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1、4.6 4.6 基本立体的投影基本立体的投影重点掌握：重点掌握：一、基本体的三视图画法及面上找点的方法一、基本体的三视图画法及面上找点的方法 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 球体表面找点，用辅助圆法。球体表面找点，用辅助圆法。二、简单叠加体的画图和看图方法二、简单叠加体的画图和看图方法 画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的画图时一定逐个形体画，同时注意分析表面的 过渡关系，以避免多线或漏线。过渡关系
2、，以避免多线或漏线。 看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线看图时切忌只抓住一个视图不放。利用封闭线 框分解形体和分析表面的相对位置关系。框分解形体和分析表面的相对位置关系。1 常见的基本立体常见的基本立体平面立体平面立体曲面立体曲面立体立体的投影立体的投影2平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。棱柱棱柱棱锥棱锥平面立体平面立体：由若干平面所围成的几何体，如棱：由若干平面所围成的几何体，如棱柱、棱锥等柱、棱锥等。34.6.4.6
3、.1 1 平面立体的投影平面立体的投影平面立体的平面立体的投影投影是平面立体各是平面立体各表面投影表面投影的的集合集合-由直线段组成的封闭图形由直线段组成的封闭图形4点的可见性规定：点的可见性规定： 若点所在的平面的投影若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。的投影也可见。1 1 棱柱的投影棱柱的投影 棱柱的三视图棱柱的三视图 棱柱面上取点棱柱面上取点 a a a (b ) b 棱柱的组成棱柱的组成 b 由由两个底面两个底面和和几个侧棱面几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱
4、线，叫侧棱线，侧棱线相互平行侧棱线相互平行。5 在图示位置时，六棱柱的两在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。边形的边重合。 由于棱柱的表面都是平由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相点与在平面上取点的方法相同。同。 a a a (b ) b b 6例已知斜三棱柱，试完成其、例已知斜三棱柱，试完成其、投影。投影。 7例已
5、知四棱柱，试完成其、投影例已知四棱柱，试完成其、投影 8平面立体投影的可见性判别平面立体投影的可见性判别规律规律： 1) 1)在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是可见的。都是可见的。 2) 2)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直线的可见性，相交时可利用交叉两直线的的直线的可见性，相交时可利用交叉两直线的重影点来判别。重影点来判别。 3) 3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱若多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可见，否则均不
6、可见。线均可见，否则均不可见。4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为不可见。面的交线为不可见。 9( ) s s 棱锥的三视图棱锥的三视图 在棱锥面上取点在棱锥面上取点 k k k b a c abc a (c )b s n n 棱锥的组成棱锥的组成 n 由由一个底面一个底面和和几个几个侧棱面侧棱面组成。侧棱线交组成。侧棱线交于有限远的一点于有限远的一点锥锥顶顶。同样采用平面上取点法。同样采用平面上取点法。 棱锥处于图示位置时，其底面棱锥处于图示位置时，其底面AB
7、C是水平面，是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。个侧棱面为一般位置平面。2 棱锥的投影棱锥的投影10例已知斜三棱锥，试完成其、投影例已知斜三棱锥，试完成其、投影 11例已知正三棱锥，试完成其、投影例已知正三棱锥，试完成其、投影 12例试求三棱锥所属点例试求三棱锥所属点（已知）的水平投影已知）的水平投影 3 立体表面上的点、线立体表面上的点、线 134 4 平面与立体相交平面与立体相交14 1）截交线是截平面与立体表面的）截交线是截平面与立体表面的共有线共有线。 2）截交线的形状取决于立体表面的形状及）截交线的形
8、状取决于立体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。 3） 截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。截交线的基本性质：截交线的基本性质：15平面截切体的画图平面截切体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点线面交点法。线面交点法。求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线面面交线法。面面交线法。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面
