《高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 第一课时 证明平行和垂直课件 理 新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 第一课时 证明平行和垂直课件 理 新人教版（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第7 7节立体几何中的向量方法节立体几何中的向量方法考纲展示考纲展示1.1.理理解解直直线线的的方方向向向向量量与与平平面的法向量面的法向量. .2.2.能能用用向向量量语语言言表表述述线线线线、线线面面、面面面面的的平平行行和和垂垂直直关关系系, ,能能用用向向量量方方法法证证明明立立体体几几何何中中有有关关线线面面位位置置关关系系的的一一些些简简单单定定理理( (包包括括三三垂垂线线定理定理). ). 3.3.能用向量方法解决直线与直线、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题的计算问题, ,了解向量方法在研了解向量方法在研究立体几何
2、中的应用究立体几何中的应用. . 知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读教材导读】 1.1.直线的方向向量、平面的法向量都是唯一确定的吗直线的方向向量、平面的法向量都是唯一确定的吗? ?提示提示: :不是唯一确定不是唯一确定, ,一条直线的方向向量有无数个一条直线的方向向量有无数个, ,平面的法向量有无数个平面的法向量有无数个. .2.2.若空间向量若空间向量a a平行于平面平行于平面, ,则则a a所在直线与平面所在直线与平面平行吗平行吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,也可能在平
3、面内也可能在平面内, ,因为向量是自由向量因为向量是自由向量, ,共线与平行是一种关系共线与平行是一种关系. .向量所在的直线可以在平面内向量所在的直线可以在平面内, ,这样的向量也是和平面平行的这样的向量也是和平面平行的. .3.3.两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,向量的夹角范围为向量的夹角范围为0,0,而两直线的夹角为而两直线的夹角为 0, 0, . .知识梳理知识梳理 1.1.直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量和平面的法向量(1)(1)直线的方向向量直线的方向向量. .直线直线l l
4、上的向量上的向量e e或与或与e e共线的向量叫做直线共线的向量叫做直线l l的方向向量的方向向量, ,显然一条直线的方向向量有显然一条直线的方向向量有 个个. .(2)(2)平面的法向量平面的法向量. .如果表示向量如果表示向量n n的有向线段所在直线垂直于平面的有向线段所在直线垂直于平面,则称这则称这个向量垂直于平面个向量垂直于平面,记作记作n n, ,此时向量此时向量n n叫做平面叫做平面的法向量的法向量. .显然一个显然一个平面的法向量有平面的法向量有 个个, ,且它们是且它们是 向量向量. .2.2.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量
5、方法设直线设直线l l的方向向量为的方向向量为a a=(a=(a1 1,b,b1 1,c,c1 1).).平面平面,的法向量分别为的法向量分别为=(a=(a2 2,b,b2 2,c,c2 2),),v v= =(a(a3 3,b,b3 3,c,c3 3).).(1)(1)线面平行线面平行lla aa a=0=0a a1 1a a2 2+b+b1 1b b2 2+c+c1 1c c2 2=0.=0.无数无数无数无数共线共线(2)(2)线面垂直线面垂直lla aa a=k=ka a1 1=ka=ka2 2,b,b1 1=kb=kb2 2,c,c1 1=kc=kc2 2. .(3)(3)面面平行面面
6、平行v v=v va a2 2=a=a3 3,b,b2 2=b=b3 3,c,c2 2=c=c3 3. .(4)(4)面面垂直面面垂直v vv v=0=0a a2 2a a3 3+b+b2 2b b3 3+c+c2 2c c3 3=0.=0.(3)(3)求二面角的大小求二面角的大小若若AB,CDAB,CD分别是二面角分别是二面角-l-l-的两个面内与棱的两个面内与棱l l垂直的异面直线垂直的异面直线, ,则二面则二面角的大小就是角的大小就是 的夹角的夹角( (如图如图(1).(1).设设n n1 1,n,n2 2分分别别是是二二面面角角- -l l- -的的两两个个面面,的的法法向向量量, ,
7、则则向向量量n n1 1与与n n2 2的的夹夹角角( (或或其其补补角角) )的的大大小小就就是是二二面面角角的的平平面面角角的的大大小小( (如如图图(2)(3),(2)(3),其其中中图图(2)(2)中中向量夹角的大小即为二面角平面角向量夹角的大小即为二面角平面角, ,图图(3)(3)中则为其补角中则为其补角).).(3)(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)(2)中方法求解中方法求解. .双基自测双基自测 1.1.若平面若平面的一个法向量为的一个法向量为(1,2,0),(1,2,0),平面平面的一个法向量为的一个法向量为(2,-1,0),(2,
