第1章——集合与函数 1.2 函数的概念和性质1.2.6 分段函数[学习目标]1.能说出分段函数的定义.2.能根据题意用分段函数表示函数关系.3.会画出分段函数的图象.4.能求分段函数的函数值或由函数值求自变量的值. 1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义 重点难点，个个击破3当堂检测 当堂训练，体验成功 [知识链接]作函数的图象通常分三步，即 、 、 .列表描点连线 [预习导引]1.如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的________给出，这种函数叫作 .2.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 的函数.3.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是空集.4.作分段函数图象时，应 .解析式分段函数对应法则并集分别作出每一段的图象 要点一 分段函数求值 (2)若f(a)＝3，求实数a的值.解 当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去.当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意.当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意.综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2. 规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值.2.已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. C 要点二 分段函数的图象及应用 (1)画出f(x)的图象；解 利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示. (2)求f(x)的定义域和值域.解 由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]. 规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”.2.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象.3.画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”. 跟踪演练2 作出y＝ 的图象，并求y的值域.－7，x∈(－∞，－2]，2x－3，x∈(－2，5]，7，x∈(5，＋∞)解 y＝－7，x∈(－∞，－2]，2x－3，x∈(－2，5]，7，x∈(5，＋∞)值域为y∈[－7,7].图象如图. 要点三 分段函数的解析式例3 国家规定个人稿费的纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税.(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x元与纳税额y元的函数关系式；解 依题意有：当0＜x≤800时，y＝0；当800＜x≤4 000时，y＝(x－800)×14%； 当x＞4 000时，y＝x×11%.故y与x之间的函数关系式是 (2)某人出版了一本书，得稿费5 200元，那么他应纳税多少元？解 某人得稿费x＝5 200，显然x＞4 000，∴y＝5 200×11%＝572(元).即他应纳税572元. (3)某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费是多少元？解 令(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800∈(800，4 000]，∴这个人的稿费为3 800元. 规律方法 1.实际问题应仔细审题，明确该函数分段情况，弄清每段上对应解析式及自变量的取值范围.2.在解析式中，分段点不能重复，也不能遗漏，例如本题中，自变量的三段是0＜x≤800,800＜x≤4 000和x＞4 000，但不能写成0＜x≤800,800≤x＜4 000和x＞4 000. 跟踪演练3 某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s(千米)表示为时间t的函数.因此当0≤t≤5时，s＝52t；当5＜t≤9时，s＝260＋65t. 1234 51.函数y＝|x|的图象是( )B 1234 5D 1234 5A.0 B.1 C.2 D.3解析 f(1)＝0，∴f(f(1))＝0.A 1234 5A.－4或－2 B.－4或2 C.－2或4 D.－2或2解析 当a≤0时，f(a)＝－a＝4，∴a＝－4；当a＞0时，f(a)＝a2＝4，∴a＝2或－2(舍去).B 1234 55.某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________________. 1234 5解析 根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x≤100时，y＝0.5x；当x>100时y＝100×0.5＋(x－100)×0.4＝10＋0.4x. 课堂小结理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.写定义域时，区间的端点需不重不漏.(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式.(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象. 。
