2022年量子力学考试知识点

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1、1 量子力学考试知识点第一章：绪论经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1. 识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。2. 领会：微观粒子的波粒二象性、德布罗意波。第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1. 识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2. 领会：微观粒子状态的描述、 Born 几率解释、几率波、态叠精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

2、总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页2 加原理（二）、含时薛定谔方程1. 领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2. 简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程 1. 领会：定态、定态性质2. 简明应用：定态薛定谔方程第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1. 领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2. 简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质精选学

3、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页3 （二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1. 识记：算符、力学量算符、对易关系2. 领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1. 识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2. 领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值

4、及测量几率、几率振幅。（三）、连续谱本征函数“归一化”1. 领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1. 识记：好量子数、能量时间测不准关系2. 简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页4 一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1. 领会：幺正变换及其性质2. 简明应

5、用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1. 简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2. 综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点 : （一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 37 页5 （一）、定态微扰论1. 识记：微扰2. 领会：微扰论的思想3. 简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.

6、综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。（二）、变分法1. 领会：变分原理2. 简明应用：用 Ritz 变分法求体系基态能级及近似波函数（三）、量子跃迁1. 识记：跃迁、跃迁几率、自发辐射、受激辐射、费米黄金规则2. 领会：跃迁理论与不含时微扰的关系3. 简明应用：简单微扰体系跃迁几率的计算、常微扰、周期微扰第七章自旋与全同粒子一、考核知识点：（一）、电子自旋（二）、总角动量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 37 页6 （三）、碱金属的双线结构（四）、自旋单态和三重态（五）、全同粒子交换

7、不变性二、考核要求：（一）、电子自旋1. 识记：自旋存在的实验事实、二分量波函数2. 领会：电子自旋的内禀磁矩、对易关系、泡利表象、矩阵表示（泡利矩阵）、自旋态的表示3. 简明应用：考虑自旋后，状态和力学量的描述、考虑自旋后，电子在中心势场中的薛定谔方程（二）、总角动量1. 识记：自旋轨道耦合2. 领会：总角动量、力学量完全集22(,)zH ljj的共同本征值问题（三）、碱金属的双线结构 1.领会：碱金属原子光谱的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因（四）、自旋单态和三重态 1.领会：自旋单态和三重态精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

8、- -第 6 页，共 37 页7 2. 简明应用：在)S,S(z2z1和)S?,S?(z2表象中两自旋为21的粒子的自旋波函数（五）、全同粒子交换不变性1. 领会：全同粒子体系与波函数的交换对称性、费米子和玻色子体系的描述、泡利不相容原理2. 简明应用：两全同粒子体系、全同粒子体系波函数的结构1、波函数与薛定谔方程理解波函数的统计解释，态迭加原理，薛定鄂方程，粒子流密度和粒子数守恒定律定态薛定谔方程。掌握一维无限深势阱，线性谐振子。2、力学量的算符表示理解算符与力学量的关系。掌握动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符的对易关系，两力学量同时有确定值的条件测不准关系，力学量平均值

9、随时间的变化守恒定律。氢原子3、态和力学量的表象理解态的表象，掌握算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述么正变换，了解狄喇克符号，线性谐振子与占有数表象。4、定态近似方法掌握非简并定态微扰理论，简并情况下的微扰理论，理解薛定鄂方程的变分原理及变分法。5、含时微扰论掌握与时间有关的微扰理论，跃迁几率，光的发散和吸收及精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页8 选择定则。6、自旋与角动量理解电子自旋，掌握电子的自旋算符和自旋函数。7、全同粒子体系理解两个角动量的耦合，光谱的精细结构和全同粒子的特性。掌握全同粒子体系的波函数，

10、泡利原理，两个电子的自旋函数。了解氦原子（微扰法）。周世勋，量子力学教程，高等教育出版社， 1979 年第 1 版曾谨言，量子力学教程，科学出版社， 2003年版参考书目：量子力学导论，北京大学出版社，曾谨言我认为考试前要清楚报考单位对量子力学这门课的基本要求以及主要考查内容是什么，应当按照其要求出发，有目的性、针对性的进行的复习。中科院量子力学考试的重点是要求熟练把握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。把握量子力学中一些非凡的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的

