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1、第一节第一节 直线与方程直线与方程基础梳理基础梳理1. 直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按 方向旋转到和直线重合时所转过的 称为这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 .倾斜角的范围为 .直线的倾斜角概念要抓住3个要点：找交点，逆时针，最小正角.逆时针最小正角00180(2)直线的斜率已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1x2,那么直线PQ的斜率为 .当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足 .2. 直线方程的五种形式k=tan名称方程适用范围点斜式 不含直线x=x1
2、斜截式 不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1(x1x2)和直线y=y1(y1y2)截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 平面直角坐标系内的任意一条直线都适用y-y1=k(x-x1)y=kx+b Ax+By+C=0 (A2+B20)典例分析典例分析题型一直线的倾斜角和斜率题型一直线的倾斜角和斜率【例1】直线xcos+ +2=0的倾斜角的取值范围是.分析 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.解 因为直线xcos+ +2=0,所以直线的斜率为k= .设直线的倾斜角为,则tan = .又因为 ,即 ,所以 .学后反思 求倾斜角范围的步骤是：（1）求出斜率的取值范围.（2）利用正切函
3、数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值范围举一反三举一反三1. 直线xcos+y-1=0(R)的倾斜角的取值范围是 .解析: 设倾斜角为,则k=tan=-cos.R,-1-cos 1,-1tan 1, .答案: 题型二题型二 求直线的方程求直线的方程【例2】求下列直线l的方程.（1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; (2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线l1：3x+4y+10=0的倾斜角的一半分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.解 （1）设直线l的倾斜角为,则sin= ,tan= ,l的方程为y= x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.(2)设直
4、线l和l1的倾斜角分别为、，则有= ,又tan=- ,tan =tan 2= =- ,解得tan =3或tan = . , = ,tan 0.tan = 舍去，tan =3.由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.举一反三举一反三2. 直线l经过点P(-2,1),且点A(-1,-2)到l的距离等于1,求直线l的方程.解析： (1)当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的点斜式方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.由题意，得 解得 即所求直线l的方程是4x+3y+5=0.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=-2,满足题意.综上，所求直线l的方程
5、是4x+3y+5=0或x=-2.题型三题型三 与直线方程有关的最值问题与直线方程有关的最值问题【例3】直线l过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当AOB面积最小时，求直线l的方程.分析 先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从而求出直线的方程.解 方法一:如图所示，直线l如果通过一、二、三或一、三、四象限时，AOB面积不存在最小值.因此只考虑直线l与x,y轴正方向相交的情况，这时斜率必为负值.设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0),则有A(2-1k,0)与B(0,1-2k)(k0, 或 -(a+1)=0, a-20 a-20, 解得a-1或a=
6、-1.综上可知,a的取值范围是a-1.方法二：将l的方程化为（x+y+2）+a(x-1)=0(aR).它表示过l1:x+y+2=0与l2:x-1=0的交点（1，-3）的直线系（不包括x=1).由示意图可知l的斜率为-(a+1)0,即当a-1时，直线l不经过第二象限.12. 已知两点A(-1,2),B(m,3).(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m ，求直线AB的倾斜角的取值范围.解析: (1)当m=-1时，直线AB的方程为x=-1;当m-1时，直线AB的方程为 (2)当m=-1时， ;当m-1时，m+1 ,0(0, ,k= (-,-3 ,+), , )( , .综上，直线AB的倾斜角的取值
7、范围是 , .第三节第三节 等比数列等比数列基础梳理基础梳理1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示.2. 等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3. 等比中项如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的 等比中项.4. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*).(2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则
8、 akal= aman.(3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列. 5. 等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即6. 等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例1】设等比数列an的公比为q(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即
9、可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论.解若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾. 得1+qn=82,qn=81.将代入，得q=1+2a1.又q0,qn=81,q1,an为递增数列.an=a1qn-1=27.由、得q=3,a1=1,n=4.a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进行讨论.解析: a9+a10=a,a9(1+q)=a,又a19+a20=b,a19(1+q)=b,由 得则a99(1+q)=x,由 得答案: 举一反三举一反三1.
10、(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.题型二题型二 等比数列的判定等比数列的判定【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证：数列an+1是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比数列的定义证明 为非零常数即可.解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n-1.学后反思 等比数列的判定方法主要有：(1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)
11、中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).举一反三举一反三2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是 证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列.必要性:因为 是等比数列，所以 ,即 ,解得 题型三题型三 等比数列的性质等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一
12、个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三举一反三3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a
13、20的值.(2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解析：（1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，a17+a18+a19+a20=S424=124=16.（）a3a5=a24,a3a4a5=a34=8,a4=2.又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32 题型四题型四 等比数列的最值问题等比数列的最值问题【例4】(14分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析（1）求出
14、等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.解当n=12时，f(n)有最大值为学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.举一反三举一反三4. （2009潍坊模拟）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）.(1)判断an是何种数列，并给出证明；(2)若a8+a13=m,求b1b2b20;(3)若b3b5=39,a4
15、+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值.解析:(1)证明:设bn的公比为q,bn=3an,3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q,an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.（2）a8+a13=m,由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m.(3)由b3b5=39,得a3+a5=9.易错警示易错警示【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项.（1）求 的通项公式;(2)求 错解(1)由已知得 ,又 ,得 , 两式相减得 ,故 ,又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列，故 错解分析 错解(1
16、)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.正解(1)由已知，当n2时， .又 ,由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列，其中 ,即 , ,当n2时， 即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3项的和为2,求这个等比数列的公比 错解依题意，设这四个数为 , ,aq, ,则 , ,由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或 错解分析从表面上
17、看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则 解得 或 考点演练考点演练10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求 解析：由等比数列性质得， , , , 成等比数列，则 由 得 ,又 解得 11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值；（2）若 ，求n的值.解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.解析： (1)由 及 ,得 ,即 , ,当n2时， .-得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即
