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1、本章要点聚焦本章要点聚焦一、四边形的概念一、四边形的概念1.1.定定义义：在在同同一一平平面面内内，由由不不在在同同一一直直线线上上的的四四条条线线段段首尾顺次相接组成的图形首尾顺次相接组成的图形. .2.2.四边形的内角和与外角和均为四边形的内角和与外角和均为360360. .3.3.四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性. .4.4.多多 边边 形形 内内 角角 和和 定定 理理 ： n n边边 形形 的的 内内 角角 和和 等等 于于 (n-(n-2)2)1801805.5.多边形外角和定理：多边形外角和定理：n n边形的外角和等于边形的外角和等于360360. .6.6.多边形的对角线多
2、边形的对角线. .二二.重要知识规律总结重要知识规律总结:n n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)(n3)1.1.多边形的对角线多边形的对角线. . n n边形从一个顶点出发的对角线有边形从一个顶点出发的对角线有(n(n3)3)条条(n3).(n3).n n边形的内角和为：（边形的内角和为：（n n2)180(n3).2)180(n3).2.2.多边形的内角和公式多边形的内角和公式.3.3.平行四边形的性质有：平行四边形的性质有：平行四边形的平行四边形的对边相等对边相等平行四边形的平行四边形的对边平行对边平行平行四边形的平行四边形的对角相等对角相等平行四边形的平行四边形的对角线互相平分
3、对角线互相平分平行四边形平行四边形邻角互补邻角互补平行四边形是平行四边形是中心对称中心对称图形图形两个推论两个推论: :夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的平行线段相等夹在两条平行线间的垂线段相等夹在两条平行线间的垂线段相等定理定理2 2：两组对边分别相等两组对边分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定义定义: : 两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.定理定理1: 1: 一组对边平行且相等一组对边平行且相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形. 4.4.平行四边形的判定平行四边形的判定: :定理定理3 3：对角线互相平分对角线互
4、相平分对角线互相平分对角线互相平分的四边形是的四边形是的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形定理定理4 4：两组对角分别相等两组对角分别相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形.推论推论1:有有一组对边平行且有一组对角相等一组对边平行且有一组对角相等的四边形是的四边形是平行四边形平行四边形 . 三角形的中位线平行于第三边，并且等三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半于第三边的一半. .5.5.三角形的中位线三角形的中位线6.6.逆命题与逆定理逆命题与逆定理. .重要逆定理重要逆定理: :如果三角形两边的平方和等于第三边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方, ,那么这个三
5、角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形定理定理1:1:到一条线段的两个端点的距离相等的点到一条线段的两个端点的距离相等的点, ,在在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上. .定理定理2:2:如果三角形一边上的中线等于这边一半如果三角形一边上的中线等于这边一半, ,那那么这个三角形是直角三角形么这个三角形是直角三角形定理定理3:3:一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180180度后与原度后与原来图形重合来图形重合. .中心对称图形中心对称图形: 关于一点成关于一点成中心对称中心对称: :一个图形绕一点旋转一个图形绕一点旋转180度后与度后与另一图形互相重合另一图形互相重合.性质性质
