《2022年因动点产生的等腰三角形问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年因动点产生的等腰三角形问题（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载1.2因动点产生的等腰三角形问题例 1 2012年扬州市中考第27题如图 1，抛物线yax2bxc 经过 A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；（3）在直线 l 上是否存在点M，使 MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 扬州 27” ，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点 P 落在线段BC 上时， PAPC 最小， P AC 的
2、周长最小拖动点M 在抛物线的对称轴上运动，观察MAC 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M 有1 次机会落在AC 的垂直平分线上；点 A 有 2 次机会落在MC 的垂直平分线上；点 C 有 2 次机会落在MA 的垂直平分线上，但是有1 次 M、A、C 三点共线思路点拨1第（ 2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段 BC 上时 PAC 的周长最小2第（ 3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于 A(1,0)、B(3, 0)两点，设 ya(x1)(x3)，代入点 C(0 ,3)，得 3a3解得 a 1所以抛物线的函数关系式是y (x 1
3、)(x 3) x22x3（2）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1当点 P 落在线段BC 上时， PAPC 最小， PAC 的周长最小设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H由BHPHBOCO，BOCO，得 PHBH 2所以点 P 的坐标为 (1, 2)图 2 （3）点 M 的坐标为 (1, 1)、(1,6)、(1,6)或(1,0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载考点伸展第（ 3）题的解题过程是这样的：设点 M 的坐标为 (1,m)在 MAC 中， AC210，MC21(m 3)2，MA24m2如图 3
4、，当 MAMC 时， MA2MC2解方程4m21 (m3)2，得 m1此时点 M 的坐标为 (1, 1)如图 4，当 AMAC 时， AM2AC2解方程4m210，得6m此时点 M 的坐标为 (1,6)或(1,6)如图 5，当 CMCA 时， CM2 CA2解方程 1(m3)210，得 m 0 或 6当 M(1, 6)时， M、A、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为 (1,0)图 3 图 4 图 5 例 2 2012年临沂市中考第26题如图 1，点 A 在 x 轴上， OA 4，将线段OA 绕点 O 顺时针旋转120至 OB 的位置（1）求点 B 的坐标；（2）求经过A、O、B 的
5、抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到， O 和 B 以及 OB 的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点 P 运动到O 与对称轴的另一个交点时，B、O、P 三点共线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载请打开超级画板文件名“12 临沂 26” ，拖动点P，发现存在点P，使得以点P
6、、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起满分解答（1）如图 2，过点 B 作 BCy 轴，垂足为C在 RtOBC 中， BOC30， OB4，所以 BC2，2 3OC所以点 B 的坐标为 ( 2,2 3) （2）因为抛物线与x 轴交于 O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点 B( 2,2 3) ，232( 6)a解得36a所以抛物线的解析式为2332 3(4)663yx xxx（3）抛物线的对称轴是直线x2，设
7、点 P 的坐标为 (2, y)当 OPOB 4 时， OP216所以 4+y216解得23y当 P 在 (2, 2 3) 时， B、O、P 三点共线（如图2） 当 BPBO4 时， BP216所以224(2 3)16y解得122 3yy当 PBPO 时， PB2PO2所以22224(2 3)2yy 解得23y综合、，点P的坐标为 (2,2 3) ，如图 2 所示图 2 图 3 考点伸展如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么 DOA 与 OAB 是两个相似的等腰三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢
