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1、线性代数下页结束返回用正交变换化二次型为标准型Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望线性代数下页结束返回 定义定义1 设设a a (a1, a2, , an )T与与b b (b1, b2, , bn )T是两个是两个n维向维向量，量，则实数则实数称为向量称为向量a a和和b b的内积，记为的内积，记为(a , b a , b ). . 或或a aT Tb .b .内积的定义内积的定义(复习复习)例如，设例如，设a a (- -1, 1, 0, 2)T，b b (2, 0,
2、 - -1, 3)T , 则则a a和和b b 的内积为的内积为(a a , , b b ) (- -1) 2+ +1 0+ +0 (- -1)+ +2 3 4 . .下页内积的性质内积的性质(复习复习) 设设a a，b b，g g 都都为为 n维向量，维向量，k为常数为常数. (1) ( a,ba,b ) (b,ab,a ) ； (2) (ka,ba,b ) k ( a,ba,b ) ； (3) (a+b,ga+b,g ) ( a,ga,g ) + + ( b, b, g g ) ； (4) ( a,aa,a ) 0，当且仅当，当且仅当a a o时，有时，有( a,aa,a ) 0 .线性代
3、数下页结束返回下页向量的长度向量的长度(复习复习)定义定义2 对于向量对于向量a a (a1, a2, , an )T，其长度，其长度(或模或模)为为例如，向量例如，向量a a (- -3, 4)T的长度为的长度为定义定义3 长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量单位向量. . 向量的单位化（标准化）向量的单位化（标准化） (复习复习)若若a a 为为非零向量，则非零向量，则为单位向量，称此过程为向量的标准化为单位向量，称此过程为向量的标准化.线性代数下页结束返回正交向量组正交向量组(复习复习)下页 定义定义4 设向量设向量a a，b b都为都为n维为维为向量，若向量，若(a a ,b b
4、 )0，则称向量，则称向量a a与与b b互相互相正交正交(垂直垂直). 定义定义5 如果如果m个非零向量组个非零向量组 a a1，a a2， ，a am 两两正交，即两两正交，即 (a ai ,a aj ) 0(i j), 则称该向量组为则称该向量组为正交向量组正交向量组. .如果正交向量组如果正交向量组a a1，a a2， ，a am的每一个向量都是单位向量的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为则称该向量组为标准正交向量组标准正交向量组. .即即线性代数下页结束返回 证明证明: (反证反证) 设设a a1，a a2， ，a am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向线性相关，则其中至少有
5、一向量可由其余向量线性表示，不妨设量线性表示，不妨设a a1可由可由a a2， ，a am线性表示，即有一组数线性表示，即有一组数k2， ，km，使，使 a a1k2a a2+ + + +kma am ，于是，于是 (a a1 , a a1)= (a a1 , k2a a2+ + + +kma am) = (a a1 , k2a a2)+ + + (a a1 , kma am) =k2 (a a1 , a a2)+ + + km (a a1 , a am)=0这与这与(a a1 , a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2， ，a am线性无关线性无关. . 定理定理1 正交向量组是
6、线性无关的向量组正交向量组是线性无关的向量组.下页2.8 2.8 向量组的正交化标准化向量组的正交化标准化线性代数下页结束返回 定理定理2 对于线性无关的向量组对于线性无关的向量组a a1,a a2, ,a am，令，令则向量组则向量组b b1,b b2, ,b bm是是正交向量组正交向量组. .下页施密特正交化方法施密特正交化方法 另另 外外 ： 很很 明明 显显 ， 向向 量量 组组a a1,a a2, ,a am可可 由由 向向 量量 组组b b1,b b2, ,b bm线性线性表示表示. .线性代数下页结束返回下页 由由此此可可知知，若若向向量量组组a a1,a a2, ,a am为为
7、AX=o的的一一个个基基础础解解系系，则向则向量组量组b b1,b b2, ,b bm也为也为AX=o的一个基础解系的一个基础解系. . 向向量量组组b b1,b b2, ,b bm也也可可由由向向量量组组a a1,a a2, ,a am线线性性表表示示，因为：因为：线性代数下页结束返回 例例1已已知知向向量量组组a a1 (1,1,1,1)T, a a2 (3,3,-1,-1)T, a a3 (-2, 0, 6, 8)T,线性无关，试将它们正交化、标准化线性无关，试将它们正交化、标准化. .解解:(1)(1)先先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
