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1、已知的判断已知的判断新的判断新的判断确定确定 根据一个或几个已知的判断来确定一个根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫新的判断的思维过程就叫推理推理. .2.1.12.1.1合情推理合情推理归纳推理归纳推理 佛教佛教百喻经百喻经中有这样一则故事。中有这样一则故事。 从前有一位从前有一位富翁想吃芒果富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买打发他的仆人到果园去买,并告诉他并告诉他:要甜的要甜的,好吃的好吃的,你才买你才买.仆人拿好钱就去了仆人拿好钱就去了.到了到了果园果园,园主说园主说:我这里树上的芒果个个都是甜的我这里树上的芒果个个都是甜的,你你尝一个看尝一个看.仆人说仆人说:我尝
2、一个怎能知道全体呢我尝一个怎能知道全体呢 我应我应当个个都尝过当个个都尝过,尝一个买一个尝一个买一个,这样最可靠这样最可靠.仆人于仆人于是自己动手摘芒果是自己动手摘芒果,摘一个尝一口摘一个尝一口,甜的就都买回去甜的就都买回去.带回家去带回家去,富翁见了富翁见了,觉得非常恶心觉得非常恶心,一齐都扔了一齐都扔了.第一个芒果是甜的第一个芒果是甜的第二个芒果是甜的第二个芒果是甜的第三个芒果是甜的第三个芒果是甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的想一想：想一想：故事中仆人的做法实际吗？故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做？换作你，你会怎么做？铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导
3、电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 凸凸n边形边形内角和为内角和为第一个芒果是第一个芒果是甜的甜的第二个芒果是第二个芒果是甜的甜的第三个芒果是第三个芒果是甜的甜的这个果园这个果园的芒果都的芒果都是甜的是甜的第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般 由某类事物的由某类事物的 具有某些特征具有某些特征, ,推出该类事物的推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理的推理, ,或
4、者由或者由 概括出概括出 的推理的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理( (简称归纳简称归纳).).部分对象部分对象全部对象全部对象个别事实个别事实一般结论一般结论即是由部分到整体即是由部分到整体,由个别到一般由个别到一般的推理的推理.成语成语“一叶知秋一叶知秋”统计初步中的用样本估计总体统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取通过从总体中抽取部分对象部分对象进进行观测或试验，进而对行观测或试验，进而对整体整体做出推断做出推断. 意思是从一片树叶的凋落，知道秋意思是从一片树叶的凋落，知道秋天将要来到天将要来到. .比喻由比喻由细微的迹象细微的迹象看出看出整体整体形势形势的变化，由的变化，由部
5、分部分推知推知整体整体. .实例实例 3 33 36 6 3 37 71010 5 57 71212 6 6 3 33 31010 3 37 71212 5 57 76 6 6 63+33+33+33+3，8 8 8 83+5,3+5,3+5,3+5,101010105+5, 5+5, 5+5, 5+5, 100010001000100029+97129+97129+97129+971， 1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863,1002=139+863, 猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于猜想任何一个不小于6 6 6 6的的的的偶数都等
6、于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和偶数都等于两个奇质数的和. . . .数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想一个规律：一个规律：一个规律：一个规律：偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数哥德巴赫猜想的过程：哥德巴赫猜想的过程：具体的材料具体的材料观察分析观察分析猜想出一般性的结论猜想出一般性的结论归纳推理的过程：归纳推理的过程：例例1.1.观察下图观察下图, ,可以发现可以发现1+3+(2n1)=n21=121+3=4=22，1+3+5=9=32，
7、1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52由上述具体事实能得出由上述具体事实能得出怎样的结论？怎样的结论？ 1 1，3 3，5 5，7 7，由此你猜想出第，由此你猜想出第个数是个数是_._.这就是从这就是从部分到整体部分到整体, ,从从个别到一般个别到一般的的归纳推理归纳推理. . 例例2.2.已知数列已知数列 的第一项的第一项 =1,且且 ( 1，2，3，)，请归纳出这个数列的通项公式为请归纳出这个数列的通项公式为_._.解：分别把解：分别把n=1, 2 ,3 ,4 n=1, 2 ,3 ,4 代入代入 得得: :归纳归纳归纳归纳: :可用可用可用可用数学归纳法数学归纳法数学归
