变异函数和协方差函数ppt课件

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1、地统计学方法地统计学方法资源与环境学院 杨勇7/26/20241设想一下这样的问题设想一下这样的问题n n ？这块地的土壤养分情况如何？不仅需要知道一个总体情况而是要知道每个地方的不同含量方便为那些含量低的地方施肥该怎么办呢？该怎么办呢？7/26/20242华中农业大学 资源与环境学院方案一方案一Step1: 密集采样Step2: 把土样运回实验室Step3: 晒干，磨碎，.化学分析耗时，耗力，耗财得到的是点状数据得到的是点状数据面状连续分布呢？面状连续分布呢？未采样地的状况如何呢？未采样地的状况如何呢？7/26/20243华中农业大学 资源与环境学院方案二方案二算法分析7/26/20244华

2、中农业大学 资源与环境学院实例：实例：（a）有机质 （b）全氮（c）有效磷 7/26/20245华中农业大学 资源与环境学院1.1 地统计学的发展和概念地统计学的发展和概念n n一、地统计学发展简史n n地统计学（Geostatistics）是20世纪50年代初在南非采矿业中为了计算矿石储量而发展应用起来的，首先被采矿工程师Krige和统计学家Sichel应用于南非的采矿工作中。n n50年代后期，法国Matheron在此基础上提出了区域化变量理论，形成了地统计学的基本框架。7/26/20246华中农业大学 资源与环境学院地统计学发展简史地统计学发展简史n n70年代，计算机的出现，这项技术被

3、引入到地学领域。1975年在罗马举行了关于该学科的第一个国际性会议后，陆续有多个相关国际会议举行。n n我国的地统计学研究和应用是1977年由侯景儒、黄竞先等首先进行的。n n现已广泛运用于地质、土壤、农业、气象、海洋、生态、森林和环境治理等方面7/26/20247华中农业大学 资源与环境学院二、地统计学的概念二、地统计学的概念n n定义：地统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现象的科学。（王政权，1999）7/26/20248华中农业大学 资源与环境学院1.2 地统计学的应用（土壤）地统计学的应用（土壤）n

4、 n土壤属性的空间分布特征是土壤污染治理、土地管理和现代农业的重要依据之一。n n土壤是一个形态和过程都相当复杂的自然综合体，成土过程中不同的物理、化学、生物等因素的影响，使得土壤性质具有高度的空间异质性。人类活动进一步加剧了土壤属性的变异性和不确定性。n n同时，土壤本身处于一个时刻变化的动态过程，因此，对土壤空间性质进行描述和定律研究相当困难。7/26/20249华中农业大学 资源与环境学院1.2 地统计学的应用（土壤）地统计学的应用（土壤）n n自上世纪七八十年代地统计学引入土壤学研究中以来，随着学科发展和应用方向的扩展，地统计学方法已经成为土壤学特别是大尺度土壤学研究的一个重要工具。n

5、 n地统计学在土壤物理性质空间变异中的应用地统计学在土壤物理性质空间变异中的应用n n地统计学在土壤化学性质空间变异中的应用地统计学在土壤化学性质空间变异中的应用n n地统计学在土壤重金属污染空间变异中的应用地统计学在土壤重金属污染空间变异中的应用n n地统计学在采样策略中的应用地统计学在采样策略中的应用n n地统计学在其他特性中的应用地统计学在其他特性中的应用7/26/202410华中农业大学 资源与环境学院地统计学在土壤物理性质空间变异中的应用地统计学在土壤物理性质空间变异中的应用湖北咸宁据：罗勇，陈家宙，2008土壤容重空间变异土壤饱和导水率空间变异7/26/202411华中农业大学 资

6、源与环境学院地统计学在土壤化学性质空间变异中的应用地统计学在土壤化学性质空间变异中的应用（a）有机质（b）全氮（c）有效磷 （d）速效钾 湖北沙洋据：杨勇，贺立源，20107/26/202412华中农业大学 资源与环境学院地统计学在土壤重金属污染空间变异中的应用地统计学在土壤重金属污染空间变异中的应用武汉市东湖高新技术开发区据：张贝，杨勇，2010 7/26/202413华中农业大学 资源与环境学院1.3 地统计学在土壤科学中的应用展望地统计学在土壤科学中的应用展望n n地统计学和土壤多源数据的处理 利用多源的相关数据预测目标属性的分布利用多源的相关数据预测目标属性的分布n n地统计学和土壤过

7、程的空间建模 利用多源数据模拟土壤发生发展的过程利用多源数据模拟土壤发生发展的过程 n n地统计学和土壤特性的不确定性模拟 土壤属性超过某一阈值的概率土壤属性超过某一阈值的概率n n地统计学和土壤过程的时空变异 n n地统计学与精确农业n n土壤综合特性的空间变异性研究7/26/202414华中农业大学 资源与环境学院样本数据的统计分析和预处理样本数据的统计分析和预处理n n描述性统计n n频数分布：频数分布：直方图直方图n n集中趋势的度量：集中趋势的度量：平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数n n离散型度量：离散型度量：极差、方差极差、方差n n偏度和峰度偏度和峰度n n数据检验和分布

