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1、Chap.2应力分析Analysis of stresses2.1 2.1 物体内一点的应力状态物体内一点的应力状态一、一、 任意斜截面上的应力状况任意斜截面上的应力状况四面体应力MABC0时即M点的斜截面应力设ABC面积为A 则MAC、MBC、MAB的面积分别为应力状态分析讨论一点各截面的应力变化规律，由应力分量确定一点应力状态为了确定弹性体内一点M 任意斜截面应力，绕M点沿坐标轴向截取原始单元体，并任意斜面在其上截取四面体。斜面法向为n=(l,m,n)zyxM其中l，m，n表示斜面法向在坐标系Oxyz中的夹角方向余弦。lA, mA, nA则1. 斜面应力分量斜面应力分量Pn=(Xn, Yn
2、, Zn)=(n ,n)zyxxzxyyzyxzyzx由平衡，知同除A并略去小量V/A，知同理，知斜面应力投影公式则全应力正应力切应力切应力互等定理y同理，知由此证明了1)9个应力分量6个独立2)应力分量可完全确定一点的应力状态二、二、 应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换设已知坐标系Oxyz中弹性体中某点的应力分量为应力状态分析中，往往已知一坐标系下应力分量，而另一坐标系下应力状态表达更简单或意义更明确或讨论更方便，这时就需要坐标变换。应注意的是，一点应力状态与坐标选取没关系，只是应力分量表达不同而已。li，mi，ni表示两坐标系轴间的夹角方向余弦。求新坐标系Oxyz下该点的应力分量设两坐标
3、系间关系:实际可将x是为任意斜截面法向，参照任意斜截面应力公式写出xyzx(n)zy参考n写出同理应力分量的坐标变换公式应力分量的坐标变换公式2.2 2.2 主应力主应力材料力学已介绍过，但从三维一般开始一、主应力和主方向一、主应力和主方向1.概念概念物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，可否找到一个该点无切应力分量的坐标系。即物内某点处原始单元体上只有正应力而没有切应力。事实上，任何应力状态至少有三个相互垂直平面的切应力为零。主平面主平面切应力为零的微分面称为主微分平面，简称。应力主方向应力主方向 主平面的外法向称为应力主轴或者称为。主应力主应力主平面上的正应力称为 。Xn=s
4、 l,Yn=s m,Zn =s n2.主应力的确定主应力的确定n=(l, m, n)主应力为s=微分面上应力矢量pn其三个分量为Xn,Yn,Zn根据主平面的定义，应力矢量pn的方向应与法线方向n一致，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为(1)同时，根据应力矢量与应力分量表达式，有(2)两式联立求解，得到(3)一个关于主平面方向余弦l，m，n 的齐次线性方程组设过点O主微分面ABC外法向即应力主向条件为系数行列式等于零。即由于(4)方程组具有非零解由于一点的主应力和应力主轴方向取决于物体所受载荷和约束条件等，而与坐标轴的选取无关。因此特征方程的根是确定的，即I1,I2,I3的值是不随坐标轴的改变
5、而变化的。因此I1,I2,I3分别称为展开上述行列式,可得(5)是确定弹性体中任意一点主应力的方程。称为主应力特主应力特征方程征方程其中(6)所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，与坐标轴选取无关。不同点，应力状态不同，这些量是不同的应力张量的第一不变量不变量第二不变量不变量第三不变量不变量并与关系式(4)联立求解l, m, n，即求得对应应力主方向方向余弦(l,m,n)。主应力可以证明，特征方程有三个实数根s 1， s 2，s 3 ，即某点的三个主应力。有三个实数根s 1s 2s 3 即某点的三个主应力3.应力主方向的确定应力主方向的确定将计算所得的s 1，s 2，s 3分别代入齐次方程组的
6、任意两式(3)解特征方程(5)二、应力不变量二、应力不变量具有以下性质：1.不变性：由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。因此对于任意一个确定点，特征方程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取无关。坐标系的改变导致应力张量的各个分量变化，但该点的应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。2.实数性：特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。3.正交性：任一点的应力主方向，即三个应力主轴是正交的。包括a.若s 1s2s 3，特征方程无重根，因此，应
7、力主轴必然相互垂直b.若s 1=s2s 3，特征方程有两重根，s 1和s2的方向必然垂直于s 3的方向。而s 1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；c.若s 1s2s 3，特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直。即任何方向都是应力主轴。下面证明主应力的正交性：证明应力不变量的正交性。设s 1，s 2和s 3 的方向余弦分别为（l1，m1，n1）,（l2，m2，n2）,（l3，m3，n3）应满足齐次方程组(3),有将前三式分别乘 l2，m2和n2 中间三式分别乘-l1，-m1，-n1然后将六式相加，可得同理则若s 1s 2s 3，有l1l2+m1m2+n1n20l2l3+m2m
