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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思集合与函数知识点公式定理记忆口诀内容子交并补集， 还有幂指对函数。 性质奇偶与增减， 观察图象最明显。复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1 的正数， 1 两边增减变故。函数定义域好求，分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，YX 是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶
2、子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.2.1 函数的概念知识要点：1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=( )f x，xA其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合( ) |f xxA叫值域. 2. 设a、b是两个实数，且ab， 则： x|ax
3、b a,b 叫闭区间； x|axb(a,b) 叫开区间； x|axb , )a b， x|a1，f(32)=(32)3+(32)-3=2+12=52， 即ff(0)=52. 【例 3】画出下列函数的图象：（1）|2|yx； （教材P26练习题 3）（2）|1| 24|yxx. 解：（1） 由绝对值的概念，有2,2|2|2,2xxyxxx. 所以，函数|2|yx的图象如右图所示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）33,1|1| 24|5,2133,2xxyxxxxxx，所
4、以，函数|1|24 |yxx的图象如右图所示 . 点评：含有绝对值的函数式， 可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】 函数( ) f xx的函数值表示不超过x的最大整数，例如 3.54，2.12，当( 2.5,3x时，写出( )f x的解析式，并作出函数的图象. 解：3,2.522,211,10( )0, 011, 122, 233,3xxxf xxxxx. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分 段 函数的对应函数式 . 1.3.1 函数的单调性知识要点：1. 增函数：设函数y=f(x) 的
5、定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（ increasing function）. 仿照增函数的定义可定义减函数. 2. 如果函数f(x) 在某个区间D上是增函数或减函数， 就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的 （如右图 1） ，减函数的图象从左向右是下降的（如右图 2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤： 设x1、x2给定区间，且
6、x1x2；计算f(x1)f(x2) 判断符号下结论 . 例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数2( )1xf xx在区间（0，1）上的单调性 . 解：任取12,x x(0,1) ，且12xx. 则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx. 由于1201xx，110x，210x，210xx，故12()()0f xf x，即12()()f xf x. 所以，函数2( )1xf xx在（0，1）上是减函数 . 【例 2】求下列函数的单调区间：（1）|1| 24|yxx； （2）22|3yxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
7、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解： （1）33,1|1|24 |5,2133,2xxyxxxxxx，其图象如右 . 由图可知，函数在 2,)上是增函数， 在(, 2上是减函数 . （2）22223,02 | 323,0xxxyxxxxx，其图象如右 . 由图可知，函数在(, 1、0,1上是增函数，在 1,0、1,)上是减函数 . 点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数 . 第 2 小题也可以由偶函数的对称性， 先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到(|)fx的图象. 由图
8、象研究单调性，关键在于正确作出函数图象. 【例 3】已知31( )2xf xx，指出( )f x的单调区间 . 解：3(2)55( )322xf xxx， 把5( )g xx的图象沿x轴方向向左平移 2 个单位，再沿y轴向上平移 3 个单位，得到( )f x的图象，如图所示 . 由图象得( )f x在(, 2)单调递增，在( 2,)上单调递增 . 点评 ：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f xab平移变换规律 . 1.3.1 函数最大（小）值知识要点：1. 定义最大值：设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有( )f xM；存在
9、x0I，使得0()f x = M. 那么，称M是函数( )yf x的最大值（ Maximum Value）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value）的定义. 2. 配方法：研究二次函数2(0)yaxbxca的最大（小）值，先配方成224()24bacbya xaa后，当0a时，函数取最小值为244acba；当0a时，函数取最大值244acba. 3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法：先作出其函数图象后， 然后观察图象得到函数的最大值或最小值. 例题精讲：【例 1】求函数26
10、1yxx的最大值 . 解：配方为2613()24yx，由2133()244x，得260813()24x. 所以函数的最大值为8. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【例 3】求函数21yxx的最小值 . 解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当1x时，min2112y，函数的最小值为2. 点评：形如yaxbcxd的函数最大值或最小值， 可以用单调性法研究， 也可以用换元法研究 . 【另解】令1xt，则0t，21xt，所以22115222()48yttt，在0t时
11、是增函数，当0t时，min2y，故函数的最小值为2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25 332,2 2yxxx；（2）|1|2 |yxx. 解： （1）二次函数232yxx的对称轴为2bxa，即1x. 画出函数的图象， 由图可知，当1x时，max4y；当32x时，min94y. 所以函数25 332,2 2yxxx的最大值为 4, 最小值为94. （2）3 (2)|1|2 |21 ( 12)3 (1)xyxxxxx. 作出函数的图象，由图可知， 3,3y. 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析 . 含绝对值的函数， 常分零点讨论去绝对值， 转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