8、分析n n异常值的识别和处理：异常值的识别和处理：平均值加标准差法、四倍法平均值加标准差法、四倍法n n正态分布的检验方法：正态分布的检验方法：直方图法、直方图法、PPPP、QQQQ、n n数据转换处理：数据转换处理：对数转换、平方根转换、反正弦转换对数转换、平方根转换、反正弦转换n n相关分析和回归分析n n回归分析回归分析n n相关分析相关分析7/26/202415华中农业大学 资源与环境学院区域化变量区域化变量n n当一个变量呈空间分布时，称之为“区域化”。这种变量常常反映某种空间现象的特征，用区域化变量描述的现象称之为区域化现象。如生态学、土壤学和地质学中许多研究的变量都具有空间分布的

9、特点，实质上都是区域化变量。n n在研究区域内所有点处的样品数据的实测值就是一个区域化值，其相应的函数z(x)就是一个区域化变量，也是该区域随机模型（函数）Z(x)的一个实现。7/26/202416华中农业大学 资源与环境学院平稳假设平稳假设n n1 1、平稳性：表示当将既定的、平稳性：表示当将既定的n n个点的点集从研究个点的点集从研究区域某一处移向另一处时，随机函数的性质保持区域某一处移向另一处时，随机函数的性质保持不变，也称为平移不变性。不变，也称为平移不变性。n n即随机函数分布的规律性不因位移而改变，是严即随机函数分布的规律性不因位移而改变，是严格平稳的，具有平稳性。格平稳的，具有平

10、稳性。7/26/202417华中农业大学 资源与环境学院二阶平稳性假设二阶平稳性假设n n2、二阶平稳性假设（弱平稳性假设）：随机函数的均值为一常数，且任何两个随机变量之间的协方差依赖于它们之间的距离和方向，而不是它们的确切位置：n n条件1：数学期望：反映随机变量取值的集中特征，是随机变量取得数字的代表数。该条件表示：在整个研究区内，区域化变量的数学期望对任意x存在，且等于常数7/26/202418华中农业大学 资源与环境学院二阶平稳性假设二阶平稳性假设n n条件条件2 2：在整个研究区内，区域化变量的协方差函：在整个研究区内，区域化变量的协方差函数对任意数对任意x x和和h h存在，且平稳

11、，即：存在，且平稳，即：协方差：两个不同参数之间的方差就是协方差，用于衡量两个变量的总体误差。而方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量是相同的情况。期望值分别为E(X) = 与 E(Y) = 的两个实数随机变量X与Y之间的协方差协方差定义为：COV(X，Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y) ，若两个随机变量X和Y相互独立 ，则他们的协方差为0。7/26/202419华中农业大学 资源与环境学院本征假设本征假设n n条件1：n n条件2：r(h)称为半方差函数，也叫变异函数本征假设是地统计学中对随机函数的基本假设事实上，当作用于大区域时，本征假设的第一个条件很难满足，空间变异的漂移或趋势面可能

12、存在，由于这种漂移，第二个条件也不能满足，但地统计学理论的基础是本征假设，因此，有必要去认识一个随机过程是否是平稳性的在研究区域内，区域化变量Z(x)的增量的数学期望对任意x和h存在且等于0在研究区域内，区域化变量的增量Z(x)-Z(x+h)的方差对任意x和h存在且平稳7/26/202420华中农业大学 资源与环境学院平稳假设平稳假设n n就严格性而言：n n平稳性假设二阶平稳性假设本征假设n n本征假设是地统计学中对随机函数的基本假设7/26/202421华中农业大学 资源与环境学院变异函数和协方差函数变异函数和协方差函数n n变异函数和协方差函数存在以下关系：7/26/202422华中农业

13、大学 资源与环境学院协方差具体计算方法协方差具体计算方法n n设Z(x)为区域化随机变量，并满足二阶平稳条件，h为两样本点空间分割距离，Z(xi)和Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值，则协方差函数的计算公式为：N(h)是分隔距离为h时的样本对数总数7/26/202423华中农业大学 资源与环境学院变异函数具体计算方法变异函数具体计算方法n n公式：值分别是：4，3，4，5，7，9，7，8，7，7，则：7/26/202424华中农业大学 资源与环境学院7/26/202425华中农业大学 资源与环境学院7/26/202426华中农业大学 资源与环境学院变异函数散点图变异

14、函数散点图7/26/202427华中农业大学 资源与环境学院变异函数的理论拟合模型变异函数的理论拟合模型n n理论变异函数用来拟合一些列经验变异函数值，供后续进行插值估计时使用。n n选用理论变异函数模型是，要根据经验半方差图的性状来选取合适的模型7/26/202428华中农业大学 资源与环境学院变异函数的理论拟合模型变异函数的理论拟合模型n n变异函数的理论模型：n n有基台值模型n n无基台值模型7/26/202429华中农业大学 资源与环境学院有基台值模型有基台值模型球状模型球状模型C0：块金常数C0+C ：基台值C：拱高a：变程应用最广的模型7/26/202430华中农业大学 资源与环

