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1、第十三章轴对称【轴对称知识要点】1轴对称图形与轴对称轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形这条直线是它的对称轴轴对称：把一个平面图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴 )对称，这条直线叫做对称轴2轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线3线段的垂直平分线的性质和判定性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上4关于 x 轴、 y 轴对称的点的坐标的特点点(x，y)关于
2、x 轴对称的点的坐标为(x， y)；点(x，y)关于 y 轴对称的点的坐标为(x，y)；【温馨提示】1轴对称图形是针对一个图形而言，是指一个具有对称的性质的图形； 轴对称是针对两个图形而言，它描述的是两个图形的一种位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页2在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的两个图形的对应点的横坐标相同， 纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的两个图形的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相同【等腰三角形知识要点】1等腰三角形的性质性质 1： 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角” )；性质 2
3、：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)2等腰三角形的判定方法如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)3等边三角形的性质和判定方法性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60判定方法 1：三个角都相等的三角形是等边三角形判定方法 2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形4直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半【温馨提示】1 “等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立2在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(
4、1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30【方法技巧】1等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页2等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边” 3利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边13.1 轴对称13.2 画轴对称图形专题一轴对称图形1 【2012连云港】 下列图案
5、是轴对称图形的是（）2众所周知，几何图形中有许多轴对称图形，写出一个你最喜欢的轴对称图形是：_ （答案不唯一）3如图，阴影部分是由5 个小正方形组成的一个直角图形，请用两种方法分别在下图方格内涂黑两个小正方形，使它们成为轴对称图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页专题二轴对称的性质4如图， ABC 和ADE 关于直线l 对称，下列结论： ABC ADE ； l 垂直平分DB ； C=E； BC 与DE 的延长线的交点一定落在直线l 上其中错误的有（）A0 个B1 个C 2 个D3 个5如图， A=90 ，E 为 B
6、C 上一点， A 点和 E 点关于 BD 对称，B 点、 C 点关于 DE 对称，求 ABC 和 C 的度数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页6如图， ABC 和A BC关于直线m 对称（1）结合图形指出对称点（2）连接 A、A，直线 m 与线段 AA 有什么关系？（3） 延长线段 AC 与 AC， 它们的交点与直线m 有怎样的关系？其他对应线段 （或其延长线） 的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流专题三灵活运用线段垂直平分线的性质和判定解决问题7如图，在RtABC 中， ACB=90，AB 的垂直平分
7、线DE交于 BC 的延长线于F， 若 F=30 ， DE=1， 则 EF 的长是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页A3 B2 C3D1 8如图，在 ABC 中， BC=8 ，AB 的垂直平分线交BC 于 D，AC 的垂直平分线交BC 与 E，则 ADE 的周长等于 _9如图， AD BC，BD=DC ，点 C 在 AE 的垂直平分线上，那么线段 AB、BD 、DE 之间有什么数量关系？并加以证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页专题
8、四利用关于坐标轴对称点的坐标的特点求字母的取值范围10已知点 P（ 2，3）关于 y 轴的对称点为Q（a，b） ，则 a+b的值是（）A1 B 1 C5 D 5 11已知 P1点关于 x 轴的对称点P2（32a， 2a5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则 P1点的坐标是 _参考答案 : 1D 解析： 将 D 图形上下或左右折叠，图形都能重合， D图形是轴对称图形，故选 D2圆、正三角形、菱形、长方形、正方形、线段等3如图所示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页4A 解析：根据轴对称的定义可