8、b1a1(1, 1, 1, 1)T(3, 3, -1, -1)T(2, 2, -2, -2)T (-1, 1, -1, 1)T(1, 1, 1, 1)T此时此时 b b1, b b2, b b3 为正交向量组为正交向量组. .下页线性代数下页结束返回(2)(2)再将再将正交化后的向量组标准化，即令正交化后的向量组标准化，即令此时此时 1, 2, 3 即为所求标准正交向量组即为所求标准正交向量组. .说明：说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化. .下页线性代数下页结束返回例如，单位矩阵例如，单位矩阵E为正交矩阵为正交矩阵. 定义定义1 如果如果n
9、阶实矩阵阶实矩阵A满足满足 ATA E 或或 AATE，则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.下页再如，矩阵再如，矩阵也为正交矩阵也为正交矩阵. 正交矩阵的概念正交矩阵的概念一、正交矩阵与一、正交矩阵与正交变换正交变换线性代数下页结束返回正交矩阵具有如下性质：正交矩阵具有如下性质： 1A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A- -1 A AT； 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵；正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵；两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且正交矩阵是满秩的且|A|=1或或-1； 5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列为正交矩阵的充分
10、必要条件是其列(行行)向量组是标准向量组是标准正交向量组正交向量组. . （证明见下页）（证明见下页）下页正交矩阵的性质正交矩阵的性质线性代数下页结束返回 性质性质5 设设A为为n阶实矩阵，则阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其为正交矩阵的充分必要条件是其列列(行行)向量组是标准正交向量组向量组是标准正交向量组. 证明：证明：设设A (a a1，a a2， ，a an)，其中，其中a a1，a a2， ，a an为为A的列向的列向量组，则量组，则AT的行向量组为的行向量组为a a1T，a a2T， ，a anT，于是，于是 显然，若显然，若A为正交矩阵，则为正交矩阵，则a a1，a a2
11、， ，a an为标准正交向量组；为标准正交向量组；若若a a1，a a2， ，a an为标准正交向量组，则为标准正交向量组，则A为正交矩阵为正交矩阵.A的行向量组的证明类似，略的行向量组的证明类似，略.下页线性代数下页结束返回定义定义2 设设P为为n阶正交矩阵，阶正交矩阵，X,Y是都是是都是n维向量维向量，称线性变换称线性变换 性质性质1 正交变换是可逆线性变换；正交变换是可逆线性变换； 性质性质2 正交变换不改变向量的内积正交变换不改变向量的内积. .下页XPY为正交变换为正交变换.正交变换的概念正交变换的概念正交变换的性质正交变换的性质证明：证明：因为因为一、正交矩阵一、正交矩阵与与正交变
12、换正交变换线性代数下页结束返回下页 那么，这个那么，这个P 存在吗？存在吗？线性代数下页结束返回若若A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量x x1, x x2, x xn，令令 Q=(x x1, x x2, x xn), 则有则有 Q-1AQ=L L； 将将x x1, x x2, x xn正交化标准化为正交化标准化为 1, 2, n，令令 P=( 1, 2, n), 仍有仍有P -1AP=L (L (正交必无关正交必无关) ) , 即有即有 P TAP=L (L (因为因为PT=P -1) ).问题：问题：（1）n元二次型的矩阵（即实对称矩阵）元二次型的矩阵（即实对称矩阵）A是否存在
13、是否存在n个个实特征值实特征值?（2）A的特征值是否对应的特征值是否对应n个标准正交的特征向量个标准正交的特征向量?分析：分析： 那么，这个那么，这个P 存在吗？存在吗？下页线性代数下页结束返回二、二、 实对称矩阵的性质实对称矩阵的性质定理定理2 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的. 定理定理1 实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的的 ti 重特重特征值征值l li 对应对应ti 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.下页定理定理3 设设A为为n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵阶实对称矩阵，则必有正
14、交矩阵P 使使其中其中为为A的的n个特征值，个特征值， 正交矩阵正交矩阵P 的的n个列向量个列向量是矩阵是矩阵A对应于这对应于这n个特征值的标准正交的特征向量个特征值的标准正交的特征向量.线性代数下页结束返回三、三、 用正交变换化二次型为标准形用正交变换化二次型为标准形（要求：熟练掌握！）（要求：熟练掌握！） (1) 写出二次型的矩阵形式；写出二次型的矩阵形式； (2) 求出求出A的全部特征值的全部特征值l l1, l l2 , , l ln ； (3) 对每一个特征值对每一个特征值l li , 解方程解方程 (l li E-A )X=o, 求出基础解系，求出基础解系， 然后用施密特正交化方法
