《2022年六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载牛吃草问题讲义牛吃草问题常用到四个基本公式,分别是:( 1)草的生长速度(对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数)(吃的较多天数吃的较少天数) ;( 2)原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数;( 3)吃的天数原有草量(牛头数草的生长速度);( 4)牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变,设为1 ,解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型之一,这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题,给大家开拓一下思维,首先,
2、先介绍一下这类问题的背景,大家看知识要点特点:在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的工作总量是不固定的,一直在均匀变化。典例评析例1、有一块匀速生长的草场,可供12头牛吃 25天,或可供 24头牛吃 10天,那么它可供几头牛吃20天?例2、由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少,如果某块草地上的草可供25头年吃4天,或可供 16头牛吃 6天,那么可供10头牛吃多少天?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习必备欢迎下载例3、一片匀速生长的草地,可以供18投
3、牛吃 40天,或者供 12头牛与 36只羊吃 25天,如果 1头牛每天的吃草两相当于 3只羊每天的吃草量。请问:这片草地让17头牛与多少只羊一起吃,刚好16天吃完?牧场上长满牧草,每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃 6天或 23头牛吃 9天。问可供 21头牛吃几天?【分析】 这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分:原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变,但应注意到它是匀速生长的,因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到,草每天在长,牛每天在吃,都是在变化的,但是也有不变的,都是什么不变啊?草是以匀速生长的,也
4、就是说每天长的草是不变的; ,同样,每天牛吃草的量也是不变的,对吧?这就是我们解题的关键。这里因为未知数很多,我教大家一种巧妙的设未知数的方法,叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份,具体 1份是多少我们不知道,也不用管它,【思考 1】一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供24头牛吃 6天,或 20头牛吃 10天,那么可供 18头牛吃几天?设1头牛 1天吃的草为 1份。则每天新生的草量是(2010-24 6) (10-6)=14 份,原来的草量是(24-14 ) 6=60份。可供 18头牛吃 60( 18-14 )=15天例2 因天气寒冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少
5、。已知牧场上的草可供33头牛吃 5天,可供 24头牛吃 6天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天 ? 【分析】与例1不同的是,不但没有新长出的草,而且原有的草还在匀速减少,但是,我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考 2】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度在减少,经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供 16头牛吃 6天。那么,可供11头牛吃几天?8天,设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量:(205-16 6)( 6-5 )=4份,原来的草量: (20+4) 5=120 份,可供 11头牛吃 120(11+4)=8 天。总结:想办法从变化中
6、找到不变的量。牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,但是因为是匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草,问题就会迎刃而解。知识衍变精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习必备欢迎下载牛吃草基本问题就先介绍到这,希望大家掌握这种方法,以后出现样吃草问题,驴吃草问题也知道怎么做,甚至,以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶,小明和小丽从扶梯上楼,已知小明每分钟走25级台阶,小丽每分钟走20级台阶,结果小明用了5分钟,小丽用了6分钟分别到达
7、楼上。该扶梯共有多少级台阶?【分析】在这道题中, “总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”, “草”变成了“台阶” , “牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思考 3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬,两只蜗牛的爬行速度是不同的,一只每天爬行20分米,另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的,结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底,另一只恰好用了6个昼夜到达井底。那么,井深多少米?大家说这里什么是牛?什么是草?都什么是不变的?15米。蜗牛每夜下降: (205-156)( 6-5 )=10分米所以井深:(20+10) 5=150分米 =1