8、迎下载由2332 3(4)(2)663yx xx，得抛物线的顶点为2 3(2,)3D因此2 3tan3DOA所以 DOA 30， ODA 120例 3 2011年湖州市中考第24题如图 1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点 P(0,m)是线段 OC 上一动点（ C 点除外），直线 PM 交 AB 的延长线于点D（1）求点 D 的坐标（用含m 的代数式表示） ；（2）当 APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过 P、M、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E，过点 O 作直线 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2） 当点 P 从
9、O 向 C 运动时，点H 也随之运动请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“11 湖州 24” ，拖动点P 在 OC 上运动，可以体验到，APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 P 由O 向 C 运动，可以体验到，点H 在以 OM 为直径的圆上运动双击按钮“第(2)题”可以切换思路点拨1用含 m 的代数式表示表示APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备2探求 APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解3猜想点 H 的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？RtOHM 的斜边长O
10、M 是定值，以OM 为直径的圆过点H、C满分解答（1）因为 PC/DB，所以1CPPMMCBDDMMB因此 PMDM，CPBD2 m所以AD4m于是得到点D 的坐标为 (2，4m)（2）在 APD 中，22(4)ADm，224APm，222(2)44(2)PDPMm当 APAD 时，2(4)m24m解得32m（如图 3） 当 PAPD 时，24m244(2)m解得43m（如图4）或4m（不合题意，舍去） 当 DA DP 时，2(4)m244(2)m解得23m（如图 5）或2m（不合题意，舍去） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
11、，共 15 页学习必备欢迎下载综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23图 3 图 4 图 5 （3）点 H 所经过的路径长为54考点伸展第（ 2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单： 如 图3 ， 当AP AD时 ， AM垂 直 平 分PD ， 那 么 PCM MBA 所 以12PCMBCMBA因此12PC，32m如图 4， 当 PAPD 时， P 在 AD 的垂直平分线上 所以 DA2PO 因此42mm 解得43m第（ 2）题的思路是这样的：如图 6，在 RtOHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的 G 经过点 H，也就是说点 H 在圆弧
12、上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图7， P 与 O 重合时，是点H 运动的起点， COH45， CGH90图 6 图 7 例 4 2011年盐城市中考第28 题如图 1，已知一次函数y x7 与正比例函数43yx的图象交于点A，且与 x 轴交于点 B（1）求点 A 和点 B 的坐标；（2） 过点 A 作 ACy轴于点 C， 过点 B 作直线 l/y 轴 动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O CA的路线向点A 运动；同时直线l 从点 B 出发，以相同速度向左平移， 在平移过程中， 直线 l 交 x 轴于点 R，交线段 BA或线段AO 于点 Q当点 P 到达点A 时，点P 和
13、直线l 都精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载停止运动在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒当 t 为何值时，以A、 P、R 为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 盐城 28” ，拖动点R 由 B 向 O 运动，从图象中可以看到，APR 的面积有一个时刻等于8观察 APQ，可以体验到，P 在 OC 上时，只存在APAQ 的情况； P 在 CA 上时，有三个时刻，APQ 是等腰三
14、角形思路点拨1把图 1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求 APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论事实上，P 在 CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8 的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点 P 的位置分两种情况讨论，点 P 的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组7,4,3yxyx得3,4.xy所以点 A 的坐标是 (3，4)令70yx，得7x所以点 B 的坐标是 (7，0)（2）如图 2，当 P 在 OC 上运动时， 0 t4由8AP RA C PP ORC O RASSSS梯形，得1113+7)44 (4)(7)8222tttt（整理