11、表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。再者，中科院对量子力学这门课考查主要包括以下9大内容：波函数和薛定谔方程一维势场中的粒子力学量用算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页9 符表示中心力场量子力学的自旋定态问题的近似方法量子跃迁多体问题，复习过程中应当主要对这些内容下功夫。第一阶段：首先按照中科院硕士研究生入学考试量子力学考试大纲中的要求将参考书目看了一遍。中科院量子力学考试大纲中指定的参考书目是量子力学教程，这本书是

12、由曾谨言编著的。此阶段看书以理解为主，不必纠缠于细节，将不懂的知识点做上记号。第二阶段：我对大纲中要求了解的内容，熟练把握的内容以及理解的内容进行了分类，并且按相关要求对将这门课进行了第二轮复习。另外我认为在这一遍复习中一定要把历年试题弄到手并且仔细分析，因为真题体现了命题单位的出题特点以及出题趋势等。另外，我认为真题要比大纲更有用，因为从大纲中看不出的有价值的东西可以从真题中得到。当然，需要注重的是，单纯把握真题也是不理智的做法，假如一个考生仅仅把握了历年真题的内容，那么考试后他会得出这样一个结论：今年的题真偏。其实，不是题偏，而是他没有把参考书上的东西完全把握好。所以在这个阶段中我仍然

13、以看指定的参考书为主，着重解决了在第一遍复习中留下的疑问和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页10 在做真题中自己不会的题目。对了，此轮复习一定要做一份笔记，将主要内容归纳出一份比较简洁的提纲，以便于下轮复习。第三阶段：将专业课过第三遍，这一轮注重结合上一轮的笔记和提纲有重点的，系统的理解和记忆，由于专业课要求答的深入，所以可以找一些专业方面的期刊杂志来看下，扩大下自己的视野范围。这一阶段大家也可以找些习题集来做下，不断巩固自己把握了的知识点。第四阶段：这一轮要将参考书快速翻几遍，以便对整个知识体系有全面的把握并且

14、牢记于心，同时要进行查缺补漏，不要放过一个疑点，要注重的是此时不能执着于细小的知识点，要懂得抓大放小，把握最重要的知识点。另外可以根据对历年试题的分析以及对本年度的专业考试做出一些猜测，并对考试的时间安排及如何进行考中心理调节做下演练。（中科大 2003）一、试证明：（1）投影算符|nnP是厄密算符；它在任意态|中的平均值是正定的，即0| P。（2）设|是归一化波函数，对于线性厄密算符A以下等式成精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页11 立tAiHAdtAdi,。证明：（1）因为PnnnnP|)(|所以P是厄

16、nn |得1nnCnC依次递推得0!CnCnn由归一化条件nnnnnCC1!|2202因为2!2ennnieeC2210为实数，可取为0所以021|!|2nnnne三、给定),(方向的单位矢量)cos,sinsin,cos(sinn，在z表象中求nn的本征值和归一化本征矢。解：因为cossinsincossinzyxn所以cossinsincosiineenn的本征值为1由本征方程cossinsincosiieebaba求得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页13 对于1ie2sin2cos1或2/2/12sin2

17、cosiiee对于1ie2cos2sin1或2/2/12cos2siniiee四、设一定域电子（作为近似模型，不考虑轨道运动），处于沿x方向的均匀磁场B中，哈密顿量为xLxcBeH2ceBL2拉莫尔（ Larmor）频率设0t时，电子自旋“向上”（2/zS）。求0t时（1）电子自旋态)(t；（2）电子自旋S的平均值。解：（1）方法一令)()()(tbtat初始条件01)0()0()0(ba由薛定谔方程babadtdiL得aibbiaLL)(baibaL)(baibaL积分得titiLLeebatbta)0()0()()(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

18、- - - - - -第 13 页，共 37 页14 titiLLeebatbta)0()0()()(由此可得titbttaLLsin)(cos)(tittLLsincos)(方法二体系能量本征态即x的本征态，本征值和本征态分别为11211LxEE11211LxEE电子自旋初态)(2101)0( T时刻电子自旋态为titeetLLtitiLLsincos)(21)(（2）电子自旋各分量的平均值0sincos0110sincos2)()(tittittStSLLLLxxttitiitittStSLLLLLyy2sin2sincos00sincos2)()(精选学习资料 - - - - - - -