8、5米例4 一条船有一个漏洞,水以均匀的速度漏进船内,待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水, 3小时舀完。如果只有5个人舀水,要 10小时才能舀完。现在要想在2小时舀完,需要多少人?【分析】典型的“牛吃草”问题,找出“牛”和“草”是解题的关键【思考 4】一个水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机 20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是:(2010-15 10)(20-10)=5 份,池内原有的水是:(10-5) 20=100份. 所以 , 用25部抽水机需要:1
9、00 (25-5)=5 小时思维拓展例5 有一牧场长满牧草,牧草每天匀速生长,这个牧场可供17头牛吃 30天,可供 19头牛吃 24天,现在有若干头牛在吃草, 6天后, 4头牛死亡,余下的牛吃了2天将草吃完,问原来有牛多少头?【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长,所研究的量也等量地增加。解答时,要抓住这个关键问题,也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考 5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃 6天,或供 23头牛吃 9天,现有一群牛吃了4天后卖掉 2头,余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头?25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为:
10、(239-276)( 20-10 )=15份,原有的草量为(27-15 ) 6=72份。如两头牛不卖掉,这群牛在4+4=8天内吃草量 72+158+24=200份。所以这群牛原来有2008=25头例6 有三块草地,面积分别为5公顷, 6公顷和 8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快,第一块草地可供11头牛吃 10天,第二块草地可供12头牛吃 14天。第三块草地可供19头牛吃多少天?【分析】由题目可知,这是三块面积不同的草地,为了解决这个问题,首先要将这三块草地的面积统一起来。例1一个牧场长满青草,牛在吃草而草又在不断生长,已知牛27头, 6天把草吃尽,同样一片牧场,牛23头, 9天精选学
11、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习必备欢迎下载把草吃尽。如果有牛21头,几天能把草吃尽?摘录条件:27头 6天原有草 +6天生长草23头 9天原有草 +9天生长草21头?天原有草 +?天生长草小学解答:解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛 1天吃的草为 1 ,由条件可知,前后两次青草的问题相差为 239 - 276=45。 为什么会多出这45呢?这是第二次比第一次多的那(9-6 )3天生长出来的,所以每天生长的青草为453=15现从另一个角度去理解,这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。 由此,
12、 我们可以把每次来吃草的牛分为两组, 一组是抽出的 15头牛来吃当天长出的青草,另一组来吃是原来牧场上的青草,那么在这批牛开始吃草之前,牧场上有多少青草呢?( 27-15)6=72那么:第一次吃草量 276=162第二次吃草量 239=207每天生长草量 453=15原有草量( 27-15 )6=72或 162-156=7221头牛分两组, 15头去吃生长的草,其余6头去吃原有的草那么 726=12(天)初中解答:假设原来有的草为x 份,每天长出来的草为y 份,每头牛每天吃草1份。那么可以列方程:x+6y=276x+9y=239解得 x=72,y=15 若放 21头牛,设n 天可以吃完,则:7
13、2+15n=21n n=12 例 2一水库原有存水量一定,河水每天入库。5台抽水机连续 20天抽干, 6台同样的抽水机连续15天可抽干,若要 6天抽干,要多少台同样的抽水机?摘录条件:5台 20天原有水 +20天入库量6台 15天原有水 +15天入库量?台 6天原有水 +6天入库量小学解答:设 1台1天抽水量为 1 ,第一次总量为 520=100,第二次总量为 615=90精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习必备欢迎下载每天入库量 (100- 90)(20 -15)=2 20天入库 220=40,原有水100-40
14、=60 60+26=72726=12(台)初中解答:假设原来有的水为x 份,每天流进来的水为y 份,每台机器抽出的水是1个单位。那么可以列方程:x+20y=205x+15y=615解得 x=60,y=2 若要 6天抽完,设n 台机器可以抽完,则:60+62=6 nn=12 巩固练习1. 一块牧场长满了草,每天均匀生长。这块牧场的草可供10 头牛吃40 天,供 15 头牛吃 20 天。可供25 头牛吃天。()A. 10 B. 5 C. 20 A 假设 1 头牛 1 天吃草的量为1 份。每天新生的草量为:(1040-15 20) ( 40-20 )=5(份) 。那么愿草量为: 1040-40 5=