15、，得28120tt解得t2 或 t6（舍去）如图 3，当 P 在 CA 上运动时， APR 的最大面积为6因此，当 t2 时，以 A、P、R 为顶点的三角形的面积为8图 2 图 3 图 4 我们先讨论P 在 OC 上运动时的情形，0t4如图 1， 在 AOB 中，B45， AOB45，OB7，42AB， 所以 OBAB 因此 OAB AOB B如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OPBR RQ，所以 PQ/x 轴因此 AQP45保持不变，P AQ 越来越大，所以只存在APQ AQP 的情况此时点 A 在 PQ 的垂直平分线上，OR2CA 6所以 BR1，t 1精选学习资料 - -
16、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载我们再来讨论P 在 CA 上运动时的情形，4t7在 APQ 中，3cos5A为定值，7APt，5520333AQOAOQOAORt如图 5，当 APAQ 时，解方程520733tt，得418t如图6，当QPQA 时，点Q 在 PA 的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程72(7)(4)ttt，得5t如7， 当PA PQ时 ， 那 么12cosAQAAP 因 此2cosAQA PA 解 方 程52032(7)335tt，得22643t综上所述， t1 或418或 5 或22643时， A
17、PQ 是等腰三角形图 5 图 6 图 7 考点伸展当 P 在 CA 上， QPQA 时，也可以用2cosAPAQA来求解例 5 2010年上海市闸北区中考模拟第25 题如图 1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(4, 0)，点 M、N 分别为线段AC和射线 AB 上的动点，点M 以 2 个单位长度 /秒的速度自C 向 A 方向作匀速运动，点N 以 5个单位长度 /秒的速度自A 向 B 方向作匀速运动，MN 交 OB 于点 P(1)求证： MNNP 为定值；(2)若 BNP 与 MNA 相似，求CM 的长；(3)若 BNP 是等腰三角形，求CM 的长精选学习资料 - - -
18、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载图 1 动感体验请打开几何画板文件名 “10 闸北 25” ， 拖动点 M 在 CA 上运动，可以看到 BNP 与 MNA的形状随M 的运动而改变双击按钮“BNP MNA” ，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形分别双击按钮“BPBN， N 在 AB 上” 、 “NBNP”和“ BPBN，N 在 AB的延长线上” ，可以准确显示等腰三角形BNP 的三种情况思路点拨1第（ 1）题求证MNNP 的值要根据点N 的位置分两种情况这个结论为后面的计算提供了方便2第（2）题探求相似的两个三角形有
19、一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似3第（ 3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类注意当N 在 AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况4探求等腰三角形BNP，N 在 AB 上时， B 是确定的，把夹B 的两边的长先表示出来，再分类计算满分解答(1)如图 2，图 3，作 NQ x 轴，垂足为Q设点 M、N 的运动时间为t 秒在 RtANQ 中， AN5t，NQ 4t ，AQ3t在图 2 中， QO63t，MQ105t，所以 MN NPMQQO53在图 3 中， QO3t6，MQ5t10，所以 MN NPMQQO53(
20、2)因为 BNP 与 MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形， 要么是两个直角三角形只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似如图 4， BNP MNA， 在 RtAMN 中，35ANAM， 所以531025tt 解得3031t 此时 CM6031图 2 图 3 图 4 (3)如图 5，图 6，图 7 中，OPMPQNMN，即245OPt所以85OPt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载当 N 在 AB 上时，在 BNP 中， B 是确定的，885BPt，105B
21、Nt()如图 5，当 BPBN 时，解方程881055tt，得1017t此时 CM2017()如图 6， 当 NBNP 时，45BEBN 解方程1848105255tt， 得54t 此时 CM52()当 PBPN 时，1425BNBP 解方程1481058255tt，得 t 的值为负数，因此不存在PBPN 的情况如图 7，当点 N 在线段 AB 的延长线上时，B 是钝角，只存在BPBN 的可能，此时510BNt解方程885105tt，得3011t此时 CM6011图 5 图 6 图 7 考点伸展如图 6，当 NBNP 时， NMA 是等腰三角形，1425BNBP，这样计算简便一些例 6 201
22、0年南通市中考第27题如图 1，在矩形ABCD 中， ABm（ m 是大于 0 的常数），BC8，E 为线段 BC 上的动点（不与 B、C 重合） 连结 DE，作 EFDE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CEx，BF y（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）若 m8，求 x 为何值时， y 的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使 DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载图 1动感体验请打开几何画板文件名“10 南通 27” ，拖动点 E 在 BC