15、境学院有基台值模型有基台值模型指数模型指数模型C0：块金常数C0+C ：基台值C：拱高3a：变程当C0=0,C=1时，称为标准指数函数模型7/26/202431华中农业大学 资源与环境学院有基台值模型有基台值模型高斯模型高斯模型C0：块金常数C0+C ：基台值C：拱高 ：变程当C0=0,C=1时，称为标准高斯函数模型7/26/202432华中农业大学 资源与环境学院三种常用模型比较三种常用模型比较0.957/26/202433华中农业大学 资源与环境学院有基台值模型有基台值模型线性有基台值模型线性有基台值模型C0：块金常数C0+C ：基台值C：拱高A ：常数，表示直线斜率当C0=0,C=1时，

16、称为标准指数函数模型7/26/202434华中农业大学 资源与环境学院有基台值模型有基台值模型纯块金效应模型纯块金效应模型7/26/202435华中农业大学 资源与环境学院无基台值模型无基台值模型线性无基台值模型线性无基台值模型7/26/202436华中农业大学 资源与环境学院无基台值模型无基台值模型幂函数值模型幂函数值模型7/26/202437华中农业大学 资源与环境学院无基台值模型无基台值模型对数值模型对数值模型7/26/202438华中农业大学 资源与环境学院套合模型套合模型n n在实际中，有时区域化随机变量Z(x)的变化相当复杂，往往包含各种尺度及各种层次的变化，反映在变异函数r(h)

17、上，就是单一的模型结构不能将其合理表达，而是多层次的结构相互叠加在一起，地统计学上称为套合。所谓套合结构套合结构，就是把分别出现在不同距离h上或不同方向上同时起作用的变异性组合起来，对全部有效的结构信息，作定量化的概括，以表示区域化变量的主要特征。7/26/202439华中农业大学 资源与环境学院套合模型套合模型n n土壤是一个不均与、具有高度空间异质性的复合土壤是一个不均与、具有高度空间异质性的复合体，它与土壤母质、气候、水文、地形和生物等体，它与土壤母质、气候、水文、地形和生物等因素有关，分析土壤空间变异的因素，可将其变因素有关，分析土壤空间变异的因素，可将其变异分为系统变异（土壤形成因素

18、相互作用造成）异分为系统变异（土壤形成因素相互作用造成）和随机变异（可以观测到的，但与土壤形成印务和随机变异（可以观测到的，但与土壤形成印务无关且不能直接分析的）两大类。如由无关且不能直接分析的）两大类。如由h h分开的两分开的两个点个点x x和和x+hx+h的土壤某一性质的土壤某一性质Z(xZ(x) )和和Z(x+hZ(x+h) )。当。当h h趋趋近于近于0 0时，可以认为两点间的差异完全是由取样和时，可以认为两点间的差异完全是由取样和测定误差造成，当测定误差造成，当h h逐步增大，如逐步增大，如h1mh1m，差异可，差异可能还要加上诸如水分等因素，当能还要加上诸如水分等因素，当h100m

19、h100m时，在新时，在新的变异要考虑地形的作用。的变异要考虑地形的作用。7/26/202440华中农业大学 资源与环境学院套合模型套合模型n n当当h h一定时，变异函数一定时，变异函数r(hr(h) )应包含小于应包含小于h h的所有影的所有影响因素，因此，绝大多数变异函数都由下面两个响因素，因此，绝大多数变异函数都由下面两个变异函数组成：变异函数组成：n n r(hr(h)=r)=r0 0(h)+r(h)+r1 1(h)(h)，即一个代表纯块金方差，一，即一个代表纯块金方差，一个代表空间相关的方差。一般情况下，套合模型个代表空间相关的方差。一般情况下，套合模型可以用放映各种不同尺度变化的

20、多个变异函数之可以用放映各种不同尺度变化的多个变异函数之和表示，即：和表示，即：ri(h)可以是相同的或不同的理论模型7/26/202441华中农业大学 资源与环境学院套合模型套合模型n n如，区域化变量Z(x)的变异性由r0(h),r1(h)和r2(h)组成，其中7/26/202442华中农业大学 资源与环境学院套合模型套合模型n n三者组成的套合模型为：7/26/202443华中农业大学 资源与环境学院套合模型套合模型7/26/202444华中农业大学 资源与环境学院最优拟合最优拟合参数最优估计参数最优估计n n变异函数的理论模型主要是曲线模型，将曲线模型经过适当的变换，变异函数的理论模型

21、主要是曲线模型，将曲线模型经过适当的变换，化为线性模型，然后用最小二乘法原理求未知参数的估计。化为线性模型，然后用最小二乘法原理求未知参数的估计。7/26/202445华中农业大学 资源与环境学院基于优化搜索算法的参数拟合基于优化搜索算法的参数拟合n n对于结构复杂的变异函数理论模型，特别是套合结构模型，参数复杂，难以用一般的通用方法求解出模型中的参数。但一些智能优化算法，如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法能够使用统一的流程求解出接近最优的参数。7/26/202446华中农业大学 资源与环境学院基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计n n1、多尺度套合模型

22、的规范表达7/26/202447华中农业大学 资源与环境学院基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计n n从上式可以看出，需求解的参数为2n+1个（因为第一个模型总是纯块金模型）。而在实际计算时，可以令 ，这样方便从经验半方差图中识别 ci取值区间。并有以下约束：7/26/202448华中农业大学 资源与环境学院基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计n n编码策略及初始群体产生n n假设需要顾及m(m=2n+1)个参数，每个参数的取值范围和估值精度分别是Umin,Umax和Qi，则将m个参数分别以L1,L2,Lm为长度进

