12函数的极限

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1、 如何准确地刻画无限接近这一过程呢? 十九世纪以前，人们用朴素的极限思想计算了圆的面积、体积等十九世纪之后，柯西以物体运动为背景，结合几何直观，引入了极限概念后来，维尔斯特拉斯给出了形式化的数学语言描述极限概念的创立，是微积分严格化的关键它奠定了微积分学的基础 背景背景 1.2 函数的极限 1.2.1 函数的极限的概念 （一） 函数的极限 （二） 函数的极限 1.2.2 单侧极限 1.2.3 数列的极限 1.2.4 无穷大与无穷小 1.2.5 函数极限的运算 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习1.2.1 函数极限的概念（一） 一、案例一、案例 将一盆800C的热水放在一间室温为20

2、0C的房间里，水的温度将逐渐降低，随着时间的推移，水温会越来越接近室温200C。案例案例1 1 水温的变化趋势水温的变化趋势 在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其群体数量会逐渐增长，但随着时间的推移，由于自然环境保护区内各种资源的限制，这一动物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和案例案例2 2 自然保护区中动物数量的变化规律自然保护区中动物数量的变化规律 状态，如右图所示.饱和时野生动物群的数量 状态就是时间 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 当当 时函数的极限时函数的极限当自变量设函数 , （或 ）的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于，则称为函数当时的极限极限，记作 三

3、、进一步练习三、进一步练习 练习练习1 1(让取值越来越大) 0.0000010.000010.00010.0010.010.111000000100000100001000100101x -0.00001-0.0001-0.001-0.01-0.1-1 -100000-10000-1000-100-10-1x-1000000-0.000001 下面考察函数在自变量时的变化情况可以观察出，当自变量 与0无限接近 时， 练习练习2 2 并联电路电阻并联电路电阻 一个5 的电阻器与一个电阻为R的可变电阻并联，电路的总电阻 ，当可变电阻总电阻的极限，即 .通过列表法或图形法可知:这条支路断路时电路的

4、总电阻为时电路的 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习1.2.1 函数极限的概念（二） 一、案例一、案例 人影长度人影长度 考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度影子长度越来越短，当人越来越接近）时，其影子的长度越来越短，逐渐趋于0 （ ）。为H 。由日常生活知识知道，当此人走向目标时，其目标（当当 时函数的极限时函数的极限 二二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 )或 (若函数f (x)当自变量x无限趋近于x0时，相应的函数值f (x)无限接近于常数A，则称A为函数其中“lim”代表极限(limit)，极限符号下面的 表示自变

5、量x无限趋近于x0 时。时的极限，记作 f (x)当为了正确理解函数极限的概念，下面就函数极限 说明两点(1) x趋近于x0的方式是任意的，即x既可能从x0的左侧趋近于x0，也可能从x0的右侧趋近于x0，而相应的函数值都应无限接近于A 有定义无关 (2)与函数f (x)在x0处是否观察下面5个函数图形从上图可以看出，当 ，只有(a)、(b)中的函数f (x)、g (x) 趋近于l，即 (a) (b) (c)(d) (e) 函数在处无意义 三、进一步练习三、进一步练习 练习练习1 1时，当讨论函数当时的极限。分母分子，由此可见，当时，0.92.711.0013.0031? ?函数让（ ）取值，3

6、 3，0.990.999 2.97 2.997 1.01 1.1 3.03 3.31函数 练习练习2 2 人影长度的极限分析人影长度的极限分析 即 设H为路灯的高度，h为人的高度，x为人离目标的距离，y为人离目标。由解出人影高度为 ，其中是常数，当人越来越接近路灯的目标（）时，显然，人影高度 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习1.2.2 单侧极限 一、案例一、案例 矩形波形曲线分析矩形波形曲线分析 矩形波在一个周期 内的函数为函数 处的极限是多少？ 在 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出 函数单侧极限函数单侧极限( (左极限、右极限左极限、右极限 ) ) 若函数f (x)当自

7、变量x从x0的左侧（右侧） 无限趋近于x0时，相应的函数值f (x)无限接近于某个常数A，则称A为函数f (x)在x0处的左（右）极限，记作 （或）函数极限与函数左右极限的关系函数极限与函数左右极限的关系 三、进一步练习三、进一步练习 练习1 矩形波分析下图所示的矩形波的函数表达式为因为所以，此函数在x =0处的极限不存在 而 练习2 电流在一个电路中的电荷量Q由下式定义其中C、R为正的常数值，分析电荷量Q在时间 时的极限 解 因为 由于，所以 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习1.2.3 数列的极限 一、案例一、案例 圆面积的计算圆面积的计算 用圆的内接或外切多边形穷竭的方法求圆

