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1、浅谈图论模型的浅谈图论模型的建立与运用建立与运用 引言v图论是数学的一个有趣的分支。v图论的建模，就是要抓住问题的本质，把问题笼统为点、边、权的关系。v许多看似无从入手的问题，经过图论建模，往往能转化为我们熟习的经典问题。例题1 Place the RobotsZOJ问题描画 有一个N*M(N,M=50)的棋盘，棋盘的每一格是三种类型之一：空地、草地、墙。机器人只能放在空地上。在同一行或同一列的两个机器人，假设它们之间没有墙，那么它们可以相互攻击。问给定的棋盘，最多可以放置多少个机器人，使它们不能相互攻击。 Wall Grass Empty例题1 Place the RobotsZOJ模型一5
2、467832112346578于是，问题转化为求图的最大独立集问题。在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关怀的，我们关怀的只是空地和空地之间的联络。因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到右边的这个图：例题1 Place the RobotsZOJ模型一5467832112346578在问题的原型中，草地，墙这些信息不是我们所关怀的，我们关怀的只是空地和空地之间的联络。因此，我们很自然想到了下面这种简单的模型：以空地为顶点，有冲突的空地间连边，我们可以得到右边的这个图：这是NP问题！我们将每一行，每一列被墙隔开，且包含空地的延续区域称作“块
3、。显然，在一个块之中，最多只能放一个机器人。我们把这些块编上号。同样，把竖直方向的块也编上号。例题1 Place the RobotsZOJ模型二123451234例题1 Place the RobotsZOJ模型二123451234把每个横向块看作X部的点，竖向块看作Y部的点，假设两个块有公共的空地，那么在它们之间连边。于是，问题转化成这样的一个二部图：112233445由于每条边表示一个空地，有冲突的空地之间必有公共顶点，所以问题转化为二部图的最大匹配问题。例题1 Place the RobotsZOJ模型二123412354112233445比较前面的两个模型：模型一过于简单，没有给问题
4、的求解带来任何便利；模型二那么充分抓住了问题的内在联络，巧妙地建立了二部图模型。为什么会产生这种截然不同的结果呢？其一是由于对问题分析的角度不同：模型一以空地为点，模型二以空地为边；其二是由于对原型中要素的选取有差别：模型一对要素的选取不充分，模型二那么保管了原型中“棋盘这个重要的性质。由此可见，对要素的选取，是图论建模中至关重要的一步。例题1 Place the RobotsZOJ小结例题2 出纳员的雇佣ACM Tehran 2000问题描画 有一家24小时营业的超市，需求雇佣一批出纳员。一天中每个小时需求出纳员的最少数量为R0,R1,R2,.,R23。有N个人恳求这项任务，每个恳求者，从一
5、个特定时辰开场延续任务恰好8个小时，设Wii=0.23表示从时辰i开场任务的恳求者的人数Wi=N=1000。 他的义务是计算出需求雇佣出纳员的最少数目，满足在每一时辰i，至少有Ri名出纳员在任务。例题2 出纳员的雇佣ACM Tehran 2000分析 初看此题，很容易使人往贪婪、动态规划或网络流这些方面思索。然而，对于此题，这些算法都无能为力。 由于此题的约束条件很多，为了理清思绪，我们先把标题中的约束条件用数学言语表达出来。设Si表示0i时辰雇佣出纳员的总数，那么我们可以将标题中的约束条件转化为下面的不等式组：0Si-Si-1Wi (0i23)Si-Si-8Ri (8i23)S23+Si-S
6、i+16Ri (0i7)例题2 出纳员的雇佣ACM Tehran 2000分析这样的不等式组，不由使我们想到了差分约束系统。对于每个不等式 Si-SjK，从顶点向顶点引一条权值为K的有向边。我们要求S23的最小值，就是要求顶点0到顶点23的最短路。留意上面第三条不等式：它包含三个未知数，无法在图中表示为边的关系。0Si-Si-1Wi (0i23)Si-Si-8Ri (8i23)S23+Si-Si+16Ri (0i7)怎怎样办例题2 出纳员的雇佣ACM Tehran 2000分析退一步思索：假设S23曾经确定了，那么上面的不等式组可以完全转化为一个有向图，顶点0到顶点的最短路，就是Si的解。而当