8、-1,0),则平则平面面和平面和平面的位置关系是的位置关系是( ( ) )(A)(A)平行平行(B)(B)相交但不垂直相交但不垂直(C)(C)垂直垂直(D)(D)重合重合C C解析解析: :由由(1,2,0)(1,2,0)(2,-1,0)=1(2,-1,0)=12+22+2(-1)+0(-1)+00=0,0=0,知两平面的法向量互相知两平面的法向量互相垂直垂直, ,所以两平面互相垂直所以两平面互相垂直. .2.2.已知平面已知平面内有一个点内有一个点M(1,-1,2),M(1,-1,2),平面平面的一个法向量是的一个法向量是n n=(6,-3,6),=(6,-3,6),则则下列点下列点P P在
9、平面在平面内的是内的是( ( ) )(A)P(2,3,3)(A)P(2,3,3)(B)P(-2,0,1)(B)P(-2,0,1)(C)P(-4,4,0)(C)P(-4,4,0)(D)P(3,-3,4)(D)P(3,-3,4)A A3.3.如图所示如图所示, ,在正方体在正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,已知已知M,NM,N分别是分别是BDBD和和ADAD的中点的中点, ,则则B B1 1M M与与D D1 1N N所成角的余弦值为所成角的余弦值为( ( ) )A A4.4.导学号导学号 38486160 38486160 在正方体在正方体AB
10、CDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,点点E E为为BBBB1 1的中点的中点, ,则平面则平面A A1 1EDED与平面与平面ABCDABCD所成的锐二面角的余弦值为所成的锐二面角的余弦值为( ( ) )B B5.5.在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,PA,PA平面平面ABC,BAC=90ABC,BAC=90,D,E,F,D,E,F分别是棱分别是棱AB,BC,CPAB,BC,CP的中的中点点,AB=AC=1,PA=2,AB=AC=1,PA=2,则直线则直线PAPA与平面与平面DEFDEF所成角的正弦值为所成角的正弦值为( ( ) )C C第一课时
11、证明平行和垂直第一课时证明平行和垂直 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 利用空间向量证明平行问题利用空间向量证明平行问题【例例1 1】 导学号导学号 18702396 18702396 如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中,PC,PC平面平面ABCD,PC=2,ABCD,PC=2,在四边形在四边形ABCDABCD中中,ABC=BCD=90,ABC=BCD=90,AB=4,CD=1,AB=4,CD=1,点点M M在在PBPB上上,PB=4PM,PB,PB=4PM,PB与平面与平面ABCDABCD成成3030的角的角. .求证
12、求证: :(1)CM(1)CM平面平面PAD;PAD;(2)(2)平面平面PABPAB平面平面PAD.PAD.反思归纳反思归纳 利用向量法证明平行问题的三种方法利用向量法证明平行问题的三种方法(1)(1)证明线线平行证明线线平行: :两条直线的方向向量平行两条直线的方向向量平行. .(2)(2)证明线面平行证明线面平行: :该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; ;证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; ;证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示证明该直线的方向向量可以用平面内
13、的两个不共线的向量线性表示. .(3)(3)证明面面平行证明面面平行: :两个平面的法向量平行两个平面的法向量平行. .跟踪训练跟踪训练1:1:如图所示如图所示, ,在正方体在正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,M,N,M,N分别是分别是C C1 1C,BC,B1 1C C1 1的中点的中点, ,求证求证:MN:MN平面平面A A1 1BD.BD.考点二考点二 利用空间向量证明垂直问题利用空间向量证明垂直问题【例例2 2】 导学号导学号 18702397 18702397 如图所示如图所示, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中,PA
14、,PA底面底面ABCD,ABABCD,ABAD,ACCD,ABC=60AD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E,PA=AB=BC,E是是PCPC的中点的中点. .证明证明: :(1)AECD;(1)AECD;(2)PD(2)PD平面平面ABE.ABE.跟踪训练跟踪训练2 2: :正三棱柱正三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1的所有棱长都为的所有棱长都为2,D2,D为为CCCC1 1的中点的中点. .求证求证:AB:AB1 1平平面面A A1 1BD.BD.证明证明: :如图所示如图所示, ,取取BCBC的中点的中点O,O,连接连接AO.AO.因为因为ABCAB