23、行二进制编码，其中n n则每条染色体长度为 ，染色体中每个参数编码对应的解码 公式为： 以这种编码方式随以这种编码方式随机产生机产生T组染色体组染色体7/26/202449华中农业大学 资源与环境学院基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计n n确定个体适应度评价函数7/26/202450华中农业大学 资源与环境学院基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计基于遗传算法的变异函数理论模型参数估计n n遗传操作遗传操作n n遗传算法主要包括遗传算法主要包括3 3个基本算子，即选个基本算子，即选择、交叉和变异，择、交叉和变异，为此，需确定交叉为此，需确定交叉概率概率

24、PcPc和变异概率和变异概率PmPm，3 3个过程执行个过程执行以后，将产生新一以后，将产生新一代种群，并记录适代种群，并记录适应度最高的染色体应度最高的染色体7/26/202451华中农业大学 资源与环境学院主要空间插值法简介主要空间插值法简介n n分类：n n确定性方法：基于实测数据的相似性程度或平滑程度，利用数学函数进行插值（如逆距离加权法）n n地统计方法：利用实测数据的统计特性来量化其空间自相关程度，生产插值面并评价预测的不确定性7/26/202452华中农业大学 资源与环境学院主要空间插值法简介主要空间插值法简介n n分类：n n整体插值法：利用整个实测数据集来预测n n局部插值法

25、：在大面积的研究区域上选取较小的空间单元，利用预测点周围的临近样点来进行预测7/26/202453华中农业大学 资源与环境学院空间整体插值法空间整体插值法n n1、全局多项式插值法（趋势面分析法）：即用数学公式表达感兴趣区域上的一种渐变的趋势。n n平面：n n曲面：n n多项式中的参数系数往往用最小二乘法求解。但该方法是不精确的插值方法，很少有实测点刚好在生产的插值面上，而是或高或低于插值面，高低数值相加，之和近似为0。7/26/202454华中农业大学 资源与环境学院空间整体插值法空间整体插值法n n全局多项式插值法的插值结果往往呈条带状（左图），适合于描述那些呈明显趋势分布的属性，不适合

26、描述那些空间分布波动较大（较破碎，右图）的自然属性7/26/202455华中农业大学 资源与环境学院空间整体插值法空间整体插值法n n2、变换函数插值法：根据一个或多个空间参量的经验方程进行整体空间插值，这种经验方程称为变换函数。即用与被预测属性相关的其他属性建立回归方程，进行空间预测：b0,b1,b2为回归系数，为回归系数，p1，p2为独立空间变量，为独立空间变量，z(x)为被预测属性为被预测属性7/26/202456华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n1、泰森多边形插值：由一组连续多边形组成，多边形的边界是由相邻两点直线的垂直平分线组成。特性：（1）每个多边形内仅

27、包含一个离散数据点。）每个多边形内仅包含一个离散数据点。（2）在多边形内的任一点）在多边形内的任一点k(x，y)同同Pi(xi，yi)之间之间距离总小于它同其它离散点距离总小于它同其它离散点Pj(xj，yj)之间距离。之间距离。 （3）泰森多边形的任意一个顶点必有三条边与它）泰森多边形的任意一个顶点必有三条边与它连接，这些边是相邻三个泰森多边形两两拼接的公连接，这些边是相邻三个泰森多边形两两拼接的公共边。共边。 （4）泰森多边形的任意一个顶点周围存在三个离）泰森多边形的任意一个顶点周围存在三个离散点，将其连成三角形后其外接圆的圆心即为该顶散点，将其连成三角形后其外接圆的圆心即为该顶点，该三角形

28、称泰森三角形点，该三角形称泰森三角形 7/26/202457华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n各泰森多边形内的每一点属性均由各多边形内的已知点确定，若求数据域内任意一点数据属性Z（xi，yi），则需首先判断待求点所落入的多边形，然后再由控制该多边形的已知点Z（x，y）推算得到。7/26/202458华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n2、三角测量插值法：将采样点用直线与其相邻点连接成三角形，三角形内部包括任何样点，形成一个包括多个倾斜三角板的多面体（TIN）未测点只可能在三角形未测点只可能在三角形内或三角形边线上，利内或三角形边线上，利用线

29、性插值即可求得用线性插值即可求得缺点是每个预测值只是缺点是每个预测值只是根据三个实测值得到，根据三个实测值得到，且有时会产生突变现象且有时会产生突变现象7/26/202459华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n3、逆距离加权法（IDW）：利用被预测区域点周围的实测值来预测未采样点的值，实测点离预测点越近，则对插值的结果影响越大。 其中n np p为实测值对预测值的影响级，若为实测值对预测值的影响级，若p=0p=0，则每一个权重是一样的，预测，则每一个权重是一样的，预测值是所有实测值的平均值，当值是所有实测值的平均值，当p p增加时，相距较远的点的权重迅速减增加时，相距

