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1、高三数学专题复习函数一、本章知识结构：二、考点回顾1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 7、掌握函数零点的概念，用二分法求函数的近似解，会应用函数知识解决一些实际问题。三、经典例题剖析考点一：
2、函数的性质与图像函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的性质，可以从“ 数” 和“ 形” 两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是：函数的三要素函数的表示法函数的性质反函数函数的应用初等函数基本初等函数：幂函数； 二次函数指数函数；对数函数对数函数指数函数映射函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准
3、确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力函数的图像是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。1掌握描绘函数图像的两种基本方法描点法和图像变换法2会利用函数图像，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题3用数形结
4、合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力例 1、设集合 A=x|x1 ，B=x|log2x0 ，则 AB=( ) Ax| x1 Bx|x0 Cx|x-1 Dx|x1 【解析】 :由集合 B 得 x1 , AB=x| x1 ，故选（ A） 。点评 本题主要考查对数函数图像的性质，是函数与集合结合的试题，难度不大，属基础题。例 2、 “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点用S1、S2分别表示乌龟和
5、兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）【解析】：选（ B），在（ B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。点评 函数图像是近年高考的热点的试题，考查函数图像的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页例 3、设11xfxx，又记11,1,2,kkfxfxfxffxk则2008fx（）A11xx；B11xx；Cx；D1x；【解析】 :本题考查周期函数的运算。1121111,11fxfxfxxfx，32342311
6、1,111ffxfxfxxfxf，据此，414211,1nnxfxfxxx，4341,1nnxfxfxxx，因2008为4n型，故选C. 点评 本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，考查学生观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。例 4、函数3( )sin1()f xxxxR，若( )2f a,则()fa的值为（）A.3 B.0 C.-1 D.-2 【解析】：3( )1sinf xxx为奇函数 ，又( )2f a( )11f a故()11fa即()0fa. 点评 本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问
7、题迎刃而解。例 5、已知集合axyyxP),(，集合bxyyxQ),(，若QP，求实数 a 和 b 之间的大小关系。【解析】：利用数形结合，分别讨论当a0，a0 和 a=0 三种情况下， a与 b 之间的关系。（1）当 a0 时， ba0；（2）当 a=0 时， ba=0；（3）当 a0 时， b-a0。综上所述，ab。点评 在作含有绝对值的函数图像时，可利用奇偶性、对称性等。此外，在解集合的题目时，一定要看清楚集合中的元素到底表示什么含义，比如此题中集合的元素是点。考点二：二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本的初等精选学习资料 - - - -
8、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了. 学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证
9、的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例6、 设 二次 函 数f xaxbxc a20， 方 程f xx0的 两 个 根xx12,满 足axx1021。当xx01,时，证明：1)(xxfx。【解析】：在已知方程f xx0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式 . 证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf. 当xx01,，且axx1021时，0)(21xxxxa，当xx01,时，xxf)(。又)1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf，当ax
10、xx1021时，, 011,0221axaxaxxx且1)(xxf。综上可知，所给问题获证. 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式.21xxxxay。例 7、设二次函数2( )f xxaxa，方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx（I）求实数a的取值范围； （第 1 问 采用解法1 中的方法较好）（II）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小并说明理由 （第 2 问 采用解法3 中的方法较好）【解析】法1： （）令2( )( )(1)g xf xxxaxa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
11、 页，共 11 页则由题意可得01012(1)0(0)0agg，01132 232 2aaaa，或，032 2a故所求实数a的取值范围是(0 32 2)，（II）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，令2( )2h aa当0a时，( )h a单调增加，当032 2a时，20( )(322)2(322)2(1712 2)h ah1121617122，即1(0)(1)(0)16fff法 2： （I）同解法1（II）2(0)(1)(0)(0)(1)2fffgga，由（ I）知032 2a，41122170a2又4210a，于是221112(321)(4 21)(4 21)0161616aa
12、aa，即212016a，故1(0) (1)(0)16fff法 3： （I）方程( )0f xx2(1)0xaxa，由韦达定理得121xxa，12x xa，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0xxxxx xxxxx，0132 232 2aaaa，或0322a故所求实数a的取值范围是(0 32 2)，（II） 依题意可设12( )()()g xxxxx，则由1201xx，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)fffggx xxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共
13、 11 页2211221112216xxxx，故1(0)(1)(0)16fff点评 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力考点三：指数函数与对数函数指数函数 ,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能进行一定的综合运用. 例 8、 已知函数( )log (21)(01)xaf xbaa，的图像如图所示，则ab，满足的关系是（）A101abB101baC101baD1101ab【解析】：由图易得1,a101;a取特殊点01log
14、0,axyb11logloglog 10,aaaba101ab.选 A. 点评：本小题主要考查正确利用对数函数的图像来比较大小。例 9、 设1a， 函数( )logaf xx在区间2aa，上的最大值与最小值之差为12， 则a（）A2B2C2 2D4【解析】：设1a，函数( )logaf xx在区间 ,2 aa上的最大值与最小值分别为log 2 ,log1aaaa，它们的差为12，1log 22a，a4，选 D。例 10 、若13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，则（）AabcBcabCbacDbca【解析】：由0ln111xxe，令xtln且取21t知bac考点四：反函数反函数在高考试卷中
15、一般为选择题或填空题，难度不大。通常是求反函数或考察互为反函数的两个函数的性质应用和图像关系。主要利用方法为：1、 反函数的概念及求解步骤： 由方程 y= (x)中解出 x=(y)；即用 y 的代数式表示x.。改写字母 x 和 y，得出 y=-1(x)；求出或写出反函数的定义域，（亦即 y= (x) 的值域）。即反解互换求定义域2、 互为反函数的两个函数的图像之间的关系，3、 互为反函数的两个函数性质之间的关系：注意：在定义域内严格单调的函数必有反函数，但1O y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页存在反函数的
