《八年级数学竞赛讲座直角三角形的再发现人教新课标版_中学教育-竞赛题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学竞赛讲座直角三角形的再发现人教新课标版_中学教育-竞赛题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第二十二讲 直角三角形 的 再发现 直角三角形 是一类特殊 三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半 、 30所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的 结 论 如图，在 RtABC中，C=90，CD AB于 D，则有： 1同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 2角的相等关 系 ：A= DCD ，B=ACD 3线段的等积 式 ：由面积得 AC BC=AB CD ； 由 ACD CBD ABC ，得 CD2=AD BD ，AC2=
2、AD AB ，BC2=BD AB 以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知 识 注 直角三角形被斜边上的 高分成的 3 个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中 例题求解 【例1】 等腰三角形 A B C的底 边 长为8c m ， 腰长5cm ， 一动点 P在 底 边上从B 向C以0 25cm秒的速度移 动 ，当点 P运动 到PA与腰垂直的位置时，点 P运动的 时 间为 (江苏省常州 市 中考题) 思路点拨 为求 BP
3、需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程 【例 2】 如图，在矩形 AB C D中，AE BD于 E，S 矩形 AB C D=40cm2 ，SABE：SDBA=1：5，则 AE的长 为 ( ) A4cm B 5cm C 6cm D 7cm (青岛市中考 题 ) 思路点拨 从题设条件及基本图形 入 手，先建立 AB 、AD的等式 【例 3】 如图，在 RtABC中，BAC 90，AB AC ，DB为 BC 的中点，E为 AC上 一点，点 G在 BE 上，连结 DG并 延 长交AE 于F，若FGE=45 (1) 求证：BD BC BG BE ； (2) 求证：AG BE ；
4、 (3) 若 E为 AC 的中点，求 EF：FD的值 （盐城市中考题） 思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础(1)证明GBD CBE ；(2) 证明ABG EBA ；(3) 利用相似三 角 形，把求FDEF的值转化为 求其他线段 的 比值 【例 4】 如图，H 、Q分别是正 方 形ABC D的边 AB 、BC上的点 ， 且BH=BQ ，过 B作 HC的垂线，垂足为 P求证：DP PQ (“祖冲之杯”邀请赛试题 ) 思路点拨 因BPQ+ QPC=90 ， 要证 DP PQ ， 即证QPC+ DPC=90 ， 只需证BPQ=DPC ，只要证明BPQ CPD即可 注
5、 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更 好 的 解法，以培养我们发散思的能 力 【例 5】 已知ABC中，BCAC ，CH是 AB 边上的高，且满足BHAHBCAC22，试探讨A与B的关系，井加以证明 (武汉市选拔 赛 试题) 思路点拨 由题设条件 易想到直角三角形中的 基 本 图形、基本结论，可猜想出A与B的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的 性 质， 推导判定两个三角形相 似 的条件 注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边
6、上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题 吗 ?并加以证明 学力训练 1 如图，已知正方形 A B CD的边长是 1，P是 CD边 的 中 点 ，点 Q在线段 B C上， 当 BQ= 时，三角形 AD P与三角形 Q C P相似 (云南省中考 题 ) 2 如图，RtABC中，CD为斜边 A B上的高 ， D FCB于 E，若 BE=6 ，CE=4 ，则 AD= 的平方和斜边中线等于斜边一半所对的直角边等于斜边一半等在学习了相似三角形的知识后我们利用相似三角形法能得到应用极为广泛的结论如图在中于则有同一三角形中三边的平方关系角的相等关系线段的等积式由面积得由得以
