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1、3参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.知识链接普通方程化为参数方程,参数方程的形式是否唯一?提示不一定唯一.普通方程化为参数方程,关键在于适当选择参数,如果选择的参数不同,那么所得的参数方程的形式也不同.预习导引参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过 而从参数方程得到普通方程.消去参数yg(t)取值范围要点一把参数方程化为普通方程(1)当t为参数,为常数时,方程表示何种曲线?(2)当t为常数,为参数时,方程表示何种曲线?答案
2、x2(y1)21要点二把普通方程化成参数方程例2求方程4x2y216的参数方程:(1)设y4sin ,为参数;(2)若令yt(t为参数),如何求曲线的参数方程?若令x2t(t为参数),如何求曲线的参数方程?跟踪演练2设ytx(t为参数),则圆x2y24y0的参数方程是_.要点三参数方程的应用例3已知x、y满足x2(y1)21,求:(1)3x4y的最大值和最小值;(2)(x3)2(y3)2的最大值和最小值.规律方法1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时,应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用,常选择角为参数,若轨迹与运动有关,常选择时间为参数.2.解决与圆
3、有关的最大值和最小值问题,常常设圆的参数方程,然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值:跟踪演练3如图,已知点P是圆x2y216上的一个动点,定点A(12,0),当点P在圆上运动时,利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程,可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数,通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数,寻求曲线上任一点M的坐标x,y和参数的关系,根据实际问题的要求,我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的,适当
4、地选择参数,可以简化解题的过程,降低计算量,提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同,求轨迹方程只需求出方程即可,而求轨迹往往是先求出轨迹方程,然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后,很容易改变了变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致,因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x2y10等价的参数方程为(t为参数)()解析A化为普通方程为x2y10,x1,1,y0,1.B化为普通方程为x2y10,x1,1,y0,1.C化为普通方程为x2y10,x0,),y(,1.D化为普通方程为x2y10,xR,yR.答案D答案x2y2(y2)解析y2(sin cos )2sin22sin cos cos212sin cos 1x,又xsin 21,1,曲线的普通方程是y2x1(1x1).答案y2x1(1x1)(1)求常数a;(2)求曲线C的普通方程.