30、较远的点的权重迅速减小，小，2 2最为常用。最为常用。n n由于由于IDWIDW方法只考虑距离进行权重分配，所以临近实测点的贡献往往方法只考虑距离进行权重分配，所以临近实测点的贡献往往很大，而造成空间分布的多点中心现象。很大，而造成空间分布的多点中心现象。7/26/202460华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n4、局部多项式插值法（移动内插法）：多项式插值法将整个区域考虑成一个平面或曲面，而局部多项式插值法是在划定的领域内（窗口内）用其中的实测数据来拟合不同次数的多项式。7/26/202461华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n5、简单移动

31、平均法：n n6 6、样条插值法：、样条插值法：7/26/202462华中农业大学 资源与环境学院空间局部插值法空间局部插值法n n7、克里格方法：和IDW一样，也是一种局部估计的加权平均，但是它对各实测点权重的确定是通过半方差分析获取的，可分为线性克里格法和非线性克里格法。n n（1 1）普通克里格）普通克里格 （6 6）概率克里格）概率克里格n n（2 2）简单克里格）简单克里格 （7 7）贝叶斯克里格）贝叶斯克里格n n（3 3）泛克里格）泛克里格 （8 8）普通协同克里格）普通协同克里格n n（4 4）指示克里格）指示克里格n n（5 5）析取克里格）析取克里格7/26/202463华

32、中农业大学 资源与环境学院n n克里格法实质上是利用区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未采样点的区域化变量的取值进行线性无偏最优估计的一种方法，从数学角度讲就是一种对空间分布的数据求线性最优无偏内插估计量的一种方法。是根据待估样点有限领域内若干已测定的样点数据，在考虑样点形状、大小和空间相互位置关系，它们与待估样点相互空间位置关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对该待估样点进行的一种线性无偏最优估计7/26/202464华中农业大学 资源与环境学院普通克里格法普通克里格法n n假定Z(x)是满足本证假设的一个随机过程，该随机过程有n个观测值z(xi)，要预测未采样点x0处的值，则线

33、性预测值Z*(x0)可以表示如下：n n n nKrigingKriging是在使预测无偏并有最小方差的基础上，是在使预测无偏并有最小方差的基础上，去确定最优的权重值，满足以下两个条件：去确定最优的权重值，满足以下两个条件：n n（1 1）无偏性条件）无偏性条件n n（2 2）最优条件：）最优条件：7/26/202465华中农业大学 资源与环境学院普通克里格法普通克里格法n n在本证假设条件下，上左边的式子可以表示为：n n根据方差最小原则，借助拉格朗日乘子，普通克里格的预根据方差最小原则，借助拉格朗日乘子，普通克里格的预测方程组为：测方程组为：n n预测方差为：预测方差为：7/26/2024

34、66华中农业大学 资源与环境学院普通克里格法普通克里格法n n克里格公式也可以用矩阵的形式表示，对点状克里格，有：7/26/202467华中农业大学 资源与环境学院普通克里格法普通克里格法 实例实例7/26/202468华中农业大学 资源与环境学院普通克里格法普通克里格法 实例实例7/26/202469华中农业大学 资源与环境学院7/26/202470华中农业大学 资源与环境学院7/26/202471华中农业大学 资源与环境学院7/26/202472华中农业大学 资源与环境学院简单克里格法简单克里格法n n如果我们知道区域随机变量的平均值，那么我们可以利用这种先验知识通过简单克里格法来提高预测

35、的精度，这种克里格预测方法仍然是线性加和，但将随机过程的平均值包括了进去，这种随机过程必须是二阶平稳的，预测公式为：7/26/202473华中农业大学 资源与环境学院简单克里格法简单克里格法n n权重利用以下公式计算：n n用矩阵形式表示为： 其中：n n则： 预测方差为：7/26/202474华中农业大学 资源与环境学院协同克里格协同克里格n n协同克里格是利用两个变量之间的互相关性，用其中易于观测的变量对另一变量进行局部估计的方法。协同克里格法比普通克里格法能明显改进估计精度及采样效率。但在实际应用中，协同克里格法要求有一个已知的相关函数，这就需要在很多地点同时采样，测定二个函数间的相互关

36、系。与相关函数一样，这种相互关系也受样本数目多少的影响。7/26/202475华中农业大学 资源与环境学院协同克里格协同克里格n n协同克里格法是建立在协同区域化变量理论基础上的，通过建立交叉协方差函数和交叉变异函数模型，然后用协同克里格法对未抽样点的变量进行估值7/26/202476华中农业大学 资源与环境学院协同区域化的概念协同区域化的概念n n在实际中，每一种区域化现象都与许多变量有关，同一个区域化现象可以用几个相关变量表示。在地统计中，把某一点上某一性质的观测值，与在统计分析上依赖于相邻一点上的另一性质的观测值，这两种性质之间的相关性称为协同区域化或横相关。描述这种协同区域化现象的变量

