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1、2.3.3 直线与平面垂直的性质整体设计三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质 . 2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 课时安排1 课时教学过程复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图 1 如图 1，表示方法为：a.由直线与平面垂直的定义不难得出：ba EMBED Equation.3 ba. 导入新课思路 1.(情境导入 ) 大家都读过茅
2、盾先生的白杨礼赞，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？思路 2.(事例导入 ) 如图 2，长方体ABCD ABCD中，棱AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图 2 推进新课新知探究提出问题回忆空间两直线平行的定义. 判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. 用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理. 如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果： 如果两条直线没有公共点，我们说
3、这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法. 如图 3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 图 3 如图4，长方体ABCD ABCD中，棱AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直于所在的平面 ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图 4 图 5 棱 AA 、BB 、CC 、DD 所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平
4、行. 直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：ba EMBED Equation.3 ba. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. 直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系 . 应用示例思路 1例 1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知 a,b .求证： ab. 图 6 证明：（反证法）如图6，假定 a与 b 不平行，且b=O, 作直线 b ，使 Ob,ab.直线 b 与直线 b 确定平面 ，设 =c,则 Oc. a,
5、b , ac,bc. b a,b c.又Ob,Ob,b ,b ,ab 显然不可能，因此ba. 例 2 如图 7，已知 =l,EA于点 A,EB于点 B,a,a AB. 求证 :al. 图 7 证明：EBlEAllEBEA, EMBED Equation.3 l平面 EAB. 又 a ,EA , aEA. 又 aAB, a平面 EAB. al. 思路 2例 1 如图 8,已知直线 ab，b ， a.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - -
6、- - - - 求证： a.图 8证明： 在直线a 上取一点A，过 A 作 b b，则 b 必与 相交，设交点为B，过相交直线a、b 作平面 ，设 =a,b b，ab,ab.b ，b b, b .又 a, ba.由 a，b ，a都在平面内，且 ba，b a 知 aa.a.例 2 如图 9，已知 PA矩形 ABCD 所在平面， M、N 分别是 AB、PC 的中点 . （1）求证： MN CD；（2）若 PDA=45 ，求证 :MN 面 PCD. 图 9 证明： (1)取 PD 中点 E,又 N 为 PC 中点 ,连接 NE,则 NECD,NE=21CD. 又 AM CD,AM=21CD, AMN
7、E. 四边形 AMNE 为平行四边形 . MN AE. ADPAEADPCDADCDPACDABCDCDABCDPA平面平面平面平面 EMBED Equation.3 CDAE. (2)当PDA=45时,RtPAD 为等腰直角三角形, 则 AEPD.又 MNAE, MN PD,PD CD=D.MN 平面 PCD. 变式训练已知 a、b、c 是平面 内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面 相交，并且和a、b、c 三条直线成等角.求证： l.证明： 分别在a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO=BO=CO. 设 l 经过 O，在 l 上取一点P，在POA、POB、POC 中，PO=PO=
8、PO，AO=BO=CO ， POA=POB=POC， POA POB POC. PA=PB=PC.取 AB 的中点 D, 连接 OD、PD，则 ODAB，PDAB. PD OD=D, AB平面 POD. PO平面 POD,POAB. 同理 ,可证 POBC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - AB ，BC ，ABBC=B, PO ，即 l.若 l 不经过点O 时，可经过点O 作 l l.用上述方法证明l ，l.知能
9、训练如图 10，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 a, （1）求证： BD1平面 B1AC; （2）求 B 到平面 B1AC 的距离 . 图 10 （1）证明： ABB1C，BC1B1C,B1C面 ABC1D1. 又 BD1面 ABC1D1,B1CBD1. B1BAC ，BD AC, AC 面 BB1D1D.又 BD1面 BB1D1D,AC BD1. BD1平面 B1AC. （2）解:OBD,连接 OB1交 BD1于 E. 又 OAC， OB1面 B1AC. BEOE，且 BE 即为所求距离 . 1BDBDOBBE,BE=1BDBD OB=aaaa332232. 拓展提升已知在梯形
10、ABCD 中， ABCD，CD 在平面 内， AB CD=4 6，AB 到 的距离为 10 cm，求梯形对角线的交点O 到 的距离 . 图 11解： 如图所示，过B 作 BE交 于点 E，连接 DE, 过 O 作 OFDE 交 DE 于点 F, AB CD，AB ，CD ，AB .又 BE,BE 即为 AB 到 的距离， BE=10 cm 且 BED=90 . OFDE,OFBE,得BDODBEOF. AB CD,AOB COD. 46ABCDOBOD，得53106BDOD. 又BDODBEOF，BE=10 cm, OF=53 10=6（cm）. OFBE， BE.OF ，即 OF 即为所求距
11、离为6 cm. 课堂小结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 知识总结： 利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组 1、2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
