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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分 第十一章 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想, 采用可得求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值7/20/2024高等数学D114对面积曲
2、面积分1目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” 都存在,的曲面积分其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若
3、 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 定理定理: 设有光滑曲面f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明: 由定义知7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 而( 光滑)7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重
4、积分. (见本节后面的例4, 例5) 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算曲面积分其中 是球面被平面截出的顶部.解解: :7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面被平行平面 z =h 截出的上下两部分,则7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则与 原式 = 分别表示 在平面 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例
5、3. 设计算解解: 锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的投影域为则 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 若例3 中被积函数改为计算结果如何 ? 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解: 设 的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球面坐标思考题思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ?7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算解解: 取球面坐标系, 则7/20/2024
6、高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算其中 是球面利用对称性可知解解: 显然球心为半径为利用重心公式7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 计算其中 是介于平面之间的圆柱面分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)则解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求椭圆柱面位于 xOy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: 取7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回
7、 结束 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: 建立坐标系如图, 记覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球面坐标系, 则 卫星覆盖面积为7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求 A . 7/20/2024高等数学D114对面
8、积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义:2. 计算: 设则(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧. 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习P217 题1；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P217 题1.P217 题3. 设则P244 题27/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 P217 题4 (1). 在 xOy 面上的投影域为这是 的面积 !7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下
9、页 返回 结束 P218 题7. 如图所示, 有7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 P244 题2. 限中的部分, 则有( ).( 2000 考研 )7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 作业 P217 4(3); 5(2); 6(1), (3), (4); 8第五节 7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 已知曲面壳求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xOy 面上的投影为 故7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 是四面体面, 计算解解: 在四面体的四个面上同上平面方程投影域7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1目录 上页 下页 返回 结束 同上平面方程投影域7/20/2024高等数学D114对面积曲面积分1