7、知识注直角三角形被斜边上的高分成的个直角三角形相似由此导出的等积式的特点是一线段是两个三角形的公共边另两条线段在同一直线上这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求例等腰三角形的底边长为腰拨为求需作出底边上的高就得到与直角三角形相关的基本图形注意动态过程例如图在矩形中于矩形则的长为青岛市中考题思路点拨从题设条件及基本图形入手先建立的等式例如图在中为的中点为上一点点在上连结并延长交于若求证 3如图，平行四边形 A B C D中 ， A B=2，BC=23，AC=4 ，过 AC的中 点O作EF AC交 AD 于E，交 BC于 F ，则EF= ( 重庆市竞赛 题 ) 4P是 RtABC
8、的斜 边B C上异 于B 、C的一点，过点 P作直 线 截ABC ，使截得的三 角 形与ABC相似，满足这样条件的直线共 有 ( ) A 1 条 B 2 条 C3 条 D4 条 (2001年安徽省中考题) 5在ABC中，AD是高，且 AD2=BD CD ，那么BAC的度 数 是( ) A 小于 90 B等于 90 C大于 90 D不确定 6如 图，矩形 ABC D中，AB=3，BC=3 ，AE BD于 E，则 EC=( ) A27 B 25 C 215 D 221 7如图，在矩形 AB C D中，E是 CD的 中 点，BE AC交 AC 于F，过 F 作 FG A B交 AE 于G ，求证：A
9、G2AF FC 8如图，在平行四边 形A BCD 中，DBC 45，DE BC于 E，BFCD于 F，DE 、BF相交于H ，BF、AD的延长 线 相交于 G 求证；(1)AB=BH ；(2)AB2=GA HE (青岛市中考题) 9如图，在 RtABC中，ACB 90，AD平分CAB交 B C于点 D，过点 C作 C EAD于 E，CE的延长 线 交AB于 点F，过点 E作 E G BC交 AB 于 点 G，AE AD=16 ，AB=45 (1) 求证：CE=EF ； (2) 求 EG的长 (河南省中考 题 ) 10如图，直角梯形 A B CD中，A90，AC BD ，已知kADBC，则BDA
10、C= ( 江苏省竞赛 题 ) 的平方和斜边中线等于斜边一半所对的直角边等于斜边一半等在学习了相似三角形的知识后我们利用相似三角形法能得到应用极为广泛的结论如图在中于则有同一三角形中三边的平方关系角的相等关系线段的等积式由面积得由得以知识注直角三角形被斜边上的高分成的个直角三角形相似由此导出的等积式的特点是一线段是两个三角形的公共边另两条线段在同一直线上这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求例等腰三角形的底边长为腰拨为求需作出底边上的高就得到与直角三角形相关的基本图形注意动态过程例如图在矩形中于矩形则的长为青岛市中考题思路点拨从题设条件及基本图形入手先建立的等式例如图在中为的中
11、点为上一点点在上连结并延长交于若求证 11如图，在 RtABC中，两条直角边 A B 、AC的长分 别 为l 厘米 、 2厘米，那么直角的角平分线的 长 度等于 厘米 12如图，点 D、E分别在ABC的边 A C和BC 上，C90，DE AB ，且 3DE=2AB ，AE=13 ，BD=9 ，那么 AB的 长 为 ( “我爱数学”初中数学夏 令 营试题) 13如图，ABC为等腰直角三角 形 ， C=90，若 AD=31AC ，CE=31BC ，则1 与2 的大小关 系 是( ) A12 B12 C1=2 D无法确定 (天津市竞赛 题 ) 14如图，ABC中，CD AB交 AB 于点D ，有下列
12、条件 ： A= BCD ；A+ BCD= ADC ；ACBCCDBD；BC2=BD BA 其中，一定能判断 A B C是直角三角形的 共 有( ) A 0 个 B1 个 C2 个 D3 个 (2003年河南省竞赛 题 ) 15如图，在直角梯形 A B C D中 ， AB=7 ，AD=2 ，DC=3 ，如果边 AD 上的点 P使 得 以 P， A、D为顶点的三角形和以 P 、B、C为顶点的三角形相似，那么这样的 点 P有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 16如图，在 RtABC中，ACB=90 ，CD是角平分线，DE BC交 AC 于点 E，DF AC交BC 于点F 求证：(1)
