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1、第5章 曲线和曲面第5章 曲线和曲面5.1 参数表示曲线和曲面的基础知识5.1.1 曲线和曲面的表示方法1显式表示显式表示是将曲线上各点的坐标表示成方程的形式，且一个坐标变量能够用其余的坐标变量显式的表示出来。2隐式表示隐式表示不要求坐标变量之间一一对应，它只是规定了各坐标变量必须满足的关系。3参数表示参数表示是将曲线上各点的坐标表示成参数方程的形式。假定用t表示参数，参数t在0，1区间内变化，当t=0时，对应曲线段的起点，当t=1时，对应曲线段的终点。第5章 曲线和曲面与显式、隐式方程相比，用参数方程表示曲线和曲面更为通用，其优越性主要体现在以下几个方面：（1）曲线的边界容易确定。（2）点动
2、成线。（3）具有几何不变性。（4）易于变换。（5）易于处理斜率为无穷大的情形。（6）表示能力强。第5章 曲线和曲面5.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率与挠率1位置矢量2切矢量3法矢量主法矢量 、副法矢量 法平面、密切平面 、副法平面 第5章 曲线和曲面4曲率和挠率第5章 曲线和曲面5.1.3 样条表示1插值、逼近和拟合给定一组称为控制点的有序坐标点，通过这些控制点，可以构造出一条样条曲线：如果样条曲线顺序通过每一个控制点，称为对这些控制点进行插值，所构造的曲线称为插值样条曲线；如果样条曲线在某种意义下最接近这些控制点（不一定通过每个控制点），称为对这些控制点进行逼近，所构造的曲线为逼近样
3、条曲线；插值和逼近统称为拟合。第5章 曲线和曲面2曲线的连续性（1）参数连续性0阶参数连续性1阶参数连续性2阶参数连续性（2）几何连续性0阶几何连续性1阶几何连续性2阶几何连续性 第5章 曲线和曲面5.2 Hermite曲线5.2.1 n次参数多项式曲线给定n+1个控制点，可以得到如下n次参数多项式曲线p(t)：经过分解，上式可改写为如下形式：通常，将TM矩阵称为n次参数多项式曲线的基函数（或称调和函数、混合函数）。 第5章 曲线和曲面5.2.2 三次Hermite曲线的定义如果给定一段三次参数样条曲线的两个端点的位置矢量为p(0)、p(1)，切矢量为p(0)、p(1)，则三次Hermite曲
4、线的矩阵表示为：通常，将T称为矢量矩阵，将Mh称为通用变换矩阵，将Gh称为Hermite系数，将TMh称为Hermite基函数。 第5章 曲线和曲面5.3 Bezier曲线5.3.1 Bezier曲线的定义在空间给定n+1个控制点，其位置矢量表示为Pi（i = 0, 1, , n）。可以逼近生成如下的n次Bezier曲线：其中， 称为伯恩斯坦（Bernstein）基函数，它的多项式表示为： 第5章 曲线和曲面依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi，Pi+1，（i = 0, 1, , n 1），便得到一条n边的折线P0P1P2Pn，将这样一条n边的折线称为Bezier控制多边形（或特征多边形），简
5、称为Bezier多边形。Bezier曲线和它的控制多边形十分逼近，通常认为控制多边形是对Bezier曲线的大致勾画，因此在设计中可以通过调整控制多边形的形状来控制Bezier曲线的形状。第5章 曲线和曲面1一次Bezier曲线（n=1）一次多项式，有两个控制点，其矩阵表示为： 显然，它是一条以P0为起点、以P1为终点的直线段。第5章 曲线和曲面2二次Bezier曲线（n=2）二次多项式，有三个控制点，其矩阵表示为：显然，它是一条以P0为起点、以P2为终点的抛物线。第5章 曲线和曲面3三次Bezier曲线（n=3）三次多项式，有四个控制点，其矩阵表示为：可知，三次Bezier曲线是一条以P0为起