15、C为正三角形为正三角形, ,所以所以AOBC.AOBC.因为在正三棱柱因为在正三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中, ,平面平面ABCABC平面平面BCCBCC1 1B B1 1, ,所以所以AOAO平面平面BCCBCC1 1B B1 1. .考点三考点三 利用空间向量解决与垂直、平行有关的探索问题利用空间向量解决与垂直、平行有关的探索问题【例例3 3】 导学号导学号 38486162 (201638486162 (2016北京卷北京卷) )如图如图, ,在四棱锥在四棱锥P P- -ABCDABCD中中, ,平面平面PADPAD平面平面ABCD,PAPD ,PA=P
16、D,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= .ABCD,PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= .(1)(1)求证求证:PD:PD平面平面PAB; PAB; (1)(1)证明证明: :因为平面因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABAD,ABCD,ABAD,所以所以ABAB平面平面PAD.PAD.所以所以ABPD.ABPD.又因为又因为PAPD,ABPA=A,PAPD,ABPA=A,所以所以PDPD平面平面PAB.PAB.(2)(2)解解: :取取ADAD的中点的中点O,O,连接连接PO,CO.PO,CO.因为因为PA=PD,PA=PD,所以所以POAD.PO
17、AD.又因为又因为POPO 平面平面PAD,PAD,平面平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,所以所以POPO平面平面ABCD.ABCD.因为因为COCO 平面平面ABCD,ABCD,所以所以POCO.POCO.因为因为AC=CD,AC=CD,所以所以COAD.COAD.如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系O O- -xyz.xyz.由题意得由题意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).(2)(2)求直线求直线PBPB与平面与平面P
18、CDPCD所成角的正弦值所成角的正弦值; ;(3)(3)在棱在棱PAPA上是否存在点上是否存在点M,M,使得使得BMBM平面平面PCD?PCD?若存在若存在, ,求求 的值的值; ;若不存在若不存在, ,说明理由说明理由. .反思归纳反思归纳 立体几何开放性问题求解方法有以下两种立体几何开放性问题求解方法有以下两种(1)(1)根据条件做出判断根据条件做出判断, ,再进一步论证再进一步论证. .(2)(2)假设所求的点或线存在假设所求的点或线存在, ,并设定参数表达已知条件并设定参数表达已知条件, ,根据题目进行求解根据题目进行求解, ,若若能求出参数的值且符合已知限定的范围能求出参数的值且符合
19、已知限定的范围, ,则存在则存在. .备选例题备选例题 【例例1 1】 如图所示如图所示, ,正方体正方体ABCDABCD- -ABCDABCD的棱长为的棱长为1,E,F1,E,F分别是分别是BC,CDBC,CD上上的点的点, ,且且BE=CF=a(0a1),BE=CF=a(0a1),则则DEDE与与BFBF的位置关系是的位置关系是( () )(A)(A)平行平行(B)(B)垂直垂直(C)(C)相交相交(D)(D)与与a a值有关值有关【例例2 2】 如图所示如图所示,ABCD,ABCD是边长为是边长为3 3的正方形的正方形,DE,DE平面平面ABCD,AFDE,DE=3AF,ABCD,AFD
20、E,DE=3AF,BEBE与平面与平面ABCDABCD所成角为所成角为6060. .(1)(1)求证求证:AC:AC平面平面BDE;BDE;(1)(1)证明证明: :因为因为DEDE平面平面ABCD,ABCD,所以所以DEAC.DEAC.因为四边形因为四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,所以所以ACBD.ACBD.又又BDDE=D,BDDE=D,从而从而ACAC平面平面BDE.BDE.(2)(2)设点设点M M是线段是线段BDBD上一个动点上一个动点, ,试确定试确定M M的位置的位置, ,使得使得AMAM平面平面BEF,BEF,并证明你的并证明你的结论结论. . 解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化审题指导审题指导答题模板答题模板: :第一步第一步: :找到直线找到直线DHDH与平面与平面ABCDABCD内的两直线垂直内的两直线垂直; ;第二步第二步: :写出两直线相交得出写出两直线相交得出DHDH平面平面ABCD;ABCD;第三步第三步: :建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系, ,写出相关点的坐标写出相关点的坐标; ;第四步第四步: :求出二面角两半平面的法向量求出二面角两半平面的法向量, ,求出两法向量夹角的余弦值求出两法向量夹角的余弦值; ;第五步第五步: :得出二面角的正弦值得出二面角的正弦值. .