8、面积和圆周长。 割圆术割圆术 An，这样得到一数列“割圆术”求圆面积的作法和思路：A1，A2，A3，An，先作圆的内接正三边形，把它的面积记作A1，再作内接正六边形，其面积记作A2，再作内接正十二边形，其面积，其面积记作A3，照此下去，把圆的内接正32n-1(n=1,2,)边形的面积由图形可以直观看出An圆的面积。 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出 数列的极限数列的极限 若对于数列xn, 当n无限增大时，数列的通项 xn无限接近于常数A，则称A是数列xn的极限，或称数列xn收敛于A，记作或若数列xn没有极限，则称数列xn是发散的。 三、进一步练习三、进一步练习 练习练习1 循环数循环数

9、 观察循环数列的变化趋势，可以看出，随着项数n的无限增大，此数列无限接近于1，即 练习练习2 弹球模型弹球模型 一只球从100米的高空掉下，每次弹回的高度为，这样下去，用球第上次高度的 次的高度来表示球的运动规律，则得数列从数列的变化趋势可以看出，随着次数n的无限增大，数列无限接近于0，即 练习练习3 存款分析存款分析 若某人有本金A元，银行存款的年利率为r，不考虑个人所得税试建立此人n年末的本利和数列，并分析此数列的极限，解释其实际意义 解 n年末的本利和为 其实际意义为：存款时间越长，本利和越大，当存款时间无限长时，本利和也无限增大 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习1.2.4

10、 无穷大与无穷小 一、案例一、案例 洗涤效果洗涤效果 在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污质就越少。当洗涤次数无限增大时，衣物上的污质量趋于零。 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出 无穷小无穷小无穷大无穷大若 ，则称函数f (x)当 时为无穷小（量）。若当时，对应的函数值f (x)的绝对值无限增大，则称f (x)当时为无穷大(量)。记作 注注：无穷小是一个变量，而不是常量。很小的数（除0外）都不是无穷小。无穷小和无穷大的关系无穷小和无穷大的关系是无穷小是无穷大。注注：同理，无穷大也是一个变量，而不是常量。很大的数（如1万，1亿等）都不是无穷大。 三、进一步练习三、进一步练习

11、 练习练习1 单摆运动单摆运动 单摆离开铅直位置的偏度可以用角来度量，如下图所示这个角可规定当偏到一方（如右方）时为正，而偏到另一方（如左方）为负如果让单摆自己摆，则由于机械摩擦力和空气阻力，振幅就不断地减小在这个过程中，角是一个无穷小量 练习练习2 2 游戏销售游戏销售 销售量会迅速增加，然后开始下降，其函数(1)请计算游戏推出后第6个月、第12(2) 如果要对该产品的长期销售做出当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内为月份 。关系为 ，个月和第三年的销售量.预测，请建立相应的表达式.解 (1)8.8235 9.83615.1576即无穷大的倒数为无穷小(2) 从上面的数据可以看出，随着时间

12、的推移，游戏.人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的时的销售量.该产品的长期销售应为时间 上式说明当时间时，销售量的极限为0，即 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习1.2.5 函数极限的运算 一、案例一、案例用列表法或图形法讨论较复杂的函数的极限，不仅下表列出 在x=0处附近取值时的函数值 00.249910.009900.000000005？我们可能会估计 ，但这个结果是错误的 工作量大，而且还不一定准确，如求 二、概念和公式的引出二、概念和公式的引出 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 设则，（1）（2）（3）极限的四则运算法则表明函数和、差、积、商(分母极限不为0)的极

13、限等于它们极限的和、差、积、商法则1、2可以推广到有限个函数的情形. 注：复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 设由函数构成的复合函数与满足 ，而函数f (u)在a点连续，则 另外，下面给出一个重要极限 通过图形法（见下图）和列表法（见下表）可以看出，当 时，函数10.50.10.010.8414710.958850.998330.99998 三、进一步练习三、进一步练习 练习练习1 细菌培养细菌培养 已知在时刻t（单位：min）容器中的细菌个为 （k为常数）(见下图) (1) 若经过30min，细菌个数增加一倍，求k值； (2) 预测 时容器中细菌的个数 解 ( (1) 时刻t容器中

14、的细菌个数为 经过30分钟，即t+30时细菌个数为 由题意知， 解之，得 。( (2)由此可知，当时间无限增大时，容器中的细菌个数也无限增大 练习练习2 产品价格预测产品价格预测 随着时间的推移，产品价格会随之变化，请你对设一产品的价格满足 (单位：元)，该产品的长期价格做一预测. 解 下面通过求产品价格在 时的极限来分析该产品的长期价格(元)即该产品的长期价格为20元 练习练习3 产品利润中的极限问题产品利润中的极限问题 已知某厂生产x个汽车轮胎的成本为 (元)生产x个汽车轮胎的平均成本为 ，当产量很大时，每个轮胎的成本大致为 ,试求这个极限 解解 柯西（Cauchy，Augustin Louis1789-1857），十九世 纪前半世纪的法国数学家。在代数学上，他有行列式论 和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。1821年，柯西出版了分析教程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基础上。