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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！11 正弦定理（教学设计） 教学目标 1 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、
2、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重、难点 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 学法与教学用具 学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：sin sin sinabcABC=，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学过程： 一、创设情景、新课引入 如图 11-1，固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB
3、 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B 二、新课讲解： (图 11-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc=，sinbBc=，又sin 1cCc=, A 则sin sin sinabccABC= b c 从而在直角三角形 ABC 中，sin sin sinabcABC= C a B (图 11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析
4、） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 11-3，当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=sinsinaBbA=,则sin sinabAB=， 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！ C 同理可得sin sincbCB=， b a 从而sin sinabAB=sincC= A c B (图 11-3) 思考： 是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究这个问题。 （证法二） ：过点 A 作j ACu ruu u r， C 由向量的加法可得 A
5、BACCB=+uuruu u ruu r 则 ()jABj ACCB=+u r uuru ruu u ruu r A B jABjACjCB=+u r uuru r uu u ru r uu r ju r ()()00cos900cos90= +r uuu rr uuu rj ABAj CBC sinsin=cA aC，即sinsin=acAC 同理，过点 C 作ruuu rjBC，可得 sinsin=bcBC 从而 sin sinabAB=sincC= 类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中
6、，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sinabAB=sincC= 理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使sinakA=，sinbkB=，sinckC=； （2）sin sinabAB=sincC=等价于sin sinabAB=，sin sincbCB=，sinaA=sincC 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB=； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb=。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三
7、角形。 例题分析 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！例 1（课本例题） 在ABC中，已知032.0=A，081.8=B，42.9=acm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， 0180()=+CAB 000180(32.081.8 )=+ 066.2=； 根据正弦定理， 00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0=aBbcmA； 根据正弦定理， 00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0=aCccmA 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 变式训练 1：已知在BbaCAcAB
8、C和求中，,30,45,1000= 解：0030,45,10=CAc 00105)(180=+=CAB 由CcAasinsin=得 21030sin45sin10sinsin00=CAca 由CcBbsinsin=得 25654262075sin2030sin105sin10sinsin000+=+=CBcb 例 2 （课本例题）在ABC中，已知20=acm，28=bcm，040=A，解三角形（角度精确到01，边长精确到 1cm） 。 解：根据正弦定理， 0sin28sin40sin0.8999.20=bABa 因为00B0180，所以064B，或0116 .B 当064B时， 0000018
9、0() 180(4064 ) 76=+=CAB， 00sin20sin7630().sinsin40=aCccmA 当0116B时， 00000180() 180(40116 ) 24=+=CAB， 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！00sin20sin2413().sinsin40=aCccmA 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 变式训练 2： （1）在CAacBbABC, 1,60,30和求中，= （2）在CBbaAcABC, 2,45,60和求中，= 解： （1）21360sin1sinsi
10、n,sinsin0=bBcCCcBb 00090,30,60,=BCCBCBcb为锐角， 222=+=cba （2）23245sin6sinsin,sinsin0=aAcCCcAa 0012060,sin或=CcaAc 1360sin75sin6sinsin,75600000+=CBcbBC时，当， 1360sin15sin6sinsin,151200000=CBcbBC时，当 或0060,75, 13=+=CBb00120,15, 13=CBb 例 3：已知ABC 中，A060=，3a=,求sinsin sina b cABC+ 分析：可通过设一参数 k(k0)使sin sinabAB=si
11、nckC=, 证明出sin sinabAB=sincC=sinsin sina b cABC+ 解：设sin sinabAB=( o)sinck kC= 则有sina kA=，sinb kB=，sinc kC= 从而sinsin sina b cABC+=sinsinsinsinsin sinkAkBkCABC+=k 又sinaA=032sin60k=，所以sinsin sina b cABC+=2 评述：在ABC 中，等式sin sinabAB=sincC=()0sinsin sina b ck kABC+=+ 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为
12、您提供优质的文档！恒成立。 变式训练 3：已知ABC 中，sin:sin:sin1:2:3ABC=，求: :a b c （答案：1：2：3） 例 4：在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 求证：三角形面积111sinsinsin222ABCSabCbcAacB= （记忆：两边夹角正弦值的一半） 附： （课本 P8 探究与发现的分析） 已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况: 若 A 为锐角时: =)( ba) ,( babsinA)( bsinA a sin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个
13、解无解abCH=bsinAaba=CH=bsinAaCH=bsinAACBACB1ABACB2CHHH 若 A 为直角或钝角时 :)( ba 锐角一解无解ba 三、课堂小结 （1）定理的表示形式：sinsinabAB=sincC=()0sinsinsinabckkABC+=+； 或sinakA=，sinbkB=，sinc kC=(0)k （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 四、课时必记： （优化设计 P1 知识拓展） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinabAB=sincC=2R （其中
14、 R 指的是三角形外接圆的半径） 五、分层作业： A 组： ： 1在ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( A ) A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！2在ABC中，已知角04 345 ,2 2,3Bcb=,则角A 的值是（ D ） A15 B75 C105 D75或 15 3若sincoscosABCabc=,则ABC是（ C ） A等边三角形 B有一内角是 30 C等腰直角三角形 D有一内角是 30的等腰三角形 4、(tb0146101)已知ABC 中
15、，a=50，b=256，A=450，求 B。 （答：600或 1200） 5、(tb0146102)在ABC 中，已知 a=3，b=2，B=450，求角 A、C 和边 c。 （答：A=600，C=750,c=226 +或 A=1200，C=150，c=226 ） B 组： 1、在ABC中，:1:3 :2a b c =，则:A B C等于（ A ） A B C D 2、(tb4800310)已知在ABC 中，三内角正弦之比为 4：5：6，又周长为152，求三边长。 （略解：2，52，3） C 组： 1、(tb4800302)已知ABC，B为 B 的平分线，求证：ABBCAC （备注：内角平分线定
16、理） 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBCDCBDCBCABDADABDABsinsin,sinsin=， 再根据相等角正弦值相等， 互补角正弦值也相等即可证明结论 证明：在ABD内，利用正弦定理得： ABDADBADABABDADADBABsinsinsinsin=即 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网整理，如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档！在BCD内，利用正弦定理得： .sinsin,sinsinDBCBDCDCBCDBCDCBDCBC=即 BD是B的平分线 ABDDBC sinABDsinDBC ADBBDC180 sinADBsin（180BDC）sinBDC CDBCDBCBDCABDADBADAB=sinsinsinsin DCADBCAB= 评述： 此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系， 并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用