37、称为协同区域化变量。7/26/202477华中农业大学 资源与环境学院协同区域化的概念协同区域化的概念n n研究协同区域化变量具有许多优点，例如，在土研究协同区域化变量具有许多优点，例如，在土壤空间变异性研究中，有些土壤性质的测定难度壤空间变异性研究中，有些土壤性质的测定难度和费用较高，而另一些土壤性质的测定相对简单和费用较高，而另一些土壤性质的测定相对简单易行。因而，可以用较容易测定的土壤某一性质易行。因而，可以用较容易测定的土壤某一性质之值去估计另一种测定难度大、费用高的土壤性之值去估计另一种测定难度大、费用高的土壤性质之值的变化。质之值的变化。n n此外，在空间变异分析中，如果能用一种变

38、量的此外，在空间变异分析中，如果能用一种变量的信息去弥补所遗漏或提供另一变量的信息，这无信息去弥补所遗漏或提供另一变量的信息，这无疑是非常有意义的。协同区域化变量的莅临和方疑是非常有意义的。协同区域化变量的莅临和方法将提供解决两个变量空间相关和估计的问题。法将提供解决两个变量空间相关和估计的问题。7/26/202478华中农业大学 资源与环境学院协同区域化变量理论协同区域化变量理论n n设K个协同区域化变量Z1(x),Z2(x),Zk(x)，组成一组K维区域化变量的向量Z1(x),Z2(x),Zk(x)，在观测前，它是一个K维区域化变量，观测后，它可以看成K维向量的一个实现。在二阶平稳假设条件

39、下，协同区域化变量有：n n（1）每一个Zk(x)（K=1,2,K）的数学期望存在且平稳，即7/26/202479华中农业大学 资源与环境学院协同区域化变量理论协同区域化变量理论n n（2）对每对区域化随机变量的交叉协方差函数为：n n（3）在满足本征假设条件时，区域化变量的增量数学期望为0，则每对区域化协同变量的交叉变异函数存在，为：7/26/202480华中农业大学 资源与环境学院交叉协方差函数和交叉变异函数的计算公式交叉协方差函数和交叉变异函数的计算公式n n设在点x和点x+h处，分别测得两个变量的观测值Zk(x)，Zk(x)，Zk(x+h)，Zk(x+h)，则交叉协方差函数计算公式为：

40、n n其中n nN(h)为样本对数7/26/202481华中农业大学 资源与环境学院交叉协方差函数和交叉变异函数的计算公式交叉协方差函数和交叉变异函数的计算公式n n交叉变异函数的计算公式为：7/26/202482华中农业大学 资源与环境学院协同克里格法协同克里格法n nZvk0的估计量为Zvk0#,是K个协同区域化随机变量全部有效数据（观测值）的线性组合：n n以2个协同变量来说明克里格估计方程组和协同克里格估计方差7/26/202483华中农业大学 资源与环境学院协同克里格线性方程组协同克里格线性方程组n n设在点x0处的某变量的平均值为u0，在x0附近有两个已观测的协同区域化随机变量ui

41、（i=1,2,n）和vj（j=1,2,m）。则平均值u0的估计值u0#构成的协同克里格线性估计量为：n n其中ai，bj为协同克里格权重系数，为使u0#为u0的最优无偏线性估计量，必须满足：7/26/202484华中农业大学 资源与环境学院协同克里格线性方程组协同克里格线性方程组n n1 无偏性条件：n n只有当 时，才能成立，因此，它就是无偏性条件7/26/202485华中农业大学 资源与环境学院协同克里格线性方程组协同克里格线性方程组n n2 最优性条件n n在满足无偏性条件下，协同克里格估计方差为：7/26/202486华中农业大学 资源与环境学院协同克里格线性方程组协同克里格线性方程组

42、n n设7/26/202487华中农业大学 资源与环境学院n n则n n为使协同克里格估计方差最小，令n n求上式的偏导数并令其为0，得到协同克里格线性方程组7/26/202488华中农业大学 资源与环境学院7/26/202489华中农业大学 资源与环境学院n n经整理得2个变量的协同克里格线性方程组的一般表达式：7/26/202490华中农业大学 资源与环境学院n n这是一个n+m+2阶线性方程组，解该方程组得到协同克里格权重系数ai和bj，然后代入 中，得到协同克里格线性无偏最优估计量。此时，协同克里格估计方差为：7/26/202491华中农业大学 资源与环境学院实例实例n n2 2个协同

43、区域化随机变量个协同区域化随机变量u u和和V V，其中，其中u0u0为待估样点，在其周为待估样点，在其周围有围有u1,u2,V1,V2u1,u2,V1,V2和和V3V3已知样已知样本本7/26/202492华中农业大学 资源与环境学院实例实例n n根据已知的理论模型计算两个变量的协方差函数Cu(h)和Cv(h)及交叉协方差函数Cuv(h)7/26/202493华中农业大学 资源与环境学院n n则协同克里格线性方程组为解上述方程组得解上述方程组得a1=0.512，a2=-0.216，b1=0.488，b2=-0.397，b3=0.666，u1=205963u2=13823，将这些协同克里格权重

44、系数代入协同克里格线性估计量方程得，将这些协同克里格权重系数代入协同克里格线性估计量方程得u0的估计值的估计值为为356，其协同克里格估计方差为，其协同克里格估计方差为681549。7/26/202494华中农业大学 资源与环境学院泛克里格法泛克里格法n n漂移的概念n n在普通的克里格法中，要求区域化变量Z(x)是二阶平稳的或本证的，至少是准平稳或准本证假设条件，在有限的估计领域内Z(x)的数学期望是一个常数，即EZ(x)=m存在。然而在许多情况下，区域化变量在研究区域内是非平稳的，其数学期望不是一个常数，即EZ(x)=m(x)，m(x)在地统计学上被定义为非平稳区域化变量的漂移漂移，其表达

