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1、微积分第一章第一节课件微积分第一章第一节课件课程简介课程简介教师姓名教师姓名参考书参考书交作业时间交作业时间最后成绩最后成绩答疑时间答疑时间教师姓名：教师姓名： 方小萍方小萍 Tel. 84659240(o) Tel. 84659240(o) 参考书：吉米多维奇数学分析习题集参考书：吉米多维奇数学分析习题集 分析中的反例分析中的反例返回返回Email address:交作业时间与地点：交作业时间与地点： 每周二上午每周二上午 教室教室作业要求全交。作业要求全交。最后成绩：最后成绩： 平时平时30%+30%+期末期末70%70%答疑时间：答疑时间： 待定待定preview + review +
2、exercise要求：要求：不迟到不早退，不中途退场不迟到不早退，不中途退场。几个常用符号几个常用符号存在存在(exist)(exist)；任意任意(arbitary)；属于。属于。成立；成立；成立推出成立推出由命题由命题21SS第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限二二 、函数、函数 一、集合一、集合第一节函数元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 ,
3、 记作 . ( 或) .注注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .表示法表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例:有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征例例: 整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的 邻域邻域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :右右 邻域邻域 :是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如 ,显然有
4、下列关系 : , ,若设有集合记作记作必有定义定义3. 给定两个集合 A, B, 并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或二实数与实数的绝对值2) 数轴: 规定了原点,方向,取了单位长的有向线段.3)绝对值04)绝对值的基本性质:3)4)初等数学：研究对象为常量，是初等数学：研究对象为常量，是常量常量的数学；的数学；高等数学：研究对象是事物的高等数学：研究对象是事物的运动规律运动规律和现象的和现象的变化规律变化规律，是，是变量变量的数学。的数学。三三 函数函数(function)(function)1616世纪，机械学，航海学，物理学，力学提出世纪，机械学，航海学，物
5、理学，力学提出许多新的问题：许多新的问题：运动物体的速度和它的运动规律的关系；运动物体的速度和它的运动规律的关系；天体沿怎样的轨道运行；天体沿怎样的轨道运行；不规则图形的面积如何计算等等。不规则图形的面积如何计算等等。GallilloGallillo在在“两门新学科两门新学科”中，用文字和比例的语言表达函中，用文字和比例的语言表达函数；数；NewtonNewton于于16651665年开始微积分工作后，用年开始微积分工作后，用“fluent”“fluent”表示变表示变量间关系；量间关系；Leibnize1673Leibnize1673年后首次使用年后首次使用functionfunction表
6、示变量间的关系；表示变量间的关系；EulerEuler于于17341734年引进函数符号年引进函数符号f(x)f(x)。实例实例2. 2. 某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。 定义定义1 1. . 假定在某个变化过程中有假定在某个变化过程中有x x和和y y两个变量，两个变量，x x的的变化域为变化域为X X 。假如对。假如对X X中的每一个中的每一个x x值，根据某种对值，根据某种对应规则应规则f f ，变量，变量y y有唯一确定的值与之对应，则称有唯一确定的值与之对应，则称y y是是x x的函数的函数(function)(functio
7、n)， 记作：记作：y=f(x)y=f(x)例例4.已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 2.函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性有界性使称 使称 说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )(2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .(3)奇偶性奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若在 x = 0 有定义 ,
8、为奇函数奇函数时,则当必有例如, 偶函数双曲余弦 记又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记(4)周期性周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数,3.反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质设函数习惯上,的反函数记成其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 是定义在D 上的一个函数,其值域如果对每一个,都有唯一的对应值,满足,则x是定义在上以 y为自变量的函数,记此函数为2) 函数与其反函数的图形关于直
9、线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线对称 .指数函数(2) 复合函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:1. 幂函数 ，它的定义域随不同的a而异，但无论a 为何值，在(0,) 内幂函数总是有定义的。其图形过点(1，1)，a0和a1时，ax 为单调递增函数，当0 a 1a 1时， 为单调递增函数。当0a 0当 x = 0当 x 50)故 一次成交的销售收入R是销售量x 的分段函数结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！58