19、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 37 页15 ttittittStSLLLLLzz2cos2sincos1001sincos2)()(五、已知系统的哈密顿量为2002002H求能量至二级近似，波函数至一级近似。解：（1）HHH020020020H00000000H可见所设表象为非0H表象，为将0H对角化，先由0H的本征方程求其本征值和本征矢。求得结果为：本征值)0(1E2)0(2E3)0(3E相应本征矢101211|0102|101213|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 37 页1

20、6 （2）利用10102010121S转到0h表象（将0H对角化）SHSh0030002000SHSh202000202在0h表象中nnnhE)1(nmmnnmnEEhE)0()0(2)2(|)1(nnmmmnnmEEh)0()0()0(则2/)1(1E0)1(2E2/)1(3E82)2(1E0)2(2E82)2(3E)0(3)1(140)1(2)0(1)1(34量子力学测试题（ 2）1、一质量为 m的粒子沿 x 正方向以能量 E向 x=0处势垒运动。当0x时，势能为零；当0x时，势能为EV430。问在 x=0处粒子被反射的几率多大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

21、总结 - - - - - - -第 16 页，共 37 页17 解：S-eq 为000022221211xkxk其中221/2mEk4/)(2212022kVEmk由题意知0x区域既有入射波，又有反射波；0x区域仅有透射波故方程的解为xikxikree1110xxikte220x在 x=0处，及都连续，得到tr1tkrk2)1(11由此解得912rR注意透射率2tT因为12kk将xike1，xikre1，xikte2分别代入几率流密度公式*2xxmij得入射粒子流密度mkj10反射粒子流密度21rmkjR透射粒子流密度22tmkjT由此得反射率9120rjjRR透射率982120tkkjjT

22、T1TR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 37 页18 2、计算（1）?,2rL（2）设),(pxF是px,的整函数，则?,Fp解：（1）0,2xxixxixxLxLxxxLrL因为将第二项哑标作更换xxixxixxi所以0,2rL（2）先由归纳法证明nnnxxinxixp1,（）式1n上式显然成立；设kn时上式成立，即1,kkkxixp则kkkkkkxkixikxixpxxxpxp)1(,1显然，1kn时上式也成立，（）式得证。因为0,),(nmnmmnpxCpxF则FxipmxCipxpCpxpCFpnmnmnm

23、nmmnnmmnnmmn,1,3、试在氢原子的能量本征态nlm下，计算1r和2r的平均值。解：处于束缚态nlm下的氢原子的能量22224122naeneEn22ea1lnnr（1）计算1r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页19 方法 1 相应的维里定理为nlmnlmVT21nlmnVE21所以22112aneErn方法 2 选Z为参量相应的 F-H定理nlmneHeE22reH2222nlmran112211anr（2）计算2r等效的一维哈密顿量2222222) 1(2rllredrdH取l为参量相应的 F-H定

24、理nlmlnlHlE注意1lnnr22322)12(rlane322)2/1(1nalr4、有一个二能级体系，哈密顿量为HHH0，0H和微扰算符H的矩阵表示为21000EEH0110H其中表征微扰强度，21EE。用微扰法求H的本征值和本征态。解：由于是对角化的，可见选用表象为0H表象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页20 对于21EE，由非简并微扰论计算公式)0()0()0()0()0()0(2)0(|mmnmnmnnmnnmmnnnnEEHEEHHEE得0)1(1E212)0(2)0(1212)2(1EEEE

25、HE1021)0(2)0(2)0(121)1(1EEEEH0)1(2E122)0(1)0(2212)2(2EEEEHE0112)0(1)0(1)0(212)1(2EEEEH所以，二级近似能量和一级近似态矢为2121EEE，100121EE；1222EEE，011021EE。对于21EE，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为1E，1121；1E，1121。5、自旋投影算符nSn2，为泡利矩阵，n为单位矢量（cos,sinsin,cossin）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页21 （1）对电子自旋