8、3+n2n30l1l3+m1m3+n1n30即三个主应力均不相等时，三应力主方向是相互垂直的。若s 1s 2s 3，有l2l3+m2m3+n2n30l1l3+m1m3+n1n30l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零即s 3的方向同时与s1和s2的方向垂直，而的s1和s2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有与s3垂直的方向都是s1和s2的应力主方向若s 1s 2s 3,有l1l2+m1m2+n1n2，l2l3+m2m3+n2n3和l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零。即任何方向都是应力主方向。应力不变量的正交性得证。三、主应力极值性三、主应力极值性弹性体中
9、任意一点主应力是该点各斜截面上正应力的极值证明对于弹性体中任意一点，以其主应力方向为坐标轴向建坐标系设该点任意斜截面外法向n=(l, m, n)根据斜面应力与应力分量关系式，有Pn=(Xn, Yn, Zn)=(l1 ,m2,n3 )同理，由上第二、三式知(1)(2)(3)由(1)(3)分别消去l、m、n，得(1)(2)主应力极值性得证2.3 2.3 最大切应力最大切应力由上主应力极值性证明中第(2)、(3)式消去n (或l、m) ，得(a)(b)设s 1s 2s 3，有l、m不同时为零(否则n =0无意义)得m0,l=0时，解得l0,m=0时，解得同理，消去l (或m)有分别代入以上n表达式，
10、得称为主切应力分别在与相关主方向成45的平面上三式比较知一点处最大切应力2.4 2.4 平衡微分方程平衡微分方程一、一、单元体物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且弹性体的任何部分也都是平衡的。为考察弹性体内平衡，围绕物内任意点M，截取一微小正六面体单元，单元的棱边分别与x，y，z 轴平行，棱边分别长dx，dy，dz。zyx体积dV=dxdydz体力分量X，Y，ZZXY应力分量是坐标的函数如图例x向两截面上负面外法向与坐标轴反向的面s xf(x,y,z)sxf(x+dx,y,z)=f(x,y,z)+Taylor级数展开略去高阶无穷小余类推即负面s x x y x
11、z图中未注正面六面体微小，视体力均布，合力在形心；应力在各面均布，合力在面心二、二、平衡微分方程下面讨论微分平行六面体单元的平衡。X=0/dxdydz，略去高阶无穷小同理Y=0Z=0Navier方程（外力内力关系）同理由力矩方程同样可以证明切应力互等定理张量表示张量表示sij =sji正面2.5 2.5 应力边界条件应力边界条件平衡微分方程和面力边界条件都是平衡条件的表达形式，前者表示物体内部的平衡，后者表示物体边界部分的平衡。显然，若已知应力分量满足平衡微分方程和面力边界条件，则物体平衡；反之，如物体平衡，则应力分量必须满足平衡微分方程和面力边界条件。物体在外力作用下处于平衡状态，整体和任意
12、部分都是平衡的。弹性体内部应力分量必须与体力满足平衡微分方程；弹性体表面，应力分量须与面力满足弹性体表面的平衡，即满足应(面)力边界条件取物体表面任一微分四面体，设面力分量为xxzxyyyzyxzzyzxxyznYXZXYZ物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n将表面模拟成四面体的斜截面，由斜面应力与应力分量的关系，可得应力边界条件应力边界条件或或静力边界条件或面力边界条件或应力与面力关系上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。称为Chap.2小结sum2.1 2.1 物体内一点的应力状态物体内一点的应力状态1. 1.
13、 概念概念2. 斜面应力确定斜面应力确定投影全应力正应力切应力切应力互等定理应力分量可完全确定一点的应力状态一点应力状态应力矢量应力分量应力张量3.应力分量的坐标变换公式应力分量的坐标变换公式2.2 2.2 主应力主应力1. 1. 概念概念1)确定应力分量主平面应力主方向主应力应力张量的不变量及其性质(不变性、实数性、正交性)主应力极值性最大切应力2.主应力的确定主应力的确定2)确定应力不变量3)建立并求解应力状态特征方程得主应力s 1s 2s 33.应力主方向的确定应力主方向的确定联立求解l, m, n，即求得对应应力主方向方向余弦。将计算所得的s 1，s 2，s 3分别代入齐次方程组的任意
14、两式并与关系式2.3 2.3 最大切应力最大切应力最大切应力与s 1、s 3成45的平面上2.4 2.4 平衡微分方程平衡微分方程Navier方程（外力内力关系）2.5 2.5 应力边界条件应力边界条件应力边界条件应力边界条件或或静力边界条件或面力边界条件或应力与面力关系弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件本章基本要求：本章基本要求：1.掌握一点的应力状态、主应力、主方向、最大切应力的分析与确定方法、应力分量坐标变换，并能熟练计算。2.掌握平衡微分方程、应力边界条件及其含义重点重点1.主应力、主方向、最大切应力的确定，2.平衡微分方程、应力边界条件难点难点主方向的确定；应力分量坐标变换练习题练习题2-8、11，13，16