6、: :对称中心平分连接两个对称点的线段对称中心平分连接两个对称点的线段直角坐标系中直角坐标系中, , 点点( (x,yx,y) )关于原点对称的点是关于原点对称的点是( (- -x,-yx,-y) )3 3、如图，在锐角、如图，在锐角ABCABC中，中，CDCD、BEBE分分别是别是ABAB、ACAC边上的高，且边上的高，且CDCD、BEBE交于一点交于一点P P，若，若A=50A=50 ，则，则BPCBPC的度数是的度数是 ( )( ) A.130 A.130 B.120 B.120 C.150 C.150 D.100 D.100 4 4、一一个个正正多多边形形它它的的一一个个外外角角等等于
7、于与与它它相相邻的的内内角角的的四分之一，四分之一，这个多个多边形是正形是正边形。形。B B1 1、在四边形中、在四边形中ABCDABCD，A=50A=500 0，B=90B=900 0，C=41C=410 0，则，则D=D= ；2 2、一个多边形的内角和等于、一个多边形的内角和等于10801080，这个多边形的边，这个多边形的边数是数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6( ) A.9 B.8 C.7 D.6A A十十1791790 0基础练习基础练习5 5、下例不能判定四边形、下例不能判定四边形ABCDABCD是平行四边形的是（是平行四边形的是（ ） A A、AB=CD AD=BC BA
8、B=CD AD=BC B、AB=CD ABCDAB=CD ABCD C C、AB=CD ADBC DAB=CD ADBC D、AB CD ADBCAB CD ADBC6 6、如图所示，在、如图所示，在ABCABC中，中，D D、E E、F F分别为分别为ABAB、BCBC、CACA边的中点，则图中共有平行四边形边的中点，则图中共有平行四边形( )( ) A.1 A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个 A D F EB C7 7、如图、如图 ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上有两点上有两点E E、F F，要使四边形，要使四边形AECFAECF是平行四边形，还需要
9、增加的一个条件是是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形），并写出你的证明过程。并写出你的证明过程。C CC CBE=DFBE=DF、BF=DEBF=DE，AEFCAEFC、AFECAFEC8 8、如图在、如图在 ABCDABCD中中CEABCEAB，E E为垂足，为垂足，若若A=125A=1250 0，那么，那么BCE= BCE= 。 A DE B C9 9、如图在、如图在 ABCABC中中,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,EFAB,DE:EA=2:3,EF=4,则则CD=CD= 。 D
10、 C E F A B A D B C1010、如图在、如图在 ABCDABCD中中,AD=5,AB=3,AE,AD=5,AB=3,AE平分平分 BADBAD交交BCBC于于点点E,E,则则BE=BE= ， 。 A D OB C1111、在、在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O点，点，AC=10,BD=8AC=10,BD=8，则则ADAD的取值范围是的取值范围是( ) ( ) A.AD A.AD1 B.AD1 B.AD9 9 C.1 C.1ADAD9 D.AD9 D.AD0 035350 010103 32 2C C1212、判断题、判断题: :（1 1）
11、邻角互补的四边形是平行四边形）邻角互补的四边形是平行四边形. .（2 2）一组对边平行）一组对边平行, ,另一组对边相等的四边形是另一组对边相等的四边形是平行四边形平行四边形. .（3 3）一组对边平行）一组对边平行, , 一组对角相等的四边形是一组对角相等的四边形是平行四边形平行四边形. .（4 4）对角线相等的四边形是平行四边形）对角线相等的四边形是平行四边形. .1313、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板他购买的瓷砖形状不可以是（来铺设无缝地板他购买的瓷砖形状不可以是（ ）（A A）正三角形）正三角形 （B B）正四
12、边形）正四边形 （C C）正八边形）正八边形 （D D）正六边形）正六边形 1414、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为12cm12cm，那么它的两条，那么它的两条对角线的长度可能是（对角线的长度可能是（ ）（A A）8cm8cm和和14cm 14cm （B B）10cm10cm和和14cm 14cm （C C）18cm18cm和和20cm 20cm （D D）10cm10cm和和34cm34cmC CC C1515、在平行四边形、在平行四边形ABCDABCD中中,AC=10,BD=8,AC=10,BD=8,则则ABAB的取值范的取值范围是围是( )( )A A、2AB18 B2AB18