15、将其正交化，再标准化；然后用施密特正交化方法将其正交化，再标准化； (4) 将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一将所有经过正交化标准化的特征向量作为列向量构成一 个矩阵就得到了正交矩阵个矩阵就得到了正交矩阵P，所求的正交变换为，所求的正交变换为 XPY； (5) 所求二次型的标准形为所求二次型的标准形为下页线性代数下页结束返回例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形解解: : 二次型的二次型的 f 系数矩阵为系数矩阵为矩阵矩阵A的特征方程为的特征方程为解得解得 l l1=-2, =-2, l l2= =l l3=7=7下页线性代数下页结束返回 对于
16、对于l l1 1=-2=-2，解方程组，解方程组( (- -2 2E- -A) )X= =o,得基础解系得基础解系将其正交化得将其正交化得将其单位化得将其单位化得将其单位化得将其单位化得得基础解系得基础解系下页解得解得 l l1=-2, =-2, l l2= =l l3=7=7 对于对于l l2= =l l3=7=7，解方程组，解方程组(7(7E- -A) )X= =o,例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形线性代数下页结束返回 令令则通过正交变换则通过正交变换下页例例1.1. 用正交变换化下列二次型为标准形用正交变换化下列二次型为标准形将二次型将二次型 f
17、 化为标准形化为标准形线性代数下页结束返回例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P 解：解：f 的系数矩阵的系数矩阵A及标准形及标准形的系数矩阵分别为的系数矩阵分别为由已知条件得由已知条件得 即即 4(9- a2) =32，解得解得 a=1, a= -1 (舍去舍去). 由由A相似于对角阵相似于对角阵，得，得A的的 特征值为特征值为 l l1 1= =2，l l2 2= =l l3 3= =4 对于对于l l1 1= =2 ，解方程组，解方程组 (2E-A)X=o,得基础解系得基础解系下页故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以有，所以有
18、 A求求a及正交及正交线性代数下页结束返回把把x x1单位化，得对应于单位化，得对应于l l1 1= =2的单位特征向量的单位特征向量 对于对于l l2 2= =l l3 3=4 =4 ，解方程组，解方程组(4E- -A)X= =o,（注意求基础解系的过程）（注意求基础解系的过程）4E-A 4- 4 0 0 00-1 4-3 30 4-3 0-1 0 0 0 0 -11 01 -100 00 0100-1下页例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P求求a及正交及正交线性代数下页结束返回4E-A 4-4 0 0 00-1 4-304-3
19、0-1 0 0 0 0 -11 01 -100 01 00-10000 00 0100-1(4E- -A)X o 的一般解为的一般解为 x2 0x1 + + x3 ,其基础解系为其基础解系为下页例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P求求a及正交及正交线性代数下页结束返回所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为下页00 01 00-100(4E- -A)X o 的一般解为的一般解为 x2 0x1 + + x3 ,其基础解系为其基础解系为例例2. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形变换矩阵变换矩阵P求求a及
20、正交及正交将将x x2, x x3正交化标准化得正交化标准化得线性代数下页结束返回例例3. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形,求求a , b的值及正交的值及正交变换矩阵变换矩阵P 由由A相似于对角阵相似于对角阵, 得得A的的 特征值为特征值为 l l1= =0, ,l l2=1,=1,l l3=4=4 对于对于l l1 1= =0, ,解方程组解方程组(0E - A)X=o,得基础解系得基础解系下页由已知条件得由已知条件得故故A相似于对角阵相似于对角阵，所以，所以 A Tr(A)= Tr(), 解得解得即即 解：解：f 的系数矩阵的系数矩阵A及标准形及标准形的系数矩阵分别为的系数矩阵分别为线性代数下页结束返回把把x x1单位化，得对应于单位化，得对应于l l1= =0的单位特征向量的单位特征向量类似可得对应于类似可得对应于l l2= =的单位的单位特征向量为特征向量为对应于对应于l l3= =的单位特征向量为的单位特征向量为所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为下页例例3. 已知二次型已知二次型通过正交变换通过正交变换X=PY化为标准形化为标准形,求求a , b的值及正交的值及正交变换矩阵变换矩阵P
