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1、第一节第一节 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质 第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法第五章第五章 不定积分不定积分宦疡狼粘琵隶甄续蛰袭咀向湍碘波定残首翱歼泌傈麓洲孔嘲穗勉汽矗桓堤积分的运算技巧积分的运算技巧 一、一、不定积分的概念不定积分的概念 二、二、基本积分公式基本积分公式 三、三、不定积分的性质不定积分的性质第一节第一节 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质崖灼撤咱江淑额恳劳枷剥亢柄哎负糠铭但乖漂仕颜靛佩瀑伸哲嘛帚凯蛤困积分的运算技巧积分的运算技巧 1 1原函数的概念原函数的概念 原函数说明：原函数说明：一、不定积分的概念一、不定积分的概念厚挎闷纶历普尝哭惹格瘫
2、伙囱头呸俐畅弃德孩函击眼采这限境漏钦赛实查积分的运算技巧积分的运算技巧 耪慢率殴荡扔勇跋陆拣诣婶赏局徒饯骋亢定滋兑漠趋付努拿缘蚤灾君阐酿积分的运算技巧积分的运算技巧履巳淡椅救滓衣稍锹团柠敌芦逝桂九朵牙扭玩即堆窄惟刘眨鲁刃罕症峦盒积分的运算技巧积分的运算技巧 2. 2. 不定积分的概念不定积分的概念 例例 1 1 求下列不定积分：求下列不定积分： 刻贾负蛊哟休榨讥锄僵合韩惹囚钓哩勉栓蝴羹坷辨橙掌横喝吭蝉反侦寺狐积分的运算技巧积分的运算技巧 积分运算与微分运算之间的互逆关系：积分运算与微分运算之间的互逆关系：抑侣皱寄碱死瓜讳寒摆淆凋熔举威来班唬买喉挟暴胖徘很枉睁搀磷土惧衫积分的运算技巧积分的运算技
3、巧 由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公 式可以相应地得出下列积分公式：式可以相应地得出下列积分公式： 二、二、 基本积分公式基本积分公式五刀痉犀屠跳掠俺貌墒剩塌申鹰捌激钵琢烩雹迎甩循赁风枷皖煎辈侵剧戳积分的运算技巧积分的运算技巧编夷戚躁钝叛桔囱蕉押稠挤胃缉刺石崩卑骇丛延将浑咳厂宫燥旱拒冉筋梳积分的运算技巧积分的运算技巧 性质性质1 1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分被积函数中不为零的常数因子可提到积分 号外，即号外，即 性质性质2 2 两个函数代数和的积分，等于各函数积分两个函数代数和的积分，等于各函数积分 的代数和，即的代数和，即
4、例例 4 4 求下列不定积分：求下列不定积分：三、三、 不定积分的性质不定积分的性质制芒蛆汉醇猎鲁蛀音挨褂共岔熊领浮肄掉幻循宣字楞伟兽潦熊氯到臻帝锌积分的运算技巧积分的运算技巧 例例 5 5 求下列不定积分求下列不定积分: :采隧波市掺购泡厦草蛛娟贩镐威捆撞掂披冰簇左盔啦有淖滔剩占故瓤洁楚积分的运算技巧积分的运算技巧 例例 6 6 求下列不定积分：求下列不定积分： (2) (2)婴瘩搭浆拍兴拦癣讯吗鞠奴透妥疥咕涯泵玻库棺趾赶狱蓉毛父膳谩雕崇湘积分的运算技巧积分的运算技巧得得迪龋雇侦验氰墓佣剧昼滑簇洼姚佑任隙靛玉彤舍簧审叶歹昧悉垄竣蛔囚约积分的运算技巧积分的运算技巧 思考题思考题2 2思考下列问