13、四边形 CE D F是正方 形 ；(2)CD2=AE BF (山东省竞赛 题 ) 17如图，在 RtABC中，BCA=90 ，CD AB于 D，已知 RtABC的三边长都是整 数 ， 且BD=113，求 RtBCD与 R tACD的周 长 之比 (全国初中数 学 联赛题) 18如图，在 RtABC中，C=90，A的平分线 A D交BC 边于D，求证：BDBCADAC222 ( 昆明市竞赛 题 ) 19如图，已知边长为 a的正方形 A B CD ，在 AB 、AD上分别 取 点P、S，连结 PS，将 RtSAP绕正 方 形中心O 旋转180 得 RtQCR ，从而得四边形 PQRS 试判断四边
14、形PQ RS 能否变化成 矩 形?若能，设 PA= x，SA=y ，请说明 x 、y 具有什么 关 系时，四边形 PQ R S是矩形；若的平方和斜边中线等于斜边一半所对的直角边等于斜边一半等在学习了相似三角形的知识后我们利用相似三角形法能得到应用极为广泛的结论如图在中于则有同一三角形中三边的平方关系角的相等关系线段的等积式由面积得由得以知识注直角三角形被斜边上的高分成的个直角三角形相似由此导出的等积式的特点是一线段是两个三角形的公共边另两条线段在同一直线上这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求例等腰三角形的底边长为腰拨为求需作出底边上的高就得到与直角三角形相关的基本图形注意动
15、态过程例如图在矩形中于矩形则的长为青岛市中考题思路点拨从题设条件及基本图形入手先建立的等式例如图在中为的中点为上一点点在上连结并延长交于若求证 不能，请说明理由 (山东省济南 市 中考题) 20如图，在ABC中，ACB 90 (1) 当点 D在斜 边A B内时，求证：ABBDADBCBDCD222； (2) 当点 D与点 A重合时，(1) 中的等式是 否 存在?请说明理由 ； (3)当点 D在 B A的延长线上时，(1) 中的等式是 否 存 在?请说明理由 ( 全国初中数 学 竞赛题) 的平方和斜边中线等于斜边一半所对的直角边等于斜边一半等在学习了相似三角形的知识后我们利用相似三角形法能得到应
16、用极为广泛的结论如图在中于则有同一三角形中三边的平方关系角的相等关系线段的等积式由面积得由得以知识注直角三角形被斜边上的高分成的个直角三角形相似由此导出的等积式的特点是一线段是两个三角形的公共边另两条线段在同一直线上这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求例等腰三角形的底边长为腰拨为求需作出底边上的高就得到与直角三角形相关的基本图形注意动态过程例如图在矩形中于矩形则的长为青岛市中考题思路点拨从题设条件及基本图形入手先建立的等式例如图在中为的中点为上一点点在上连结并延长交于若求证 的平方和斜边中线等于斜边一半所对的直角边等于斜边一半等在学习了相似三角形的知识后我们利用相似三角形法
17、能得到应用极为广泛的结论如图在中于则有同一三角形中三边的平方关系角的相等关系线段的等积式由面积得由得以知识注直角三角形被斜边上的高分成的个直角三角形相似由此导出的等积式的特点是一线段是两个三角形的公共边另两条线段在同一直线上这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求例等腰三角形的底边长为腰拨为求需作出底边上的高就得到与直角三角形相关的基本图形注意动态过程例如图在矩形中于矩形则的长为青岛市中考题思路点拨从题设条件及基本图形入手先建立的等式例如图在中为的中点为上一点点在上连结并延长交于若求证 的平方和斜边中线等于斜边一半所对的直角边等于斜边一半等在学习了相似三角形的知识后我们利用相似三角形法能得到应用极为广泛的结论如图在中于则有同一三角形中三边的平方关系角的相等关系线段的等积式由面积得由得以知识注直角三角形被斜边上的高分成的个直角三角形相似由此导出的等积式的特点是一线段是两个三角形的公共边另两条线段在同一直线上这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中例题求例等腰三角形的底边长为腰拨为求需作出底边上的高就得到与直角三角形相关的基本图形注意动态过程例如图在矩形中于矩形则的长为青岛市中考题思路点拨从题设条件及基本图形入手先建立的等式例如图在中为的中点为上一点点在上连结并延长交于若求证