45、式为 m(x)=EZ(x)7/26/202495华中农业大学 资源与环境学院泛克里格法泛克里格法n n在漂移存在的条件下就不能用普通克里格方法进行空间局部估计，而要采用泛克里格法进行估计。漂移一般采用多项式表示：n n其中fi(x)为一已知多项式函数，ai为未知系数。当漂移为线性时，一维和二维条件下漂移m(x)的形式为：7/26/202496华中农业大学 资源与环境学院泛克里格法泛克里格法n n当漂移为二次（非线性）时，一维和二维条件下漂移m(x)的形式为n n由于漂移的存在，泛克里格法在估计某一点Z(x)的估计值Z#(x)时，首先要估计该点上漂移m(x)的估计值m#(x)，这就要求在某种假设

46、条件下确定非平稳区域化变量的协方差函数和变异函数7/26/202497华中农业大学 资源与环境学院泛克里格的基本假设泛克里格的基本假设n n设Z(x)是一个非平稳的区域化变量，可表示为：n n一般情况下，上述假设很难满足，因此，考虑Z(x)的增量的情况。n n设Z(x)的增量具有非平稳数学期望和非平稳方差函数，并可表示为：7/26/202498华中农业大学 资源与环境学院泛克里格的基本假设泛克里格的基本假设n n如果非平稳区域化变量如果非平稳区域化变量Z(xZ(x) )可以分解成两部分，一部分可以分解成两部分，一部分是在较大尺度下可以观察到现象变化是在较大尺度下可以观察到现象变化m(xm(x)

47、 )，另一部分是，另一部分是在较小尺度下的变化在较小尺度下的变化R(xR(x) )，即，即n n在给定的尺度下，在给定的尺度下，m(xm(x) )可以表示为一个多项式，即单项可以表示为一个多项式，即单项式函数式函数f fi i(x(x) )的线性组合：的线性组合：n n其中其中x x为领域内任一点，为领域内任一点，a ai i为未知系数，如果包含为未知系数，如果包含x x0 0点，点，则则a ai i应有应有n+1n+1个个7/26/202499华中农业大学 资源与环境学院非平稳条件下的协方差和变异函数非平稳条件下的协方差和变异函数n n当Z(x)=m(x)+R(x)时，Z(x)的协方差函数C

48、Z(x,y)为n n而Z(x)的变异函数为7/26/2024100华中农业大学 资源与环境学院n n即即C Cz z(x,y(x,y)=)=C CR R(x,y(x,y) )，Z(xZ(x) )的协方差等于的协方差等于R(xR(x) )的协方差的协方差n nr rz z(x,y(x,y)=)=r rR R(x,y(x,y) )，Z(xZ(x) )的变异函数等于的变异函数等于R(xR(x) )的变异函的变异函数数n n如如y=y=x+hx+h，则，则r rz z(h(h)=)=r rR R(h(h) )。只要能求出。只要能求出R(xR(x) )的变异函的变异函数数r rR R(h(h) )，就可

49、以求得，就可以求得Z(xZ(x) )的变异函数的变异函数r rz z(h(h) )。但。但m(xm(x) )一一般为未知多项式函数，无法用般为未知多项式函数，无法用R(xR(x)=)=Z(x)-m(xZ(x)-m(x) )来计算来计算r rR R(h(h) )。为解决这个问题，地统计学泛克里格法中先对。为解决这个问题，地统计学泛克里格法中先对R(xR(x) )的变异函数进行估计，也就是先估计的变异函数进行估计，也就是先估计R R# #(x(x)=)=Z(x)-mZ(x)-m# #(x(x) )来，即对来，即对mm# #(x(x) )进行估计，根据进行估计，根据R R# #(x(x) )的变异函

50、数的变异函数r rR R# #(h(h) )与理论的与理论的r rR R(h(h) )进行比较，当进行比较，当r rR R# #(h(h)=)=r rR R(h(h) )时，就可以求时，就可以求Z(xZ(x) )的变异函数的变异函数r rR R(h(h) )来，来，因此，泛克里格方法估计有两个部分，一个是因此，泛克里格方法估计有两个部分，一个是m(xm(x) )的的估计，另一个是估计，另一个是Z(xZ(x) )的估计的估计7/26/2024101华中农业大学 资源与环境学院漂移漂移m(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n在研究区域内，设Z(x)是一个非平稳区域化随机变量，并满足以下条件：

51、7/26/2024102华中农业大学 资源与环境学院漂移漂移m(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n设在研究区内有n个已知样点xa(a=1,2,n），其观测值为Z(xa)=Za，目的是用这些已知样点估计区域内任一固定点x处的漂移值m(x)。设m(x)的估计量为m#(x)，它可以表示这几个已知样点数据的线性组合，即7/26/2024103华中农业大学 资源与环境学院漂移漂移m(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n为使m#(x)成为m(x)的无偏最优估计，则必须满足：n n1 无偏性，即n n只有当 时，无偏性存在，此时L=0,1,2,n7/26/2024104华中农业大学 资源与环境