9、得，如果 ABC 和 ADE 关于直线 l 对称， 则 ABC ADE ，即正确；因为如果两个图形关于某条直线对称， 那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对应线段、对应角相等，故l 垂直平分 DB ， C=E，即，正确；因为成轴对称的两个图形对应线段或延长线如果相交，那么，交点一定在对称轴上，故BC与 DE 的延长线的交点一定落在直线l 上，即正确 综上所述，都是正确的，故选A5解：根据题意A 点和 E 点关于 BD 对称，有 ABD= EBD ，即 ABC=2 ABD=2 EBDB 点、 C 点关于 DE 对称，有 DBE= BCD ， ABC=2 BCD且已知 A=
10、90 ，故 ABC+ BCD=90 故 ABC=60 ， C=30 6解： （1）对称点有A 和 A，B 和 B，C 和 C（2）连接 A、A，直线 m 是线段 AA 的垂直平分线（3）延长线段 AC 与 AC ，它们的交点在直线m 上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m 上，即若两线段关于直线 m 对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页7 B 解析：在RtFDB 中， F30 ， B60 在RtABC 中， ACB 90 ， ABC 60 ， A 30
11、 在RtAED 中， A30 ， DE1， AE2连接 EB. DE是AB的 垂 直 平 分 线 ， EB AE 2. EBD A 30 ABC 60 ， EBC30 F 30 ， EFEB2故选 BABFCED8 8 解析： DF 是 AB 的垂直平分线，DB=DA EG 是AC 的垂直平分线，EC=EA BC=8 ， ADE 的周长 =DA+EA+DE=DB+DE+EC=BC=89解： AB+BD=DE 证明： AD BC， BD=DC ， AB=AC 点 C 在 AE 的垂直平分线上，AC=CEAB=CE AB+BD=CE+DC=DE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
12、归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页10C 解析：关于y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， a=2，b=3 a+b=5解得 1.5a 2.5，又因为 a 必须为整数，a=2点 P2（ 1，1） P1点的坐标是（1，1） 13.3 等腰三角形13.4 课题学习最短路径问题专题一等腰三角形的性质和判定的综合应用1如图在 ABC 中， BF、CF 是角平分线，DEBC，分别交AB、 AC 于点 D、E，DE 经过点F结论： BDF 和CEF都是等腰三角形；DE=BD+CE ； ADE 的周长 =AB+AC ；BF=CF其中正确的是_(填序号 ) 2如图，在 ABC 中
13、， AB=AC ，点 D、E、 F 分别在边AB、BC、AC 上，且 BE=CF ，AD+EC=AB （1）求证： DEF 是等腰三角形；（2）当 A=40 时，求 DEF 的度数；（3）DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当A 为多少度时，EDF+EFD=120 ，并精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页请说明理由3如图，已知ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BE 是ABC 的平分线， DEBC，垂足为 D（1）请你写出图中所有的等腰三角形；（2）请你判断AD 与 BE 垂直吗？并说明理由
14、（3）如果 BC=10 ，求 AB+AE 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页专题二等边三角形的性质和判定4如图，在等边ABC 中， AC=9 ，点 O 在 AC 上，且 AO=3 ，点 P 是 AB 上一动点，连接OP，以 O 为圆心， OP 长为半径画弧交BC 于点D，连接PD，如果PO=PD，那么AP 的长是_5如图在等边ABC 中， ABC 与 ACB 的平分线相交于点 O，且 ODAB ，OEAC （1）试判定 ODE 的形状，并说明你的理由；（2）线段 BD 、DE、EC 三者有什么关系？写出你的判
15、断过程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页6如图， ABC 中， AB=BC=AC=12 cm，现有两点M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为 1 cm/s，点 N 的速度为2 cm/s当点 N 第一次到达B 点时，M、N 同时停止运动（1）点 M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？（2）点 M、N 运动几秒后，可得到等边三角形 AMN ？（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰三角形AMN ？如存在，请求出此时M、N 运动的时间专题三最短路径问题
