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1、第第1313章章 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理是以分析的方法研究非自由质点系的平衡问题，该原理不但能简捷地处理非自由质点系的静力学问题，而且结合达朗贝原理还能建立普遍形式的动力学微分方程。13.1 约束及其分类约束及其分类 对质点系运动的限制条件称为约束约束(constraint),约束条件的数学表达式称为约束方程约束方程或约束不等约束不等式式。球面摆约束方程:x2 + y2 + z2 = l2mlOxyz 单面约束与双面约束单面约束与双面约束 在约束方程中用严格的等号表示的约束称为双面约束双面约束(bilateral constraint),含有不等号表示的约束称为单面约束单面约束(ul
2、ilateral constraint) 。例如在球面上运动的质点,如果规定质点不能离开球面,则约束是双面的;否则,约束就是单面的。柔绳连接的单摆约束方程:x2 + y2 + z2 l2单面约束单面约束mlxyz约束方程:x2 + y2 + z2 l(t)2 定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束 约束方程不显含时间t的约束称为定常约束定常约束或稳定约束稳定约束(scleronomic constraint); 反之, 如果约束方程显含时间t, 则称为非定常约束非定常约束或不稳定约束不稳定约束(rheonomic constraint) 。摆长可变的单摆mluxyz约束方程:(utx)2 +
3、 y2 = l2非定常约非定常约束的例子束的例子R=at2约束方程:x2 + y2 + z2 a2t4mluxyOyxz 完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束 只限制系统中各质点的位置的约束称为几何约束几何约束(geometrical constraint),其其约束方程是坐标和时间的约束方程是坐标和时间的有限方程。有限方程。OAByxrl 曲柄连杆机构曲柄连杆机构xA2 + yA2 = r2 xB = 0xA2 +(yByA)2 = l2OAByxl2l1约束方程:xA2 + yA2 = l12(xBxA )2 +(yByA)2 = l22双数学摆双数学摆 与几何约束相对应的是运动约束运
4、动约束(constraint of motion), 即限制质点运动速度的约束,其约束方程其约束方程是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分是含有坐标和时间以及坐标对时间的导数的微分方程。方程。 沿水平直线纯沿水平直线纯滚的圆盘滚的圆盘 上述约束为运动约束,但其约束方程可积分为有限形式,从而转化为几何约束。几何约束和可积分的运动约束称为完整约束完整约束(holonomic constraint)。这里可积分的意思是不依赖于运动方程而单独积分成有限形式。不可积分的运动约束称为非完整约束非完整约束(nonholonomic constraint) 。AvAxA(x1, y1)B (x2, y2)
5、yOM (x, y)xv 两质点用长为l的刚性轻杆连接,在水平面上运动,杆中点M的速度只能沿杆向。(x1x2 )2 +(y1y2)2 = l2几何约束方程为:杆的中点坐标为:x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2x = (x1+ x2 )/2 y = (y1+ y2)/2由题意 y/ x = (y1y2)/(x1x2 )(y1+ y2)/(x1+ x2 )= (y1y2)/(x1x2 )故非完整约束方程为13.2 广义坐标及自由度广义坐标及自由度 适当选取的唯一确定质点系位置的一组独立变适当选取的唯一确定质点系位置的一组独立变量称为广义坐标量称为广义坐标(generali
6、zed coordinate)。对于完整系统(仅受完整约束的系统),其广义坐标数即为系统的自由度自由度(degree of freedom)。 小球在三维空间的运动,自由度为3, 广义坐标可选直角坐标x,y,z。 当它被限制在平面z=b上运动时, 自由度为2, 广义坐标可选直角坐标x,y;或极坐标r,。xyzz=br(x,y)xA2 + yA2 = r2 xB = 0xA2 +(yByA)2 = l2 确定质点系位置所需的独立变量数为1, 即系统的自由度为1, 可在 xA、yA和 yB 中任选一个作为广义坐标, 但是选取角有时会更方便。曲柄连杆机构曲柄连杆机构OAByxrlxA2 + yA2