23、 上运动，观察y 随 x 变化的函数图象，可以体验到，y 是 x 的二次函数，抛物线的开口向下对照图形和图象，可以看到，当 E 是 BC 的中点时， y 取得最大值双击按钮“m8” ，拖动 E 到 BC 的中点，可以体验到，点 F 是 AB 的四等分点拖动点 A 可以改变m 的值，再拖动图象中标签为“y 随 x” 的点到射线yx 上，从图形中可以看到，此时DCE EBF思路点拨1证明 DCE EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于 x 的函数关系式2第（ 2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第（ 3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF 为等腰三角形，
24、 那么得到 xy； 一段是计算， 化简消去m，得到关于x 的一元二次方程，解出 x 的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m 的值满分解答(1)因为 EDC 与 FEB 都是 DEC 的余角，所以EDC FEB又因为 C B90，所以 DCE EBF因此DCEBCEBF，即8mxxy整理，得y 关于 x 的函数关系为218yxxmm(2)如图 2，当 m 8 时，2211(4)288yxxx因此当 x4 时，y 取得最大值为 2(3) 若12ym， 那么21218xxmmm 整理， 得28120xx 解得 x2 或 x6 要使 DEF 为等腰三角形，只存在EDEF 的情况因为DCE EBF
25、，所以 CEBF，即xy将 x y 2 代入12ym，得 m6（如图 3） ；将 xy 6 代入12ym，得 m2（如图 4） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载图 2 图 3 图 4 考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（ 1）题得到218yxxmm221116(8 )(4)xxxmmm，那么不论m 为何值，当x4 时， y 都取得最大值对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是 BC 的中点时， BF 都取得最大值第（2）题 m8 是第（ 1）题一般性结论的一个特殊性再
26、如，不论m 为小于 8 的任何值，DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218xxxmm总有一个根8xm的第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性例 7 2009 年重庆市中考第26 题已知： 如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC在 x 轴的正半轴上， OA2，OC3，过原点 O 作 AOC 的平分线交AB 于点 D，连结 DC，过点 D 作 DEDC，交 OA 于点 E（1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式；（2）将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与线段 OC 交于点 G如果 DF
27、与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点 M 的横坐标为56，那么 EF2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（ 2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、 G 构成的 PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 重庆 26” ，拖动点G 在 OC 上运动，可以体验到，DCG与 DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2” ，可以看到， EF2，GO1拖动点 P 在 AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，PCG 可以成
28、为等腰三角形思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2） 、 （ 3）题的计算中要用到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载2过点 M 作 MNAB，根据对应线段成比例可以求FA 的长3将 EDC 绕点 D 旋转的过程中，DCG 与 DEF 保持全等4第（ 3）题反客为主，分三种情况讨论PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点 Q 的位置，再计算点Q 的坐标满分解答（1）由于 OD 平分 AOC，所以点D 的坐标为（ 2，2） ，因此 BC AD1由于 BCD ADE，所以 BDA