26、向上态)2/(zs，求nS的可能值及相应几率；（2）对n的本征值为 1 的本征态，求y的可能值及相应几率。解：（1）由cossinsincos2iineeSbambaeesiicossinsincos2得ines2sin2cos)(21ines2cos2sin)(21对于电子自旋向上态01)2/(zs，nS取值2的几率分别为2cos012sin2cos22221ie2sin012cos2sin22221ie（2）y的本征值和本征态1，iy121)(；1，iy121)(电子处于n的本征值为 1 的本征态 (即nS的本征值为2的本征态)(21ns)，则y的可能值及相应几率为1精选学习资料 -

27、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 37 页22 )sinsin1(212sin2cos121)()(2221inyei1)sinsin1(212sin2cos121)()(2221inyei6、设质量为m的两个全同粒子作一维运动，它们之间的相互作用能为)0()(21221axxa。（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动态的能量和波函数；（2）若粒子自旋2/1s，写出它们的相对运动基态及第一激发态的能量和波函数。解：体系的哈密顿量为22122222122)(2122xxaxmxmH引入质心坐标X和相对坐标x：)(2121xxX21xxx在

28、坐标变换xXxx,21下，体系的哈密顿量变为22222222122axxXMH2/2mmM相对运动哈密顿量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页23 222222222212212xdxdaxdxdHra（1）若粒子自旋为 0，则相对运动态的能量和波函数为21nEn)()(2221xHeNxnxnn,4 ,2,0n限定, 4,2, 0n是为了保证波函数对交换1x和2x是对称的。（2）若粒子自旋2/1s，则相对运动态的能量和波函数为21nEn,2, 1 ,0n00|)(),(2221xHeNSxnxnz,4,2,0n

29、11|10|11|)(),(2221xHeNSxnxnz, 5,3 , 1n其中)1()2()2()1(2110|)2() 1(11|)1()2()2()1(2100|)2()1(11|体系基态能量和波函数21E00|),(22210xzeNSx体系第一激发态能量和波函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 37 页24 23E11|10|11|)(),(121122xHeNSxxz量子力学测试题（ 4）（复旦 2002）1、已知一维运动的粒子在态)(x中坐标x和动量xp的平均值分别为0x和0p，求在态)()(0/0xxex

30、xip中坐标x和动量xp的平均值。解：已知粒子在态)(x中坐标x和动量xp的平均值分别为0*)()(xdxxxxx0*)()(pdxxxixpx现粒子处在)(x态，坐标x和动量xp的平均值0)()()()()()(000*00*xxxdxxxxdxxxxxxdxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 37 页25 0)()()()()()()()()(00*00/0/00*/0/0*/*00000ppxdxxixpdxxxxiexxepxxedxxxexixxedxxxixpxipxipxipxipxipx2、一体系服

31、从薛定谔方程),(),(21)(2212122122212rrErrrrkm（1）指出体系的所有守恒量（不必证明）；（2）求基态能量和基态波函数。解：（1）体系的哈密顿量为2212222122122rrkmmH引入质心坐标R和相对坐标r：)(2121rrR21rrr在坐标变换rRrr,21下，体系的哈密顿量变为222222122krMHrR2/2mmM容易得知系统的守恒量为zLLE,2。（中心力场）（2）相对运动哈密顿量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 37 页26 2222222212212rkrHrrrk相对

32、运动为三维各向同性谐振子，基态能量和波函数为23NE22212/33)(rer,2, 1 , 0N3、设 t=0 时氢原子处在态322101)0 ,(121211210100r（1）求体系能量的平均值；（2）任意 t 时刻波函数),(tr；（3）任意 t 时刻体系处在1, 1 ml态的几率；（4）任意 t 时刻体系处在0m态的几率。解：氢原子定态能量和波函数为),()(),(222lmnlnlmnYrRraneE（1）aeEEE40115352221（2）任意 t 时刻波函数)(3)(2)()(2101),(121211210/100/21rrreretrtiEtiE精选学习资料 - -

33、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 37 页27 （3）任意 t 时刻体系处在1, 1 ml态的几率为 1/5；（4）任意 t 时刻体系处在0m态的几率为 1/2。4、一维谐振子受到微扰2cxH作用，式中c为常数。在粒子数表象中，)(22/1aamxaa,分别为湮灭算符和产生算符，满足1|1|1|nnnannna（1）用微扰论求准确到二级近似的能量值；（2）求能量的准确值，并与微扰论给出的结果相比较。解：（1）由1,aa得21)(2)(22222aaaacaaccxH利用1|1|1|nnnannna计算微扰矩阵元得)2)(1() 12()1