6、点、以P3为终点的自由曲线。第5章 曲线和曲面5.3.2 Bernstein基函数的性质1正性2端点性质3权性（规范性）4对称性5最大值6递推性7导函数第5章 曲线和曲面5.3.3 Bezier曲线的性质1端点性质位置矢量 切矢量 二阶导矢 2对称性3凸包性4几何不变性5变差缩减性6仿射不变性第5章 曲线和曲面5.3.4 Bezier曲线的生成1Bezier曲线的生成算法参见例5-22手工绘制一段Bezier曲线3Bezier曲线的连接4Bezier曲线的升阶与降阶第5章 曲线和曲面5.4 B样条曲线 5.4.1 B样条曲线的定义在空间给定m + n + 1个控制点，用向量Pi表示（i = 0
7、,1, m + n），称n次参数曲线：为n次B样条的第i段曲线(i = 0, 1, , m)。其中：Fl,n(t)是新引进的B样条基函数，即：这样一共有m + 1段B样条曲线，统称为n次B样条曲线。第5章 曲线和曲面依次用直线段连接相邻的两个控制点Pi+l与Pi+l+1（l = 0, 1, , n 1），将得到的折线称为第i段的B控制多边形。由第i段的B控制多边形决定的B样条曲线称为第i段B样条曲线。由于任意一段的B样条曲线具有相同的几何性质，因此取i = 0，即第0段的B样条曲线进行研究，第0段的B样条曲线定义式为： 第5章 曲线和曲面5.4.2 B样条曲线的表示及性质以三次B样条曲线为例：
8、1、三次B样条曲线的矩阵表示第5章 曲线和曲面2、三次B样条曲线的端点性质位置矢量切矢量二阶导数3、三次B样条曲线的连续性第5章 曲线和曲面5.4.3 B样条曲线的生成1B样条曲线的生成算法参见例5-9 2反求三次B样条曲线控制点3B样条曲线与Bezier曲线的转换第5章 曲线和曲面5.5Coons曲面5.5.1 参数曲面的基本概念定义双参数曲面的方程为： P(u,v)，u,v0,1则曲面片的四条边界可以由参数曲线P(u,0), P(u,1), P(0,v), P(1,v)定义，曲面片的四个角点可以由P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)定义。第5章 曲线和曲面5.5.2 Co
9、ons曲面的定义应用Hermite曲线的基函数，可以构造出一个双三次Coons曲面，其矩阵表示为： 其中：第5章 曲线和曲面它称为角点信息矩阵。 第5章 曲线和曲面5.5.3 Coons曲面的拼合设有两块相邻的曲面片P与Q，两块Coons曲面片的拼接分为沿u方向的拼接和沿v方向的拼接。以沿u方向的拼接为例 ：1若要满足G 0连续，则要求P与Q有共同的边界，即 。2若要满足G 1连续，则要求P与Q在共同的边界上有相同的切平面，即 ，k为常数。第5章 曲线和曲面5.6Bezier曲面5.6.1 Bezier曲面的定义及性质1Bezier曲面的定义在空间给定(n+1)(m+1)个点Pij(i=0,1
10、n; j=0,1m)，则可逼近生成一个nm次的Bezier曲面片，其定义为：称Pij为P(u,v)的控制顶点；把由两组多边形Pi0Pi1Pim (i=0,1,n)和P0jP1jPnj (j=0,1,m)组成的网格称为P(u,v)的控制多面体（控制网格），记为Pij。同样，P(u,v)是对Pij的逼近， Pij是P(u,v)的大致形状的勾画。第5章 曲线和曲面由16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个双三次(33次)Bezier曲面片，其矩阵表示为：其中： 第5章 曲线和曲面2Bezier曲面的性质Bezier曲面的许多性质与Bezier曲线的许多性质完全一致。端点性质边界线的位置凸包性 第5章 曲线和曲面5.6.2 Bezier曲面的生成参见例5-10第5章 曲线和曲面5.7B样条曲面5.7.1 B样条曲面的定义在空间给定(n+1)(m+1)个点Pij(i=0,1n; j=0,1m)，则可逼近生成一个nm次的B样条曲面片，其定义为：相比于Bezier曲面，B样条曲面要更加逼近于控制网格。第5章 曲线和曲面由16个控制顶点所构成的控制网格可绘制一个双三次(33次)B样条曲面片，它的矩阵表示为：其中：第5章 曲线和曲面5.7.2 B样条曲面的生成参见例5-11