16、7如图， A、B 两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线a 表示输水总管道， 直线 b 表示输煤气总管道现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B 两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短图中，点 A 是点 A 关于直线b 的对称点， AB分别交 b、a 于点 C、D；点 B 是点 B 关于直线a 的对称点， BA 分别交 b、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页a 于点 E、F则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是（）A F 和C B F 和E C D 和
17、 C DD 和 E 8如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给A 、B 两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小? (保留作图痕迹及简要说明) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页参考答案 : 1 解 析 ： DEBC ， DFB= FBC ，EFC=FCBBF 是 ABC 的平分线， CF 是 ACB 的平分线 ， FBC=DBF ， FCE=FCB DBF= DFB ，EFC=ECF， DFB ， FEC 都是等腰三角形DF=DB ，FE=EC ， 即 有DE=DF+FE=
18、DB+EC ADE的 周 长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC 综上所述， 命题正确2解： (1)证明： AD+EC=AB ， BD=CE AB=AC ， B= CBE=CF， BDE CEFDE=EF，即 DEF 是等腰三角形(2) A=40 ， B=C=12(180 A)=12(18040)=70 BDE CEF， BDE= CEF DEF=180 BED CEF=180 BED BDE= B=70精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页(3)不能 DEF= B90， DEF 不可能是等腰直角三
19、角形(4)60理由：当 A=60 时， B= C=60，由（ 2）可得 DEF=60 EDF+ EFD=120 3解： （1）ABC ，ABD ， ADE ，EDC （2）AD 与 BE 垂直证明： BE 为 ABC 的平分线， ABE= DBE. 又 BAE= BDE=90，BE=BE ， ABE 沿 BE 折叠，一定与 DBE 重合A、D 是对称点ADBE（3） BE 是 ABC 的平分线， DEBC，EAAB ，AE=DE 在 RtABE 和 RtDBE 中，A E = D EB E = BE，RtABE Rt DBE （HL ） AB=BD 又ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，
20、C=45 又 EDBC， DCE 为等腰直角三角形DE=DC即 AB+AE=BD+DC=BC=10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页46 解析：连接OD， PO=PD，OP=DP=OD DPO=60 ABC是 等 边 三 角 形 ， A= B=60 ， AC=AB=9 OPA=PDB= DPA 60 OPAPDB AO=3，AO=PB=3 ， AP=65解： （1）ODE 是等边三角形，其理由是：ABC 是等边三角形， ABC= ACB=60 ODAB，OEAC ， ODE=ABC=60 ， OED=ACB=60
21、 ODE 是等边三角形（2）BD=DE=EC 其理由是：OB 平分 ABC ，且 ABC=60 ， ABO= OBD=30 ODAB， BOD= ABO=30 DBO= DOB DB=DO 同理， EC=EODE=OD=OE ，BD=DE=EC 6解： （1）设点 M、N 运动 x 秒后， M、N 两点重合，x 1+12=2x，解得： x=12 （2）设点 M、N 运动 t 秒后，可得到等边三角形AMN ，如图，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页AM=t1=t，AN=AB BN=12 2t，三角形 AMN 是等边
22、三角形，t=122t解得 t=4点 M、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形AMN （3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（ 1）知 12 秒时 M、N 两点重合，恰好在C 处，如图，假设AMN 是等腰三角形，AN=AM AMN= ANM AMC= ANB AB=BC=AC ， ACB 是等边三角形 C=B在ACM 和ABN 中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页ACABCBAMCANB， ， ACM ABN CM=BN 设当点 M、 N 在 BC 边上运动时， M、 N
23、 运动的时间y 秒时， AMN是等腰三角形，CM=y 12，NB=36 2y，CM=NB y 12=36 2y，解得： y=16故假设成立当点M、N 在 BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰三角形 AMN ，此时 M、N 运动的时间为16 秒7 A 解析：由轴对称最短路线的要求可知：输水分管道的连接点是点B 关于 a 的对称点 B 与 A 的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A 关于 b 的对称点A 与 B 的连线的交点C故选 A8解：如图，作点B 关于公路的对称点B ，连接 AB ，交公路精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页于点 C，则这个基地建在C 处，才能使它到这两个超市的距离之和最小 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页