34、(2|21)( |2|2,2,22nmmnnmmnnnnnncnaaaamcnHmH零级近似能量、一级和二级修正能量分别为21)0(nEncnHEnnn21)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页28 322322)0()0(2)2(221)2)(1()1(8cnnnnncEEHEnmmnmnn精确到二级近似的能量值为42222121ccnEn（2）现求能量精确值22022222212212xpcxxpH2/1220212cc本征能量2/12/120121212121ncnnEn22,2, 1 ,0cn视为微小量

35、，则)2()1()0(282121nnnnEEEnE其中21)0(nEncnEn21)1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 37 页29 322)2(221cnEn能量精确解的前三项与分别与零级近似能量、一级和二级修正能量相同。5、设aa,分别为湮灭算符和产生算符，满足对易关系1,aa。体系的哈密顿量为DaCaaBaAaaH（1）问DCBA,满足什么条件H才是厄密算符？（ 2）求体系的能量。解：（1）容易得知H是厄密算符的条件是DCBA,均为实数，且BA，则DaCaaaAH)(22（1）（2）由（ 1）式得)(1)(2

36、2DHAaaaaAC（2）令aabaab其中,为待定实数,22aaaaaaaabb已知1,aa则得22,bb为使bb,与aa,满足相同的对易关系1,bb则122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页30 计算bb)(aaaaaaaaaa2222)()(利用1,aaaaaa1得bb22222)()(aaaa所以)(1)(22222bbaaaa（3）比较（ 2）式和（ 3）式，如令AC22则得)(1DHA)(12bb由此可得HDbbA)(2（4）如果已知,，则H的本征值为nEDnA)(2,2,1 ,0n现在来求,由于12

37、2AC22解之得2222424ACACC2222424ACACC224ACA所以nEACDACACCnAC24244222222,2, 1 ,0n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 37 页31 武汉大学2002 年度研究生入学考试量子力学试题选解一名词解释（ 4 分 5 题） 1 德布罗意假设：微观粒子也具有波粒二象性，粒子的能量E 和动量 P 与波的频率和波长之间的关系，正像光子和光波的关系一样，为：khph/ 2.波函数：描述微观体系的状态的一个函数称之为波函数，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足

38、连续性、有限性和单值性三个条件。3基本量子条件：0?,?xx0?,?ppip ?,x ?4. 电子自旋：电子的内禀特性之一：在非相对论量子力学中。电子自旋是作为假定由Uhlenbeck 和 Goudsmit 提出的：每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2sz；每个电子具有自旋磁矩Ms ，它和自旋角动量的关系式：2eMSeMszs。在相对论量子力学中，自旋象粒子的其他性质样包含在波动方程中，不需另作假定。5. 全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。二计算题（ 20 分4 题）1. 粒子以能量E由左向右对阶梯势0,00,)(0xx

39、UxU入射，求透射系数。讨论如下三种情况：（1） U0E0 ；（3） E0,但由右向左入射。解： U0E0 写出分区薛定谔方程为：0,20,2222221102122xEdxdxEUdxd令：201)(2UEk，222 Ek可将上述方程简化为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 37 页32 0,00,0222222121212xkdxdxkdxd一般解可写为：0,0,221121xeBBexeAAexkxkxikxik由)(2有限，得 B 0 由波函数连接条件，有：BkAAikBAA212221)()0()0()0()

40、0(解得：AkikkiBAkikkikA21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数0)(2,|,|2*2*222121iJeAkJeAkJDxRx1)(|22121kikkikAAJJRR0|JJDD满足 R+D1 可见，总能量小于势垒高度的粒子必全部被反射，但在x0 写出分区薛定谔方程为：0,20,2222221102122xEdxdxEUdxd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 37 页33 令：201)(2UEk，222 Ek可将上述方程简化为：0,00,02222221

41、21212xkdxdxkdxd一般解可写为：0,0,221121xeBBexeAAexikxikxikxik考虑到没有从右向左的入射波，B 0 由波函数连接条件，有：BkAAkBAA212221)()0()0()0()0(解得：AkkkBAkkkkA21121212据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数xDxRxeBkJeAkJeAkJ222121|,|,|402020022121)()()(|EUEUEUEEUEkkkkAAJJRR20022111212)()(4)2(|EUEUEEkkkkkAkBkJJDD满足 R+D1 可见，尽管E0，但仍有粒子被反射。