15、200(份) ,安排 5 头牛专门吃每天新长出来的草,这块牧场可供25 头牛吃: 200( 25-5 )=10(天)。2. 一块草地上的草以均匀的速度生长,如果20 只羊 5 天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光,而14只 羊 则 要10天 吃 光 。 那 么 想 用4 天 的 时 间 , 把 这 块 草 地 的 草 吃 光 , 需 要 只 羊 。()A. 22 B. 23 C. 24 B假设 1 只羊 1 天吃草的量为1 份。每天新生草量是: (1410-20 5)( 10-5 )=8(份)原草量是:205-8 560(份)安排8 只羊专门吃每天新长出来的草,4 天时间吃光这块草地共需羊:
16、604+823(只)3画展 9 时开门,但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起,每分钟来的观众人数一样多。如果开3 个入场口,9 点9 分就不再有人排队了,那么第一个观众到达的时间是8 点分。()A. 10 B. 12 C. 15 C假设每个人口每分钟进入的观众量是1 份。每分钟来的观众人数为(39-5 5)( 9-5 )=0.5 (份)到 9 时止,已来的观众人数为:3 9-0.5 922.5 (份)第一个观众来到时比9 时提前了: 22.5 0.5 45(分)所以第一个观众到达的时间是9 时-45 分=8 时 15 分。4. 经测算,地球上的资源可供100 亿人生活 100 年,或可
17、供 80 亿人生活 300 年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么,为了满足人类不断发展的要求,地球最多只能养活()亿人。70 设 1 亿人 1 年所消耗的资源为1 份那么地球上每年新生成的资源量为:(80300-100 100)( 300-100 )=70(份)只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时,地球上的资源才不至于逐渐减少,才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活:701=70(亿人)5. 快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24 千米、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
18、-第 5 页,共 6 页学习必备欢迎下载20 千米、19 千米。快车追上自行车用了6 小时,中车追上自行车用了10 小时,慢车追上自行车用 ()小时。12 自行车的速度是: (2010-24 6)( 10-6)=14(千米 / 小时)三车出发时自行车距A地: (24-14 ) 6=60(千米)慢车追上自行车所用的时间为:60( 19-14 )=12(小时)6. 一水池中原有一些水,装有一根进水管,若干根抽水管。进水管不断进水,若用24 根抽水管抽水,6 小时可以把池中的水抽干,那么用16 根抽水管,()小时可将可将水池中的水抽干。18 设 1 根抽水管每小时抽水量为1 份。(1)进水管每小时卸
19、货量是:(218-24 6)( 8-6)=12(份)(2)水池中原有的水量为:218-12 8 72(份)(3) 16 根抽水管,要将水池中的水全部抽干需:72( 16-12 )=18(小时)7. 某码头剖不断有货轮卸下货物,又不断用汽车把货物运走,如用 9 辆汽车, 12 小时可以把它们运完,如果用 8 辆汽车, 16 小时可以把它们运完。如果开始只用3 辆汽车, 10 小时后增加若干辆,再过4 小时也能运完,那么后来增加的汽车是()辆。19 设每两汽车每小时运的货物为1 份。(1)进水管每小时的进水量为:(816-9 12)( 16-12 )=5(份)(2)码头原有货物量是:9 12-12
20、 548(份)(3) 3 辆汽车运10 小时后还有货物量是:48+(5-3 ) 10=68(份)(4)后来增加的汽车辆数是:(68+45) 4-3=19 (辆)8有一片草地,每天都在匀速生长,这片草可供16 头牛吃 20 天,可供80 只羊吃 12 天。如果一头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量,那么10 头牛与 60 只羊一起吃可以吃多少天?8 天(1)按牛的吃草量来计算,80 只羊相当于804=20(头)牛。(2)设 1 头牛 1 天的吃草量为1 份。(3)先求出这片草地每天新生长的草量:( 1620-20 12)( 20-12 )=10(份)(4)再求出草地上原有的草量:1620-10 20
21、120(份)(5)最后求出10 头牛与 60 只羊一起吃的天数:120( 10+604-10 )=8(天)9. 某水库建有10 个泄洪闸, 现在水库的水位已经超过安全警戒线,上游的河水还在按一不变的速度增加。为了防洪,需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30 小时水位降到安全线,若打开两个泄洪闸,10 小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5 小时内使水位降到安全线,问:至少要同时打开几个闸门?4 个 设 1 个泄洪闸 1 小时的泄水量为1 份。(1)水库中每小时增加的上游河水量:(130-2 10)( 30-10 )=0.5 (份)(2)水库中原有的超过安
22、全线的水量为:130-0.5 30 15(份)(3)在 5.5 小时内共要泄出的水量是:15+0.5 5.5 17.75 (份)(4)至少要开的闸门个数为:17.75 5.5 4(个)(采用“进1”法取值)10. 现有速度不变的甲、乙两车,如果甲车以现在速度的2 倍去追乙车, 5 小时后能追上,如果甲车以现在的速度去追乙车,3 小时后能追上。那么甲车以现在的速度去追,几小时后能追上乙车?15 小时设甲车现在的速度为每小时行单位“1” ,那么乙车的速度为:(2 5-33)( 5-3 )=0.5 乙车原来与甲车的距离为:25-0.5 57.5 所以甲车以现在的速度去追,追及的时间为:7.5 ( 1-0.5 )=15(小时)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页