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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思集合与函数知识点公式定理记忆口诀内容子交并补集, 还有幂指对函数。 性质奇偶与增减, 观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1 的正数, 1 两边增减变故。函数定义域好求,分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,YX 是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶
2、子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1.2.1 函数的概念知识要点:1. 设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=( )f x,xA其中,x叫自变量,x的取值范围A叫作定义域,与x的值对应的y值叫函数值,函数值的集合( ) |f xxA叫值域. 2. 设a、b是两个实数,且ab, 则: x|ax
3、b a,b 叫闭区间; x|axb(a,b) 叫开区间; x|axb , )a b, x|a1,f(32)=(32)3+(32)-3=2+12=52, 即ff(0)=52. 【例 3】画出下列函数的图象:(1)|2|yx; (教材P26练习题 3)(2)|1| 24|yxx. 解:(1) 由绝对值的概念,有2,2|2|2,2xxyxxx. 所以,函数|2|yx的图象如右图所示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2)33,1|1| 24|5,2133,2xxyxxxxxx,所
4、以,函数|1|24 |yxx的图象如右图所示 . 点评:含有绝对值的函数式, 可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数,然后根据定义域的分段情况,选择相应的解析式作出函数图象. 【例 4】 函数( ) f xx的函数值表示不超过x的最大整数,例如 3.54,2.12,当( 2.5,3x时,写出( )f x的解析式,并作出函数的图象. 解:3,2.522,211,10( )0, 011, 122, 233,3xxxf xxxxx. 函数图象如右:点评:解题关键是理解符号m的概念,抓住分 段 函数的对应函数式 . 1.3.1 函数的单调性知识要点:1. 增函数:设函数y=f(x) 的
5、定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数( increasing function). 仿照增函数的定义可定义减函数. 2. 如果函数f(x) 在某个区间D上是增函数或减函数, 就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫f(x)的单调区间 . 在单调区间上,增函数的图象是从左向右是上升的 (如右图 1) ,减函数的图象从左向右是下降的(如右图 2). 由此,可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势,得到函数的单调区间及单调性. 3. 判断单调性的步骤: 设x1、x2给定区间,且
6、x1x2;计算f(x1)f(x2) 判断符号下结论 . 例题精讲:【例 1】试用函数单调性的定义判断函数2( )1xf xx在区间(0,1)上的单调性 . 解:任取12,x x(0,1) ,且12xx. 则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx. 由于1201xx,110x,210x,210xx,故12()()0f xf x,即12()()f xf x. 所以,函数2( )1xf xx在(0,1)上是减函数 . 【例 2】求下列函数的单调区间:(1)|1| 24|yxx; (2)22|3yxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
7、归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解: (1)33,1|1|24 |5,2133,2xxyxxxxxx,其图象如右 . 由图可知,函数在 2,)上是增函数, 在(, 2上是减函数 . (2)22223,02 | 323,0xxxyxxxxx,其图象如右 . 由图可知,函数在(, 1、0,1上是增函数,在 1,0、1,)上是减函数 . 点评:函数式中含有绝对值,可以采用分零点讨论去绝对值的方法,将函数式化为分段函数 . 第 2 小题也可以由偶函数的对称性, 先作y轴右侧的图象,并把y轴右侧的图象对折到左侧,得到(|)fx的图象. 由图
8、象研究单调性,关键在于正确作出函数图象. 【例 3】已知31( )2xf xx,指出( )f x的单调区间 . 解:3(2)55( )322xf xxx, 把5( )g xx的图象沿x轴方向向左平移 2 个单位,再沿y轴向上平移 3 个单位,得到( )f x的图象,如图所示 . 由图象得( )f x在(, 2)单调递增,在( 2,)上单调递增 . 点评 :变形后结合平移知识,由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f xab平移变换规律 . 1.3.1 函数最大(小)值知识要点:1. 定义最大值:设函数( )yf x的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的xI,都有( )f xM;存在
9、x0I,使得0()f x = M. 那么,称M是函数( )yf x的最大值( Maximum Value). 仿照最大值定义,可以给出最小值(Minimum Value)的定义. 2. 配方法:研究二次函数2(0)yaxbxca的最大(小)值,先配方成224()24bacbya xaa后,当0a时,函数取最小值为244acba;当0a时,函数取最大值244acba. 3. 单调法:一些函数的单调性,比较容易观察出来,或者可以先证明出函数的单调性,再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值. 4. 图象法:先作出其函数图象后, 然后观察图象得到函数的最大值或最小值. 例题精讲:【例 1】求函数26
10、1yxx的最大值 . 解:配方为2613()24yx,由2133()244x,得260813()24x. 所以函数的最大值为8. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【例 3】求函数21yxx的最小值 . 解:此函数的定义域为1,,且函数在定义域上是增函数,所以当1x时,min2112y,函数的最小值为2. 点评:形如yaxbcxd的函数最大值或最小值, 可以用单调性法研究, 也可以用换元法研究 . 【另解】令1xt,则0t,21xt,所以22115222()48yttt,在0t时
11、是增函数,当0t时,min2y,故函数的最小值为2. 【例 4】求下列函数的最大值和最小值:(1)25 332,2 2yxxx;(2)|1|2 |yxx. 解: (1)二次函数232yxx的对称轴为2bxa,即1x. 画出函数的图象, 由图可知,当1x时,max4y;当32x时,min94y. 所以函数25 332,2 2yxxx的最大值为 4, 最小值为94. (2)3 (2)|1|2 |21 ( 12)3 (1)xyxxxxx. 作出函数的图象,由图可知, 3,3y. 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3. 点评:二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析 . 含绝对值的函数, 常分零点讨论去绝对值, 转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页