16、函数在定义域内不一定严格单调，如y=1x。例 11、 函数( )3 (02)xf xx 的反函数的定义域为（）(0)，(19，(0 1)，9)，【解析】：函数( )3 (02)xf xx的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(19， 选 B。点评：本题考查互为反函数的两个函数性质之间的关系，即：反函数的定义域为原函数的值域。例 12、设函数( )yf x存在反函数1( )yfx,且函数( )yxf x的图像过点 (1,2),则函数1( )yfxx的图像一定过点. 【解析】由函数( )yxfx的图像过点 (1,2)得: (1)1,f即函数( )yfx过点(1, 1),则其反函数过点( 1
17、,1),所以函数1( )yfxx的图像一定过点( 1,2).点评：本题考查互为反函数的两个函数的图像之间的关系以及图像的平移。考点五：抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，又能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等
18、多种方法从多角度，多层面去分析研究抽象函数问题，（一）函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等)反应出来的，抽象函数也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题才能转化，化难为易，常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知 4;利用对称性数形结合;5，借助特殊点，布列方程等. （二）特殊化方法1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将x 换成 x 等2、在求函数值时，可用特殊值代入3、研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题，填空题，或由具体模型函数对综合题，的解答提供
19、思路和方法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页总之，抽象函数问题求解，用常规方法一般很难凑效，但我们如果能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，真有些山穷水复疑无路，柳暗花明又一村的快感. 例 13、 定义在R上的函数( )f x满足()( )( )2f xyf xfyxy（xyR，） ，(1)2f，则( 2)f等于（）A2 B 3 C6 D9 解：令0(0)0xyf，令1(2)2 (1)26xyff；令2,2xy得0(22)(2)( 2)8( 2)8(2)862ffff
20、f方法 2：可先求)0(f，然后求) 1(f，利用)1()21 (ff可得到)2(f。考点六：函数的综合应用函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题函数描述了自然界中量的依存关系， 是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系因此，运动变化、相互联系、相互制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键例 14 、某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层 2000 平
21、方米的楼房。 经测算， 如果将楼房建为x（ x10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用 +平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）【解析】：设楼房每平方米的平均综合费为y元，依题意得*21601000010800(56048 )56048(10,)2000yxxxxNxx2000108004825601080048560xxy，当且仅当xx1080048时，等号成立，因此，当15x时，y取得最小值，min2000y元. 答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为
22、15 层。点评：这是一题应用题，利用函数与基本不等式的知识来解决问题。还可利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法，上海考生暂不作要求。例 15、某商品每件成本10 元，售价为30 元，每星期卖出120 件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，030x）成正比 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页已知商品单价降低2 元时，一星期多卖出24 件（I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？本小题主
23、要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力【解析】： （）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx，若记商品在一个星期的获利为( )f x，则依题意有)120)(1030()(kxxxf300x，又由已知条件，24=kx ，于是有 12，所以240012012)12120)(1030()(2xxxxxf，30,0x。（）根据（） ，我们有2700)5(12240012012)(22xxxxf，30,0x。 当 x=5 时，2700)(maxxf所以定价为30-5=25 元能使一个星期的商品销售利润最大点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数最值的知
24、识解决实际问题的能力考点七、函数的零点例 16、函数xxxf1lg)(的零点所在的区间是）A1 ,0B （ 1，10）C100,10D),100(解：因为f（1） 010，f（10） 11010，即 f（ 1）?f（10） 0，所以函数 f（x）在区间（ 1,10）之间有零点。点评：如果函数f（ x）在区间 a，b上连续，且f（a） ? f（b） 0，则函数f（x）在区间（ a，b）上有零点，函数的零点，二分法，函数的应用都是函数的重点内容。例 17、 已知 a是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yf x 在区间 -1， 1上有零点，求实数 a 的取值范围。【解析】（1）当
25、 a=0 时，函数为f (x)=2x -3 ，其零点x=23不在区间 -1，1上。（2）当 a0 时，函数f (x) 为二次函数，在区间-1，1分为两种情况：函数在区间 1，1上只有一个零点，此时或12110)3(84aaa0)1)(5()1 () 1(0)3(84aaffaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页解得 1a5 或 a=273函数在区间 1，1上有两个零点，此时208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得 a5 或 a273综上所述，如果函数在区间1， 1上
26、有零点，那么实数a 的取值范围为(-, 1, + ) 四、方法总结与2010 年高考预测（一）思想方法总结1. 数形结合2. 分类讨论3. 函数与方程（二） 2010 年高考预测1.考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性. 2.考查与函数图像有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、 对称变换， 注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力. 3.考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函数的
27、性质为依托，结合运算推理来解决. 4 加强函数思想、 转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题， 引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力. 5、注意与导数结合考查函数的性质. 6、函数的应用，是与实际生活结合的试题，应加强重视。五、复习建议273精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页基本函数：一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图像与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图像、图像
28、的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势. 特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现. 复习函数时要注意：1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图像与性质，对数与形的基本关系能相互转化. 2.掌握函数图像的基本变换，如平移、翻转、对称等. 3.二次函数是初中、 高中的结合点， 应引起重视， 复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题. 4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏. 5. 利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