7、= l12(xBxA )2 +(yByA)2 = l2212系统的自由度为2, 可在xA、yA 、xB 和 yB 中任选2个能唯一确定系统位形的变量作为广义坐标, 当然也可以选取1和2 。 广义坐标不一定是直角坐标广义坐标不一定是直角坐标,也可以是球坐标、也可以是球坐标、柱坐标、角度、距离、面积等等柱坐标、角度、距离、面积等等,只要它是一组能只要它是一组能唯一确定系统位形的独立变量就行。唯一确定系统位形的独立变量就行。双数学摆双数学摆OAByxl2l113.3 虚位移虚位移 可能位移可能位移(possible displacement) 是指约束所允许的系统的任何一组无限小位移。 本节将引入可
8、能位移、实位移和虚位移的概念,研究它们之间的关系,以及它们要满足的条件。 drdrOABdrAdrBdrBdrA 实位移实位移 在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生的位移称为实位移实位移(actual displacement)。 所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是唯一的,并且是可能位移之一。但反过来,任意一组可能位移则不一定是实位移。 虚位移虚位移 在定常约束的情况下, 可能位移就是虚位移虚位移(virtual displacement)。在非定常约束的情况下,虚位移是约束被冻结冻结后的可能位移。定定常常约约束束r
9、r约束方程: zut = 0非定常约束非定常约束 dz = udt 可能位移dr在z方向的投影等于udt。z=ut=0 虚位移r在z方向的投影等于零。 等时变分运算与微分运算相同等时变分运算与微分运算相同,但但t0。xyztt+dtudrrdr(1)可能位移和虚位移是纯碎的几何概念,它们不涉及系统的实际运动,与运动方程和初始条件无关。实位移是系统真实运动产生的位移,是可能位移中的一个。(2)一般说,系统的可能位移和虚位移都不是唯一的,在不破坏约束的前提下, 具有一定的任意性; 但实位移却是唯一的。(3)在定常约束的情况下,虚位移与可能位移相一致,实位移是虚位移中的一个。在非定常约束的情况下,虚
10、位移是约束被凝固后的可能位移,实位移是可能位移中的一个,但不是虚位移中的一个。注意注意:13.4 虚位移原理虚位移原理一、一、 虚位移的计算虚位移的计算 本节讨论如何确定非自由质点系的虚位移之间的关系,仅研究定常的完整系统定常的完整系统, 常用的方法有几何法和解析法。 几何法几何法 在定常约束的情况下,实位移是虚位移中的一个, 而质点的实位移是与其速度成正比的, 故可用求速度的几何法来分析各质点的虚位移之间的关系, 这就是几何法的主要思路。 解析法解析法 解析法是将各质点的坐标表示为广义坐标的函数,然后再求变分,得到用广义坐标的独立变分表示的虚位移。例例1 图示曲柄连杆机构,已知和 ,OA=A
11、D,试确定A、B和D的虚位移之间的关系。解解: 系统的自由度为1,独立的虚位移只有一个。A、B和D的虚位移如图示。根据相应的速度关系可得OABD+rArBrD例例2 图示双数学摆,已知l1和l2, 试确定A 和B 的虚位移之间的关系。解解: 系统的自由度为2 , 取1和2为广义坐标,如图所示有12OAByxl2l112OAByxl2l1二、二、 虚位移原理虚位移原理 具有定常、理想约束的完整系统平衡的充具有定常、理想约束的完整系统平衡的充分必要条件是分必要条件是 : 作用于质点系的所有主动力作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上的元功总和为零。在任何虚位移上的元功总和为零。 上述结论称为虚位移
12、原理虚位移原理(principle of virtual displacement),其表达式为 虚位移原理是分析静力学的基本原理,因为力在虚位移上的功称为虚功,故虚位移原理也称为虚功原理虚功原理(principle of virtual work)。 虚位移原理虚位移原理关于虚功原理与刚体静力学平衡条件的两点说明:(1)虚功原理常常被认为是更普遍的原理;(2)虚功原理的基本思想是一种变分原理的思想。 理想约束理想约束 如果质点系所受的约束力在任意虚位移上的元功总和为零,则该约束称为理想约束理想约束(ideal constraint)。 这是理想约束的一般定义,显然,在定常约束的情况下,它与原