42、 E0, 粒子从右向左入射仿，有0,0,221121xeBBexeAAexikxikxikxik但 B为入射波系数，B 为反射波系数，A为透射波系数，A 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 37 页34 由波函数的标准条件，有)()0()0()0()0(212221BBkAkBBA解得：BkkkkBBkkkA21212122据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数和透射系数xDxRxeAkJeBkJeBkJ212222|,|,|402020022121)()()(|EUEUEUEEUEkkkkB

43、BJJRR20022122121)()(4)2(|EUEUEEkkkkkBkAkJJDD满足 R+D1 可见，仍有粒子被反射。2. 一维谐振子在t 0 时处于归一化波函数)()(51)(21)0 ,(420xCxxx所描述的态中，式中)(),(),(420xxx均为一维谐振子的归一化定态波函数，求：（ 1）待定系数C ；（ 2）t 0 时，体系能量的可能取值及相应的几率；（ 3）t0 时，体系的状态波函数),(tx。（ 4）t 0 与 t0 时体系的)(, )0(txx。解：用 Dirac 算符4|2|510|21)0 ,(|Cx 由1)0,(|)0,(xx，可求得103C 能量可能取值21，

44、25，29精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 37 页35 相应的几率 1/2， 1/5， 3/10 因为 n 0,2,4都为偶数，故宇称为偶tititieeetx2925214|1032|510|21),(| 利用)?()2(?21aax，有4|1032|510|21)(?)(103|451|221|0()2()0,(|)?(|)0,()2()0,(|)0,()0(2121aaxaaxxxxx0 0),(|)?(|),()2(),(|),()(21txaatxtxxtxtx3. 若试探波函数取为22)(,2eaNear，

45、其中 N为归一化波函数，为变分参数，试用变分法求氢原子的基态能量与基态波函数。解：先将波函数归一化2322323220322)(202)2()221(21)2(4)2(441aNaNdxxeaNdrreNxar432)2(aN而氢原子的哈米顿为rerLrrrrHs2222222?)(2?drrererrrreNHEarars2)(22220)(24)(2|?|22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 37 页36 rdreeNdrerareNarararas222)(2022)(3220)(24)2(24rdreeNdrra

46、reaNararas22)(20224220)(22224)23(224drreaNar)3(22420)(22222drraeaNar)2(224420)(22222rdreeNaras2)(20224)23(21)2(32243222aaN)25(21)2()2(2452222aaN) 1(21)2(4222aeNs2221222232523aeNaNs223123232323252323232322232aeaaas212123222223aeas令0ddE，得到98984242aes所以：aeaeEss22min424.034，精确解为：aeaeEss220500.02变分值略大于精确

47、值。基态波函数为22)(98220,)916(243eaeaar 4.两个自旋s=1/2 的电子束缚在一维无限深方势阱(0 xa) 内，忽略两电子间的相互作用，试写出该全同粒子体系基态及第一激发态的能量和状态波函数，并讨论能量的简并度。解：忽略相互作用时，体系的能量本征值为)(2222122221nnaEEE（ n1， n2 1,2,3, ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 37 页37 体系的总波函数是反对称的：)s,s()x,x(z2z121 基态 n1 n2 1，基态能量为222aE基态波函数为)()()()(2)

48、,(),(212121212121212121zzzzASssssaxSinaxSinaxxxx可见基态能级不简并。第一激发态，（ n1， n2） 1,2 或（n1，n2） 2,1 激发态能量为22225aE222),(212121axSinaxSinaxSinaxSinaxxS222),(212121axSinaxSinaxSinaxSinaxxA)()(),(2121)1(2121zzzzSssss)()(),(2121)2(2121zzzzSssss)()()()(21),(212121)3(21212121zzzzzzSssssss)()()()(21),(21212121212121zzzzzzAssssss单态；),(),(2121)1(xxxxAS三重态：),(),(2121)4, 3,2(xxxxSA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 37 页

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2022年量子力学考试知识点

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