52、学院漂移漂移m(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n2 最优性n nm#(x)估计m(x)的方差可表示为n n即，上式达到最小7/26/2024105华中农业大学 资源与环境学院漂移漂移m(x)泛克里格线性方程组泛克里格线性方程组n n在满足无偏性条件下，用拉格朗日乘数法求方差的最小值得到漂移m(x)的克里格线性方程组n n可矩阵表达为7/26/2024106华中农业大学 资源与环境学院n n其中7/26/2024107华中农业大学 资源与环境学院n n这是一个具有n+K+1个未知数的n+K+1个方程组成的方程组，称为漂移m(x)泛克里格线性方程组，泛克里格估计方差为：7/26/2024

53、108华中农业大学 资源与环境学院Z(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n在研究区域内设Z(x)是一个非平稳区域化变量，并满足以下条件：7/26/2024109华中农业大学 资源与环境学院Z(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n设在研究区内有n个已知样点xa(a=1,2,n），其观测值为Z(xa)=Za，目的是用这些已知样点估计区域内任一固定点x处的漂移值Z(x)。设Z(x)的估计量为Znk#(x)，它可以表示这几个已知样点数据的线性组合，即7/26/2024110华中农业大学 资源与环境学院Z(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n为使Z#(x)成为Z(x)的无偏最优估计，则

54、必须满足：n n1 无偏性只有当只有当7/26/2024111华中农业大学 资源与环境学院Z(x)的泛克里格法估计的泛克里格法估计n n2 最优性上式（方差）达到最小上式（方差）达到最小7/26/2024112华中农业大学 资源与环境学院Z(x)的泛克里格线性方程组的泛克里格线性方程组n n在满足无偏性条件下，根据拉格朗日乘数法求方差的最小值，得到Z(x)的克里格线性方程组：矩阵形式：矩阵形式：7/26/2024113华中农业大学 资源与环境学院7/26/2024114华中农业大学 资源与环境学院指示克里格法指示克里格法n n在有的情况下，我们需要知道某区域化变量Z(x)在某地超过阈值z的概率

55、：n n指示克里格是实现方法之一7/26/2024115华中农业大学 资源与环境学院指示克里格法指示克里格法n n指示码：仅有指示码：仅有0 0和和1 1两个值，即可表示某种物质存两个值，即可表示某种物质存在和不存在，也可表示连续变量是否大于某个阈在和不存在，也可表示连续变量是否大于某个阈值值n n如果如果z(xz(x) )是一个随机过程是一个随机过程Z(xZ(x) )的实现，那么的实现，那么 可可以被认为是一个指示随机函数以被认为是一个指示随机函数 的实现的实现7/26/2024116华中农业大学 资源与环境学院指示克里格法指示克里格法n n通过这种转换，某种程度上使预测结果更接近实际应用。

56、如评价土壤重金属污染问题，通过设定合理的污染浓度阈值z，那么就可以将一个连续的随机变量Z(x)转化为一个指示函数，对这个指示函数而言，1表示没有受到污染，可以被接受，0表示受到污染，不能被接受。7/26/2024117华中农业大学 资源与环境学院指示克里格法指示克里格法n n也可以定义多个阈值，并且为每个阈值生成一个新的指示变量。如定义S个阈值为zc(s),s=1,2,S,从而得到多个指示变量：n n这些可以看做是相应的随机函数的实现，7/26/2024118华中农业大学 资源与环境学院指示半方差函数指示半方差函数其半方差值可以通过转化后的指示数据计算得到：其半方差值可以通过转化后的指示数据计

57、算得到：后续的插值方法和普通克里格法一样，预测位置得到的插值结果为一个后续的插值方法和普通克里格法一样，预测位置得到的插值结果为一个0和和1之间的数，表示之间的数，表示7/26/2024119华中农业大学 资源与环境学院指示克里格应用实例指示克里格应用实例n n以鲁西北禹城地区土壤重金属Pb含量为例，针对其存在特异值与偏态分布的特点，利用指示克里格法研究了土壤Pb含量小于特定阈值的条件概率分布县级采样尺县级采样尺度度396个点个点（2KM）镇级采样尺镇级采样尺度度285个点个点（0.5KM）7/26/2024120华中农业大学 资源与环境学院指示克里格应用实例指示克里格应用实例7/26/202

58、4121华中农业大学 资源与环境学院n n取土壤Pb含量0.10.9分位数共9个值作为阈值T，分别为18.64，24.23，28.40，33.24，37.96，41.32，44.48，47.51，51.19，n n计算小于各阈值条件的指示变异函数（步长为500m）7/26/2024122华中农业大学 资源与环境学院7/26/2024123华中农业大学 资源与环境学院（球状模型）（球状模型）7/26/2024124华中农业大学 资源与环境学院7/26/2024125华中农业大学 资源与环境学院思考题思考题n n1、简述空间属性插值的一般流程n n2、克里格方法有哪些，各适用于什么情况？7/26/2024126华中农业大学 资源与环境学院