13、有的定义没有区别。但在非定常约束的情况下,它们是不同的。理论力学 虚位移原理虚位移原理(二二)三、三、 虚位移原理的应用虚位移原理的应用 虚位移原理特别适合于解以下几类静力学问题:在机构的平衡问题中求主动力之间的关系在机构的平衡问题中求主动力之间的关系; 求系求系统的平衡位置统的平衡位置; 求系统平衡时的个别约束力。求系统平衡时的个别约束力。 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束, 代之以约束力, 并将该约束力当作主动力看待。此外, 非理想约束的约束力非理想约束的约束力(例如摩擦力例如摩擦力)必须必须全部视为主动力全部视为主动力, 并计入其虚功。并计入其虚功。OABDMF1F2例例1
14、 图示曲柄连杆机构, 已知F1 、 F2 、和 , OA=AD=R, 试求平衡力矩M。解解: A、B和D的虚位移如图示。由虚功原理可得F1 rD sin + F2 rB M = 0因为rD = 2rArB = rA sin( + )/ cos = rA /ROABDMF1F2rArB +rD3060ABECDlF2F1例例2 小球D和E重F1和F2 ,可分别沿固定的光滑金属丝AC和BC滑动, 二球用一根不可伸长的绳连接,如图所示,试求平衡时的 角。提示提示: 此题是应用虚功原理求系统的平衡位置,考虑如何将二主动力的虚功表示为某个独立变分(例如 )的函数。解解: 取y轴铅直向上,由虚功原理有y
15、F1yD F2yE = 0因为yD = AD sin 30 而AD = AC l cos yD = (AC l cos )/2 同理可得3060ABECDlF2F1 F1 yD F2 yE = 03060ABECDlF2F1解解: D、E的虚位移如图示。由虚功原理可得rDrE因所以点评点评:(1) 对于理想约束系统,在机构的平衡问题中求主动力之间的关系及求系统的平衡位置时, 应用虚功原理, 由于仅涉及主动力, 因而计算比较简洁。(2)应用虚功原理的关键是将虚功方程左边将虚功方程左边表示成独立虚位移上的虚功总和表示成独立虚位移上的虚功总和,为此必须首先确定各个虚位移之间的关系, 常用的方法有几何
16、法和解析法。ACBDF例例3 图示桁架,已知:F,CD=3m , AD=BD=6m。试求:(1)支座B 的约束反力;(2)DB 杆的内力。提示提示: 求平衡系统的约束力时,首先要解除与之对应的约束,代之以约束力,并将该约束力当作主动力看待。 解解: (1) 铰B解除约束,代之以约束反力FB, B和D的虚位移如图示。由虚功原理可得F rD FB rB = 0而 rB=2rD (F 2FB )rD = 0FB = F/2ACBDFFBrDrB (2) 解除杆DB, 代之以内力FDB及FDB如图示, 并画出相关的虚位移, 由虚功原理可得F rD FDB rB = 0因为rB cos = rC sin
17、 2 又ACBDFFDBFDBrDrBrCF rD FDB rB = 0FDB = F rB = rD ACBDFrDrBrCFDBFDB点评点评: 求平衡系统的某个约束力时, 只需要解除与之对应的约束, 代之以相应的约束力,并给予虚位移, 但必须保证不破坏结构和其它约束条件。ABGCDO例例4 图示均质杆AB重G ,长2l,两端均为光滑接触。如要AB杆在任何位置均能保持平衡,试求曲线OD的形状。提示提示: OD曲线的形状应使其上A点的坐标在任意位置都满足虚功方程。yx解解: 引入坐标系如图示,由虚功原理有G yC = 0yC = 0因为yC = (yA + yB)/2yC = (yA + y
18、B)/2yA + yB = 0积分上式得yA + yB = C1ABGCDOyxyA + yB = 2l再由几何关系yA + yB = C1当yA=0时, yB =2l, 故C1=2l, 因此ABGCDOyx例例5 图示机构,已知FP及, 滑块E处的静摩擦系数为f, AK=EK=a, CD=DK=KB=BC=b。试求机构平衡时的力FQ的取值范围。ABECKDFPFQxyFNF解解: 用虚功原理求解时, 摩擦力应作为主动力,故必须先求出。MA=0FN=FP/2在临界状态有F = fFN= fFP/2而xE =2a cos xE = 2asin yC = (a+2b) sin yC = (a+2b) cos ABECKDFPFQ由虚功原理可得(F FQ )xE FPyC = 0xE = 2asin yC = (a+2b) cos xyFNFABECKDFPFQ同理可得xyFNFABECKDFPFQ点评点评: 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统, 当有摩擦力存在时, 必须将摩擦力视为主动力,并计入其虚功。习题习题:13.2, 13- 6, 13- 8, 13- 13, 13- 15