7、图中存在负权回路时，不等式组无解。至于S23，我们可以用二分法枚举，逐渐减少范围，用迭代法判别能否存在负权回路断定可行性，最终求得S23的最小值。时间复杂度为O(243*log2N)。0Si-Si-1Wi (0i23)Si-Si-8Ri (8i23)S23+Si-Si+16Ri (0i7)例题2 出纳员的雇佣ACM Tehran 2000小结此题用到了差分约束系统的实际，在竞赛中，这样的系统并不多见，但是却可以巧妙的处理一些难题。这类标题的模型都不明显，需求一定的思索和转化。做这类标题，关键是要把标题中的约束条件表示为不等式，再把不等式转化为图的最短路或最长路模型。例题3 贪婪之岛ZOJ问题描
8、画 有NN100000张卡片，每张卡片有三种才干，每种才干的才干值分别为Ai，Bi，Ci。每张卡片可以运用其中一种才干，且每张卡片只能运用一次。如今需求A张卡片运用第一种才干，B张卡片运用第二种才干，C张卡片运用第三种才干A+B+C100。请计算运用哪些卡片，以及运用卡片的哪项才干，可以使相应的才干值之和最大。例题3 贪婪之岛ZOJ分析 最优化问题的解法有很多种，比如动态规划，网络流等，而此题就是一个比较明显的网络流模型。 网络流模型中，权的类型众多，有流量，容量，还可以有费用。在此题中，容量可以作为选取的约束，确保解的合法性；费用那么表示选取的价值，确保解的最优性。因此，更确切地说，此题是一
9、个最大费用最大流模型。构图SP2P1P312345T每张卡片用顶点表示，另外加三个顶点P1，P2，P3，表示三种才干，还有源点S，汇点T。例题3 贪婪之岛ZOJ构图SP2P1P312345TA,0B,0C,0从源点分别向P1，P2，P3引一条弧，容量分别为A，B，C，费用为0。例题3 贪婪之岛ZOJ构图SP2P1P312345TA,0B,0C,0从P1，P2，P3向顶点(1iN) 分别引一条弧，容量为1，费用分别为Ai，Bi，Ci。例题3 贪婪之岛ZOJ构图SP2P1P312345TA,0B,0C,01,01,01,01,01,0从顶点(1iN) 向汇点引一条弧，容量为1，费用为0。例题3 贪
10、婪之岛ZOJ构图SP2P1P312345TA,0B,0C,01,01,01,01,01,0构图之后，求出从S到T的最大费用最大流，再检查流出P1，P2，P3的弧，并输出最优方案。时间复杂度：O(N3)例题3 贪婪之岛ZOJN N太大了，需求太大了，需求进一步一步优化！化！优化例题3 贪婪之岛ZOJ此题的卡片总数有十万之多，而最终要选取的卡片数不超越100张。假设在构图之前，把没有用的卡片先删掉，必将大大提高效率。什么样的卡片是没有用的呢？先思索第一种才干的选取：假设把全部卡片按第一种才干值从大到小排序，显然我们应该尽量从前面选A张出来，由于每张卡片只能运用一次，所以有能够会和其他的两种才干发生
11、冲突，而冲突的卡片数最多是B+C张，所以实践上对我们有用的卡片只是前面的A+B+C张。优化例题3 贪婪之岛ZOJ同理，对于第二种和第三种才干的选取，也只需保管其才干值最大的前A+B+C张卡片。这一步可以在线性时间内处理。这是一个既简单又有效的方法，经过这一步处置，保管下来的卡片数不会超越3(A+B+C)张，顶点数大大减少，求解最大费用最大流的时间复杂度降为O(A+B+C)3)。至此，算法曾经优化到了一个可以接受的地步，时间复杂度仅为O(N+(A+B+C)3)。优化例题3 贪婪之岛ZOJ假设还要进一步提高效率，可以用更有效的算法删掉多余的顶点。不过这样做意义不大，而且也不是本文讨论的要点。另外，
12、此题还可以转化为二部图模型，用最正确匹配算法求解。这一步留给读者本人思索。小结例题3 贪婪之岛ZOJ此题建立的是网络流模型。这类模型的算法系数大，编程复杂度也大，在竞赛中往往作为走投无路时的“候补算法。但是，网络流模型的适用性广，一些较复杂，或者约束较多的问题，网络流模型可以很好地处理，而基于网络流模型的问题又比较明显，这使得网络流模型有着广泛的运用。结语问题是千变万化的，如何建立问题的图论模型并没有通用的准那么。前面的几个例子都比较简单，在更复杂的问题中，有时我们会感到难以建立适当的模型，这时，我们需求在不改动问题原型本身的性质的前提下，对原型进展笼统，简化，在此根底上建立适宜，有效的模型。有时，我们建立了问题的一个模型之后，能够会感到难以求解，这时，我们能够需求对模型进展修正，转化，或者对原型进展更深化的分析，抽取其中较关键的要素，建立一个易于求解的模型。这些都需求我们有丰富的阅历，灵敏的思想以及良好的发明力。