29、E1，因此点E 的坐标为（ 0，1） 设过 E、D、 C 三点的抛物线的解析式为cbxaxy2，那么.039,224, 1cbacbac解得65a，613b1c 因此过 E、 D、 C 三点的抛物线的解析式为1613652xxy（2） 把56x代入1613652xxy， 求得512y 所以点 M 的坐标为512,56如图 2， 过点 M 作 MN AB， 垂足为 N， 那么DADNFAMN，即25622512FA解得1FA因为 EDC 绕点 D 旋转的过程中，DCG DEF ，所以 CGEF2因此 GO 1，EF2GO（3）在第（ 2）中， GC2设点 Q 的坐标为161365,2xxx如图
30、3，当 CPCG2时， 点 P 与点 B （3，2）重合， PCG 是等腰直角三角形此时GQQxxy，因此11613652xxx。由此得到点Q 的坐标为57,512如图 4，当 GPGC2 时，点P 的坐标为（ 1，2） 此时点Q 的横坐标为1，点 Q的坐标为613, 1如图 5，当 PGPC 时，点 P 在 GC 的垂直平分线上，点P、Q 与点 D 重合此时点Q 的坐标为（ 2，2） 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载图 3 图 4 图 5 考点伸展在第（ 2）题情景下，EDC 绕点 D
31、 旋转的过程中，FG 的长怎样变化？设 AF 的长为 m，那么82)2()2(222mmmFG点 F 由 E 开始沿射线EA 运动的过程中，FG 先是越来越小，F 与 A 重合时， FG 达到最小值22； F 经过点 A 以后， FG 越来越大，当C 与 O 重合时， FG 达到最大值4例 8 2009年江西省中考第25 题如图 1，在等腰梯形ABCD 中， AD/BC，E 是 AB 的中点，过点E 作 EF/BC 交 CD 于点 F， AB4，BC6， B60（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过点P 作 PMEF 交 BC 于 M，过 M 作 MN/
32、AB交折线 ADC 于 N，连结 PN，设 EPx当点 N 在线段 AD 上时 （如图 2） ， PMN 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长；若改变，请说明理由；当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点P，使 PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 图 3 动感体验请打开几何画板文件名“09 江西 25” ，拖动点P 在 EF 上运动，可以体验到，当N 在AD 上时， PMN 的形状不发生改变，四边形 EGMP 是矩形， 四边形 BMQE、四边形 ABMN是平行四边形，PH 与 NM 互相平分当 N 在 DC 上
33、时， PMN 的形状发生变化，但是CMN 恒为等边三角形，分别双击按钮“ PMPN” 、 “MPMN”和“ NPNM” ，可以显示 PMN 为等腰三角形思路点拨精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载1先解读这个题目的背景图，等腰梯形 ABCD 的中位线EF4，这是 x 的变化范围 平行线间的距离处处相等，AD 与 EF、EF 与 BC 间的距离相等2当点 N 在线段 AD 上时， PMN 中 PM 和 MN 的长保持不变是显然的，求证PN 的长是关键图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重
34、要3分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题满分解答（1）如图 4，过点 E 作 EGBC 于 G在 RtBEG 中，221ABBE， B60，所以160cosBEBG，360sinBEEG所以点 E 到 BC 的距离为3（2）因为 AD/EF/BC，E 是 AB 的中点，所以F 是 DC 的中点因此 EF 是梯形 ABCD 的中位线， EF4如图 4，当点 N 在线段 AD 上时， PMN 的形状不是否发生改变过点 N 作 NHEF 于 H，设 PH 与 NM 交于点 Q在矩形 EGMP 中， EPGM x，PMEG3在平行四边形BMQE 中， BMEQ1x所
35、以 BGPQ 1因为 PM 与 NH 平行且相等，所以PH 与 NM 互相平分， PH2PQ2在 RtPNH 中， NH3，PH2，所以 PN7在平行四边形ABMN 中， MNAB4因此 PMN 的周长为374图 4 图 5 当点 N 在线段 DC 上时， CMN 恒为等边三角形如图 5，当 PMPN 时， PMC 与 PNC 关于直线PC 对称，点 P 在 DCB 的平分线上在 RtPCM 中， PM3， PCM 30，所以MC3此时 M、P 分别为 BC、 EF 的中点， x 2如图 6，当 MPMN 时， MPMNMC3，xGMGCMC53精选学习资料 - - - - - - - - -
36、 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载如图 7，当 NPNM 时， NMP NPM 30，所以 PNM120又因为 FNM 120，所以P 与 F 重合此时 x4综上所述，当x2 或 4 或 53时， PMN 为等腰三角形图 6 图 7 图 8 考点伸展第（ 2）题求等腰三角形PMN 可以这样解：如图 8，以 B 为原点，直线BC 为 x 轴建立坐标系，设点M 的坐标为（ m，0） ，那么点P 的坐标为（ m，3） ，MN MC6m，点 N 的坐标为（26m，2)6(3m） 由两点间的距离公式，得21922mmPN当 PMPN 时，92192mm，解得3m或6m此时2x当 MPMN 时，36m，解得36m，此时35x当 NP NM 时，22)6(219mmm，解得5m，此时4x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页