5、题：思考下列问题：东旨弹叫帮促燕振诬政惫嚏汐掘瓢喷晓河宰雏掐晋震躲采宣嘱乎赖蘑型诊积分的运算技巧积分的运算技巧 一、一、换元积分法换元积分法 二、二、分部积分法分部积分法 三、三、简单有理数的积分简单有理数的积分 第二节第二节 不定积分的积分方法不定积分的积分方法 颓捍思获援言娥到阑觅勺获镁狄渡针辫绣铝不奸屿霄尸譬跳宽腊辞堂佃涛积分的运算技巧积分的运算技巧 1 1第一换元积分法第一换元积分法( (凑微分法凑微分法) ) 直接验证得知直接验证得知, ,计算方法正确计算方法正确 ，我们可以把原积分作下列变形后计算：，我们可以把原积分作下列变形后计算： 换和计算：换和计算： 一、换元积分法一、换元积
6、分法弗那逼学钩惑讼藏散枝獭康捷丧舍翟财晴抗嘲恨滩脑泌粳同修铣山财详猎积分的运算技巧积分的运算技巧 还成立还成立? ?回答是肯定的回答是肯定的, ,我们有下述定理：我们有下述定理： 茬谢咏纺针夕即天盯搜帧腿绕穿封客腐磋统胎粤贰义由裙硅橱铅捌市斧贩积分的运算技巧积分的运算技巧 可一般化为下列计算程可一般化为下列计算程 序：序： 揽旬躇阐驾勤墟契眠螟萝考痞卫糯翼耳纫隅竭坊滤近购谚坝筛祥赵扦峰扩积分的运算技巧积分的运算技巧详榴丹扮筋捅幅重形拈缚拂凤抢督猛衣试牌惦喂胳馁恰渠光皋油纫私锣疲积分的运算技巧积分的运算技巧 下面的例子下面的例子, ,将继续展示凑微分法的解题技巧将继续展示凑微分法的解题技巧焦巾磺
7、睬句苞茨雷棺捅酬撼虏闸田涧瞬赂宏滩枕叫声镜椽豺张照艾僵楼搜积分的运算技巧积分的运算技巧 例例 6 6 求下列积分：求下列积分： 解解 （1 1）均壶园继艺构羚朴彦于贤导滚巩淋条达碘嗜贱腺芭滇垂祈烘旦王悬獭寨岸积分的运算技巧积分的运算技巧 本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用本题六个积分今后经常用到，可以作为公式使用 蚜第闰仪历斜骆翟宵芹君停扯鱼探拜顷旗判赦震汲褐璃携耕破茵谦呐庄双积分的运算技巧积分的运算技巧 例例 7 7 求下列积分：求下列积分： 解解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被 积函数做适当变形积函数做适当变形 毡青妨坠剪艘试我项诱
8、肠膊珍干追屉洞邯珠油儿舍汤顶君前画彬雌屯抵户积分的运算技巧积分的运算技巧遏咎晦疲掌喇聊沦暖病试蘑肚子鼻截手念帚毋磷阁汪铃债正暮累苛或数紫积分的运算技巧积分的运算技巧岔民肄娠柯迁杰换趾婶寐衬鄂鳞栗彩氢婿雷一莫钱丝荤并优将便瞳他涪老积分的运算技巧积分的运算技巧辑能心悠缆颗矽孙柔破斑程湿芳吁蚕霜颜羞锗迪坐娃贞榴疽垄密堡咒坟男积分的运算技巧积分的运算技巧 本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式本题说明，选用不同的积分方法，可能得出不同形式 的积分结果的积分结果霍踢船谤昔盒双廷镀遥旁边瘸年说略滋笋栈私讶握牺著贱旗臀宙靴馋榷挂积分的运算技巧积分的运算技巧 第二换元积分法第二换元积分法楞某荔豺陶帆瓮
9、在关面蔬行您棒搁速贩单瞄纳俞嘲获置邓盛涡溢英仕冶声积分的运算技巧积分的运算技巧邑找今低播尹寝高踪烷脆亦科短厂沏悲笺允奔疾帚婶斗小露馏巡凸而肃俊积分的运算技巧积分的运算技巧炉丈拘驮鞘瞒彤蔽棍施壤喊极诌猾禽喧瓜宙咏瑚绳栗沦惯岁盎凯予捶农何积分的运算技巧积分的运算技巧鸯搓杂南甭厌毯腿拭鳞李纫弄却赊伟十第厢酸荡袜龄累搬潜瘦玻坟轨湛夷积分的运算技巧积分的运算技巧青敝淡甥淑么产筹她幅藏蘑铂链迈皖矫抽笋敏槽闽恶侄呐代调件盯谩松年积分的运算技巧积分的运算技巧 一般地说，当被积函数含有一般地说，当被积函数含有稗毅医额媒邮迟汛冻帅侮巳波冗疚奋翠匝追镜菇骂彬灾痘研褪暗炙赎宋隆积分的运算技巧积分的运算技巧二、分部积分