13、B、1AB9 1AB2 DAB2 D、AB9AB91616、平行四边形一边长为、平行四边形一边长为 10 ,10 ,则它的两条对角线可以是则它的两条对角线可以是( )( )A A、6 ,8 B6 ,8 B、8, 12 8, 12 C C、8, 14 D8, 14 D、6, 146, 14B BC C例题解析例题解析【例例1 1】如如图图，在在 ABCDABCD中中，O O是是对对角角线线ACAC的的中中点点，过过O O点作直线点作直线EFEF分别交分别交BCBC、ADAD于于E E、F.F.(1)(1)求证：求证：BE=DF.BE=DF.(2)(2)若若ACAC、EFEF将将 ABCDABCD
14、分分成成的的四四部部分分的的面面积积相相等等，指指出出E E点的位置，并说明理由点的位置，并说明理由. .【例例2 2】 如图所示，已知如图所示，已知 ABCDABCD的周长为的周长为30cm30cm，AEAEBCBC于于E E点，点，AFAFCDCD于于F F点，且点，且AEAEAF=2AF=23 3，C=120C=120，求求S S ABCDABCD. . 27 (cm2). C（23，-2 ）C（-23，2 ） 【例例3 3】如图如图RtOABRtOAB的两条直角边都在坐标轴上，的两条直角边都在坐标轴上，AO=2AO=2，OBA=30OBA=300 0，求以，求以O O、A A、B B为
15、其中三个顶点的为其中三个顶点的平行四边形的第四个顶点平行四边形的第四个顶点C C的坐标。的坐标。 C（23，2 ）A O B 【例例4 4】如图已知平行四边形如图已知平行四边形ABCDABCD的周长是的周长是1414，两条，两条对角线对角线ACAC：BD=2BD=2：3 3，ACAC与与BDBD交于交于O O，AOBAOB和和BOCBOC的周长和是的周长和是1717， 则则AC=AC= ，BD=BD= 。 A D OB C【例例5 5】如图在如图在ABCABC中点中点D D、E E分别是分别是ABAB，ACAC边的中点，若边的中点，若把把ADEADE饶着点饶着点E E顺时针旋转顺时针旋转180
16、1800 0得到得到CEFCEF。（1 1）请指出图中哪些线段与线段）请指出图中哪些线段与线段CFCF相等；相等；（2 2）试判断四边形）试判断四边形DBCFDBCF是怎样的四边形？证明你的结论。是怎样的四边形？证明你的结论。A AE EF FD DB BC C2 2、四边形、四边形ABCDABCD中，中，AD/BCAD/BC，那么，那么：的值可能是（的值可能是（ ） 1 1、在一个四边形中，、在一个四边形中，：，求这个四边形各内角的度数？：，求这个四边形各内角的度数？A A、：、：5 5： B B、：、： C C、：、：5 5：4 D4 D、：、：5 5：3 3 、一个多边形、一个多边形,
17、,除了一个内角外除了一个内角外, ,其余内角和为其余内角和为12051205度度, ,则这个内角是多少度则这个内角是多少度, ,这是个几边形这是个几边形? ?D D4 4、如、如图, ,在在ABCABC中中,AB=AC=5,D,AB=AC=5,D是是BCBC上的点上的点,DEAB,DEAB交交ACAC于点于点E,DFACE,DFAC交交ABAB于点于点F,F,那么四那么四边形形AFDEAFDE的周的周长是是( ) ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 A.5 B.10 C.15 D.20 B B5 5、已知已知：如图，在：如图，在ABCDABCD中，中，E E，F F是对角线是对角线A
18、CAC上的两上的两点，且点，且AE=CFAE=CF，求证求证：四边形：四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形 6 6. .已知已知：如：如图，在，在ABCDABCD中，中，E E，F F分分别是是ADAD，BCBC的中点的中点求求证：MNBCMNBC，且且MN= BCMN= BC7 7、已知如图在、已知如图在 ABCDABCD中中, , 过点过点O O做任意直线与一组做任意直线与一组对边分别交于点对边分别交于点E E和和F,F,求证：求证：OE=OFOE=OFB BD DC CA AO OE EF FA AB BC CD DO O8 8、如图，、如图， ABCDABCD的周长为的周长为
19、cm, Ocm, O是对角线是对角线ACAC和和BDBD的交点的交点（）若（）若ABCABC的周长是的周长是18cm,18cm,求求OCOC的长的长（）若（）若OABOAB的周长比的周长比OBCOBC的周长短的周长短cmcm，求，求ABAB的长的长4cm4cm3cm3cmE ED DA AC CB BF FO O变式：已知如图四边形变式：已知如图四边形ABCDABCD和四边形和四边形BFDEBFDE都是都是平行四边形平行四边形, , 求证：求证：AE=CFAE=CF9 9、如图在、如图在 ABCDABCD中中, E, E、F F是对角线是对角线ACAC上的两点，且上的两点，且AE=CF, AE