8、纳法数学归纳法证明证明证明证明这个猜想是正确的。这个猜想是正确的。这个猜想是正确的。这个猜想是正确的。 例例2.2.已知数列已知数列 的第一项的第一项 =1,且且 ( 1，2，3，)，请归纳出这个数列的通项公式为请归纳出这个数列的通项公式为_._.练习： 1.1.已知数列已知数列 的第一项的第一项 =1,=1, 且且 ( ( n n22 ) )，请归纳出这个数列的通项公式为请归纳出这个数列的通项公式为_。 例例例例3.3.3.3.数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数F F F F、顶点数、顶点数、顶点数、顶点数V V V V和
9、棱数和棱数和棱数和棱数E,E,E,E,然然然然后探求面数后探求面数后探求面数后探求面数F F F F、顶点数、顶点数、顶点数、顶点数V V V V和棱数和棱数和棱数和棱数E E E E之间的关系之间的关系之间的关系之间的关系. . . .四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥八面体八面体八面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔尖顶塔尖顶塔凸多面体凸多面体凸多面体凸多面体面数（面数（面数（面数（F F F F）顶点数顶点数顶点数顶点数（V V V V）棱数（棱数（棱数（棱数（E E E E）四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥八面体八面体八面
10、体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔尖顶塔尖顶塔凸多面体凸多面体凸多面体凸多面体面数（面数（面数（面数（F F F F） 顶点数顶点数顶点数顶点数（V V V V）棱数（棱数（棱数（棱数（E E E E）四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥八面体八面体八面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱6 68 81212凸多面体凸多面体面数面数（F F） 顶点数顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644
11、三棱锥三棱锥凸多面体凸多面体面数（面数（F F） 顶点数顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体凸多面体凸多面体面数（面数（F F） 顶点数顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔
12、四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱558四棱锥四棱锥凸多面体凸多面体面数（面数（F F）顶点数顶点数（V V）棱数（棱数（E E）四棱柱四棱柱三棱锥三棱锥八面体八面体三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔四棱柱四棱柱6812644三棱锥三棱锥1286八面体八面体695三棱柱三棱柱558四棱锥四棱锥9169尖顶塔尖顶塔6 69 95 59 95 55 58 816169 9凸多面体凸多面体凸多面体凸多面体面数（面数（面数（面数（F F F F）顶点数（顶点数（顶点数（顶点数（V V V V）棱数（棱数（棱数（棱数（E E E E）四棱柱四棱柱四棱柱四棱柱三
13、棱锥三棱锥三棱锥三棱锥八面体八面体八面体八面体三棱柱三棱柱三棱柱三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥四棱锥尖顶塔尖顶塔尖顶塔尖顶塔6 68 812126 64 44 412128 86 6猜想凸多面体的猜想凸多面体的猜想凸多面体的猜想凸多面体的面数面数面数面数F F F F、顶点数顶点数顶点数顶点数V V V V和和和和棱数棱数棱数棱数E E E E之间的关系式为：之间的关系式为：之间的关系式为：之间的关系式为：FVE2欧拉公式欧拉公式归纳推理的基础归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的作用归纳推理归纳推理观察、分析观察、分析发现发现新新事实、事实、获得获得新新结论结论由由部分部分到到整体、整体、个别个别
14、到到一般一般的推理的推理注意注意归纳推理的结论归纳推理的结论不一定成立不一定成立费马猜想：费马猜想：任何形如任何形如的数都是质数的数都是质数反例反例归纳推理的结论不一定正确归纳推理的结论不一定正确 由由两类对象两类对象具有具有某些某些类似特征类似特征和其中和其中一类对象的某些一类对象的某些已知特征已知特征, ,推出推出另一类对另一类对象也具有象也具有这些特征这些特征的推理称为的推理称为类比推理类比推理. .等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。猜想不等式的性质：猜想不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2)
15、ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？类比推理的结论不一定成立类比推理的结论不一定成立.例例4.试根据等式的性质猜想不等式的性质试根据等式的性质猜想不等式的性质. . .试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比. . 试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比. .圆的定义：圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合. .球的定义：球的定义：空间中到一个定点的距离等于定空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合长的点的集合.