9、分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。的交线，并连接成多边形。16例斜三棱柱与平面相交，求例斜三棱柱与平面相交，求出截交线的投影出截交线的投影 应用辅助平面应用辅助平面的方法来解决，的方法来解决，通过棱线通过棱线aa1,bb1,cc1各各作一个正垂面，作一个正垂面，分别得到与分别得到与mnl的交线。的交线。17例试完成五棱柱被两平面、截切例试完成五棱柱被两平面、截切后的投影后的投影 1819例求正垂面例求正垂面与三棱锥的截交线，并求与三棱锥的截交线，并求出截交线的实形出截交线的实形 20例试完成正四棱锥被两平面截切后的投影例试完成正四棱锥被两平面截切后的投影 214.6.2 回转体的投影
10、回转体的投影一、常见的回转体一、常见的回转体回转体回转体一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称 为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。22二、圆柱体的投影二、圆柱体的投影母线回转轴水平投影为一圆，反水平投影为一圆，反映顶、底圆的实形，映顶、底圆的实形，圆柱面上所有素线都圆柱面上所有素线都积聚在该圆周上。积聚在该圆周上。ABDC23nm(n)圆柱体表面上的点：mn 已知：正面投影上的已知：正面投影上的n、m的投影，求其它两面的投影。的投影，求其它两面的投影。 分析：分析：m为可见，在前半为可见，在前半圆柱面上，圆柱面上，n 为不可见，在后为不可见，在
11、后半圆柱面上。其水平投影积聚半圆柱面上。其水平投影积聚在圆周上，先求出在圆周上，先求出m、n，再求，再求m、n。(m)24 例：已知圆柱体表面上M、N两点的正面 投影m、 (n) ，求其它两面投影。因为因为m为可见，在前半圆柱面为可见，在前半圆柱面上；上；n为不可见，在后半圆柱面为不可见，在后半圆柱面上。两点的侧面投影积聚在圆周上。两点的侧面投影积聚在圆周上。上。作图：过作图：过m作水平线交右半圆周作水平线交右半圆周于于m，过（，过（n）作水平线交左）作水平线交左半圆周于半圆周于n，再由，再由m和和m，（n）和）和n求出（求出（m）、）、nm(n)m（m）nn25三、圆锥体的投影三、圆锥体的投
12、影 圆锥体是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面是一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。回转轴母线26圆锥体表面上的点例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k，求另两个投影。解解1、辅助素线法：、辅助素线法：过锥顶过锥顶S和已知点和已知点K作直线作直线S1，连，连sk与底边交于与底边交于1，然后求出该素，然后求出该素线的线的H面和面和W面投面投影影s1和和s 1 ，最，最后由后由k求出求出k和和k。sssk111kk27ssskkk12 解解2、辅助圆法：过、辅助圆法：过已知点已知点K作纬圆，该作纬圆，该圆垂直于轴线，过圆垂直于轴线，过k 作纬圆的正面投作纬圆的正面投12，然后作出水平投影，然后作
13、出水平投影k在此圆周上，由在此圆周上，由k 求出求出k，最后求出，最后求出k。28四、球体的投影四、球体的投影球是圆母线绕其直径回转轴旋转而成的。球的三面投影均为圆，且与球的直径相等。29 例：已知A、B两点在球面上，并知a和b的投影，求A、B其余两点的其它投影。解：利用辅助纬圆作图。作图：过作图：过a作直线作直线OX得水得水平投影平投影12，正面投影为直径，正面投影为直径为为12的圆，的圆，a必在此圆周上。必在此圆周上。因因a可见，位于上半球，求得可见，位于上半球，求得a，由，由a、a 求出求出a，因，因a 在在右半球，所以右半球，所以a不可见。不可见。a(a)因为因为b处于正面投影外形线上
14、，处于正面投影外形线上，可由可由b直接求得直接求得b、b。(b)ba b1230小小 结结 基本体的三视图画法及面上找点的方法基本体的三视图画法及面上找点的方法1、平面体表面找点，利用平面上找点的方法。3、 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。2、 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 4、 圆球体表面找点，用辅助纬圆法。314.7 4.7 平面与平面与回转体相交回转体相交回转体截切的基本形式回转体截切的基本形式4.7.1 4.7.1 截交线的性质：截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的截交线是截平面与回转体表面的共有线共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转
15、体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置截平面与回转体轴线的相对位置。 截交线都是截交线都是封闭的平面图形封闭的平面图形。321 1 利用积聚性求截交线利用积聚性求截交线 33例试求平面例试求平面与圆柱的截交线与圆柱的截交线 34截平面与圆柱轴线的倾角为截平面与圆柱轴线的倾角为，其交线的，其交线的W投投影为影为椭圆椭圆，椭圆的，椭圆的长、短轴长、短轴随随的变化而变化的变化而变化 35例圆柱上部有一切口，若已知其投例圆柱上部有一切口，若已知其投影，试求、投影影，试求、投影 362 用辅助平面法求截交线用辅助平面法求截交线 辅助平面法求截交线的实质是求辅助平面法求截交线的实质是求三面共点三面共