20、=CF, 求证：求证：四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形1010、已已知知: :如如图图, ,四四边边形形ABCDABCD是是平平行行四四边边形形,ADE,ADE和和BCFBCF都是等边三角形都是等边三角形. .求证求证:BD:BD和和EFEF互相平分互相平分. .ABCFDE1111、已知、已知: :如图如图,O,O是等边三角形是等边三角形ABCABC内任意一内任意一点点,ODBC,OEAC,OFAB,ODBC,OEAC,OFAB,点点D,E,FD,E,F分别在分别在AB,BC,ACAB,BC,AC上上. .求证求证:OD+OE+OF=BC.:OD+OE+OF=BC.A A
21、F FO OE ED DB BC CM MN N1212、请说出、请说出“等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等”的的逆命题这个逆命题是真命题吗？请逆命题这个逆命题是真命题吗？请证明证明你的你的判断判断. . 1.1.如图如图, ,请作一个平行四边形请作一个平行四边形ABCD.ABCD.A AB Bc c2.2.已知已知: :线段线段a a、b,1.b,1.求作一个平行四边形求作一个平行四边形ABCD,ABCD,使使AB=a,BC=b, B= 1.AB=a,BC=b, B= 1.a ab b1 1作图应用作图应用3 3、如图，在、如图，在 ABCDABCD中，已知两条对角线相交于中，
22、已知两条对角线相交于点点O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、COCO、DODO的的中点中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形平行四边形。A AD DC CB BE EF FG GH HO Ow我们知道我们知道, ,三角形的三条中线交于一点三角形的三条中线交于一点. .这一点这一点 叫做三角形的叫做三角形的重心重心. .w三角形的重心分每一条中线的比为三角形的重心分每一条中线的比为1212( (重心到每边的中点距离重心到每边的中点距离重心重心到所对角的顶点的距离到所对角的顶点的距离).).w你能证明这个命题吗你能证明这个
23、命题吗? ?w三角形的重心有一个重要的几何性质三角形的重心有一个重要的几何性质: :ABCDEFG探索提高探索提高证明一：连结证明一：连结EFEF，利用三角形的中位线按理证明，利用三角形的中位线按理证明w已知已知: :如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线, ,且相交于点且相交于点G.G.w分析分析: :要证明要证明GEGA=12GEGA=12, ,可以考虑折半法可以考虑折半法( (如取如取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N).N).w转化为证明转化为证明AM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w分别连接
24、分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.w求证求证: :GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12. .ABCDEFGM Nw从而借助于三角形的中位线构从而借助于三角形的中位线构造平行四边形来获得证明造平行四边形来获得证明. .证明二：证明二：w证明证明: :取取GAGA的中点的中点M,GBM,GB的中点的中点N,N,分别连接分别连接FE,EN,NM,MF.FE,EN,NM,MF.wF,EF,E是是AC,BCAC,BC的中点的中点, ,w FEMN,FE=MNFEMN,FE=MN. .ABCDEFGM Nw四边形四边形FENMFENM是平行四边形是平行四边形. .wMG=GE,NG=GF.MG=GE,NG=GF.FEAB,MNAB,MNAB,wAM=MG=GE,BN=NG=GF.AM=MG=GE,BN=NG=GF.w GEGA=GFGB=12GEGA=GFGB=12. .w同同理理, ,GD GC=1 2. . .wGEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12. .w已知已知: :如图如图,AE,BF,CD,AE,BF,CD是是ABCABC的三条中线的三条中线, ,且相交且相交于点于点G.G.w求证求证: :GEGA=GFGB=GDGC=12GEGA=GFGB=GDGC=12. .