16、 .圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积线线面面线线面面线线面面面面体体例例5.5.类比平面内直角三角形的勾股定理，类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :感悟感悟 开普勒开普勒(Kepler,1571-1630)(Kepler,1571-1630)说说: : “我珍视类比
17、胜过任何别的东西我珍视类比胜过任何别的东西, ,它是它是我最可信赖的老师我最可信赖的老师, ,它能揭示自然界的它能揭示自然界的秘密秘密. .” 数学家波利亚数学家波利亚( (PolyaPolya) )曾指出：曾指出：“类比是一个伟大的引路人类比是一个伟大的引路人” 总结：总结：1.进行类比推理的进行类比推理的步骤步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理
18、的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理类比推理以以旧旧的知识为基础的知识为基础,推测推测新新的结果，具有的结果，具有发现的功能发现的功能由由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理类比推理的结论类比推理的结论不一定成立不一定成立注意注意类比推理类比推理由由由由特殊特殊特殊特殊到到到到特殊特殊特殊特殊的推理的推理的推理的推理; ; ; ;以旧的知识为基础以旧的知识为基础以旧的知
19、识为基础以旧的知识为基础, , , ,推测推测推测推测新新新新的结果；的结果；的结果；的结果；结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立. . . .归纳推理归纳推理由由由由部分部分部分部分到到到到整体整体整体整体、特殊特殊特殊特殊到到到到一般一般一般一般的推理的推理的推理的推理; ; ; ;以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础以观察分析为基础, , , ,推测推测推测推测新新新新的结论的结论的结论的结论; ; ; ;具有具有具有具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ; ; ;结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立结论不一定成立. . . .具有具有具有
20、具有发现发现发现发现的功能的功能的功能的功能; ; ; ; 小结小结归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程归纳推理和类比推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理. .合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理 传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套
21、在一根针上的根针上的根针上的根针上的64646464个圆环个圆环个圆环个圆环. . . .古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, , , ,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡过渡过渡过渡”的作用的作用的作用的作用. . . . 1.1.1.1.每次只能移动每次只能移动每次只能移动每次只能移动1 1 1 1个圆环；个圆环；个圆环；个圆环
22、； 2.2.2.2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面较大的圆环不能放在较小的圆环上面. . . . 如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这如果有一天，僧侣们将这64646464个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了那么世界末日就来临了. . . . 请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把请你试着推测：把 个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1 1 1号针移到号针移到号针
23、移到号针移到3 3 3 3号针号针号针号针, , , ,最少需要移最少需要移最少需要移最少需要移动多少次动多少次动多少次动多少次? ? ? ?1 12 23 3课外思考课外思考2.2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片. .按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. .(1)(1)每次只能移动每次只能移动1 1个金属片；个金属片；(2)(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；较大的金属片不能放在较小的金属片上面；试推测：把试推测：把n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3
24、号针，最少需要移号针，最少需要移动多少次？动多少次？1 12 23 3123第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3. .设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1时，时， 1 2时，时，123前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2; ;第第第第2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3; ;第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3. . 3第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3. .设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针
25、移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1时，时， 1 n3时，时，前前前前2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2; ;第第第第3 3个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3; ;前前前前2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3. . 7 2时，时，前前前前1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到2 2; ;第第第第2 2个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3; ;第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从2 2到到到到3 3. . 3第第第第1 1个圆环从个圆环从个圆环从个圆环从1 1到到到到3 3. .设设 为把为把 个圆环从个圆环从1号针移到号针移到3号针的最少次数，则号针的最少次数，则 1时，时， 1123猜想猜想 a an n= =2 2n n -1-1再再 见见善于观察勤于思考敢于猜想的人善于观察勤于思考敢于猜想的人常常会冒出创造的灵感火花常常会冒出创造的灵感火花 !