16、点 选择辅助平面的选择辅助平面的原则原则 根据回转体的形状和相对于投影面的位置，根据回转体的形状和相对于投影面的位置，选取合适的辅助面，使其与回转体表面交线的选取合适的辅助面，使其与回转体表面交线的投影为简单易画的直线或圆，使作图简便、准投影为简单易画的直线或圆，使作图简便、准确确 37平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线 38平面与圆球相交，其截交线总是一个平面与圆球相交，其截交线总是一个圆圆。由于由于截平面相对于投影面的位置截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投不同，截交线的投影可能是影可能是圆圆、椭圆椭圆或或直线直线。 39例求平面例求平面与
17、圆锥的截交线与圆锥的截交线 40例求截平面例求截平面和圆锥的截交线和圆锥的截交线 41例求平面例求平面与圆球的截交线与圆球的截交线 42例求半圆球切槽后的、投影例求半圆球切槽后的、投影 434.7.2 立体表面相贯线的投影立体表面相贯线的投影 44一、本节的基本内容一、本节的基本内容 立体表面相贯线的概念立体表面相贯线的概念 求相贯线的基本方法求相贯线的基本方法相贯线的性质：相贯线的性质：表面性表面性 共有性共有性 封闭性封闭性二、解题过程二、解题过程 交线分析交线分析 空间分析：空间分析： 投影分析：投影分析： 是否有积聚性投影？是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，找出相贯线的已知投影，
18、预见未知投影，预见未知投影，从而从而选择解题方法。选择解题方法。面上找点法面上找点法 辅助平面法辅助平面法 分析相交两立体的表面形状，分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相形体大小及相对位置，对位置，预见交线的形状预见交线的形状。45特殊点包括：最上点、最下点、最左点、特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。轮廓线上的点等。 作图：作图： 找点找点连线连线检查、加深检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 先
19、找特殊点先找特殊点 补充若干中间点补充若干中间点46三、平面体与圆柱体相贯三、平面体与圆柱体相贯1、 求相贯线的方法求相贯线的方法：2、 相贯线的形状及投影相贯线的形状及投影： 求平面体的求平面体的棱面与棱面与圆柱面的截交线圆柱面的截交线，依次依次连接起来。连接起来。 相贯线为相贯线为封闭的空间折线。封闭的空间折线。相贯线在非相贯线在非积聚性投影上总是积聚性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折，向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体而且在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。的投影。47四、两圆柱体相贯四、两圆柱体相贯 相贯线的产生相贯线的产生：2 2）外表面外表面与与内
20、表面内表面相交相交1 1）两外表面两外表面相交相交3 3）两内表面两内表面相交相交48 求相贯线的方法：求相贯线的方法： 相贯线的形状及投影：相贯线的形状及投影： 常用的方法是常用的方法是利用积聚性表面取点利用积聚性表面取点，也可用也可用辅助平面法辅助平面法。 相贯线为相贯线为光滑封闭的空间曲线光滑封闭的空间曲线。当两圆柱。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是投影上总是向大圆柱里弯曲向大圆柱里弯曲，当，当两圆柱直径相两圆柱直径相等等时，相贯线在空间为两个椭圆，其时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为投影变为直线直线。 在两体在两体相
21、交区域内不应有圆柱体轮廓线的相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影投影。49五、多体相贯五、多体相贯 每个局部都是两体相贯每个局部都是两体相贯，首先分析它是由，首先分析它是由哪些基本体组成的，然后哪些基本体组成的，然后两两进行相贯线的分两两进行相贯线的分析与作图析与作图。504.7.2 利用积聚性求相贯线 例试求两圆柱的相贯线例试求两圆柱的相贯线 相贯线为相贯线为光滑封闭光滑封闭的空间曲线的空间曲线。当两圆柱。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性时，相贯线在非积聚性投影上总是投影上总是向大圆柱里向大圆柱里弯曲弯曲，当，当两圆柱直径相两圆柱直径相等等时，相贯线在空间为
22、时，相贯线在空间为两个椭圆，其两个椭圆，其投影变为投影变为直线直线。 在两体在两体相交区域内相交区域内不应有圆柱体轮廓线的不应有圆柱体轮廓线的投影投影。5152例例2试求两圆柱的相贯线试求两圆柱的相贯线 53例求圆柱与圆锥的相贯线例求圆柱与圆锥的相贯线 2 用辅助平面法求相贯线54例例2求斜圆柱与水平圆柱的相贯线求斜圆柱与水平圆柱的相贯线 55例例3试求圆柱与球的相贯线试求圆柱与球的相贯线 56 相贯线的特殊情况 1蒙日定理蒙日定理 572具有公共轴线的回转体相交，或当回转具有公共轴线的回转体相交，或当回转体轴线通过球心时，其相贯线为圆体轴线通过球心时，其相贯线为圆 583两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的圆两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的圆锥相交，其相贯线为直线锥相交，其相贯线为直线 59 利用辅助球面法求相贯线 例求圆柱和圆锥的相贯线例求圆柱和圆锥的相贯线 60辅助球面法可以只在一个投影上作图就能求出辅助球面法可以只在一个投影上作图就能求出相贯线的这一投影相贯线的这一投影 615 相贯线的变化趋势 6263
