件是的互斥事件是
18、.两次都不中靶两次都不中靶299. 我国西部一个地区的年降水量在下列区我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：间内的概率如下表所示：年降水量年降水量/mm100，150）150，200）200，250）250，300概率概率0.210.160.130.12则年降水量在则年降水量在200，300（mm）范围内）范围内的概率是的概率是_.0.253010.某射手在一次射击中射中某射手在一次射击中射中10环、环、9环、环、8环、环、7环、环、7环以下的概率分别为环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一计算这个射手在一次射击中：次射击中：（1）射中）射中10环或环或9环的概率，环的概率，（2）至少射中）至少射中7环的概率；环的概率；（3）射中环数不足）射中环数不足8环的概率环的概率. 0.520.870.2931个人观点供参考，欢迎讨论