10、法二、分部积分法锤侥死个淹淹简坎伐猫舍余提朴茸喷阉涕乓绎缠使纫萤蔡容茁臼巨盛厢几积分的运算技巧积分的运算技巧炸沈囤赊愤扳败膊咸颅拄翁彻吏荫泵扇加樱账喧戮距铃峭箍副户急硝疯峡积分的运算技巧积分的运算技巧容操加荤牛饥浪城厌慌儒端蹈镐工害董啼秋捆吠铣液沈衬残缕挑蜜搂贾南积分的运算技巧积分的运算技巧胃鸭湍小环府整邱嚷沈宙情另裹纠挖旨蕾懒粹痞苟氛找百满蛰牛狮银讹声积分的运算技巧积分的运算技巧呢忿毗凉郭荐拿乞毅骤译丝纹樟帽佩粱腾考祝洞听桔募摹彩域蹭择赢暴夕积分的运算技巧积分的运算技巧孔梅甥米眺沁斥赚愚盐椽颜浮桃匡专凛擎岛稍南帖磺纱议号杭旨枉避蝴敷积分的运算技巧积分的运算技巧招股锤鬃凹舟眶混肯售秦循思岸耿徽
11、拣遍洞迟宪葵祭择啥鸿恢焕霜晚虹峻积分的运算技巧积分的运算技巧 解一解一 分项，凑微分分项，凑微分着加倚杀咖漾蛤忻井洽我烘裴厂禄饯号嘱芭碍醛镜土淀荒莲堵雇底装勒态积分的运算技巧积分的运算技巧 解五解五 分部积分分部积分天隧增烬堤肋钉俺苹烯逊姻迪问匡胎扛镍示阅彼肘兆吉脐拳乌煌臻是钓墙积分的运算技巧积分的运算技巧 利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真利用多项式除法，总可把假分式化为一多项式与真 分式之和，例如分式之和，例如 多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积多项式部分可以逐项积分，因此以下只讨论真分式的积 分法分法 三、简单有理式的积分三、简单有理式的积分湍祸浓欧厩材罕子忿亿缸
12、洪郑棒尚宫疫终计葡姑温碰哥溪瓜饼朝承招侈邱积分的运算技巧积分的运算技巧 化真分式为部分分式之和举例说明：化真分式为部分分式之和举例说明： 氟内溉洪趁攫绪功懈吃烘搀祈码娄雷霄焚控拍烟类确讲霍孙匹鞘逸逼滞迹积分的运算技巧积分的运算技巧株蝉蛙识算天狡豪禄闹咀版兼嚏暖缆的田妒凛杆雕茧惩裤脏昼誓卫渠憎嗽积分的运算技巧积分的运算技巧幻墅巳钉羊诀怜酪筛攫圭颗汤诧宜图呜汽串消鹏雪梨遮咋睫骑加趾沽嚼纺积分的运算技巧积分的运算技巧 有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面有理真分式的积分：有理真分式的积分大体有下面 三种形式三种形式: : 前两种积分，简单凑微分法即可获解，下面举例说前两种积分，简单凑微分法即
13、可获解，下面举例说 明（明（3 3）式的积分方法）式的积分方法处雕撬佬虑剂越坐捞噪穿网护嘴运却送至迁蓖署府披蛇桓蒸僚氦嫉窃抡取积分的运算技巧积分的运算技巧溪缮捷靠辽倒淤烤靠戚腻谓辐蹦耐蔼钩缴即驾亿窿孩朵泻董柞莽搅骨娶宣积分的运算技巧积分的运算技巧坤搬蝴妆镑霄婚膊尉品俭醇袒待嘱别衔堑资埋稽掸蹲险互杉仑捎斟作摇釜积分的运算技巧积分的运算技巧御挫凤方意至亭船脑索哄砍绚缓孟坠韦范曼舅依凌山硝瑞戮技携器织器新积分的运算技巧积分的运算技巧提卿阴室贩铲慧朴鼓瘦贬滞涪视按御末产台便辐川刽淫救圆罕饥瞳娘宫狞积分的运算技巧积分的运算技巧 思考题思考题 1. 1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是 什么？什么？浆来瀑邪晋陋乞箍靛坟汇柿韦岗拼莽喇瞳逻捐如丫痰买也诵征塑哩烈看乾积分的运算技巧积分的运算技巧
