《2022年2022年函数奇偶性知识点与经典题型归纳》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年2022年函数奇偶性知识点与经典题型归纳(5页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、函数奇偶性知识梳理1. 奇函数、偶函数的定义(1)奇函数:设函数( )yfx的定义域为D,如果对D内的任意一个 x,都有()( )fxf x,则这个函数叫 奇函数 .(2)偶函数:设函数( )yfx的定义域为D,如果对D内的任意一个 x,都有()( )fxfx,则这个函数叫做 偶函数 . (3)奇偶性:如果函数( )f x是奇函数或偶函数,那么我们就说函数( )f x具有奇偶性 . (4)非奇非偶函数:无奇偶性的函数是非奇非偶函数. 注意:( 1)奇函数若在0x时有定义,则(0)0f(2)若( )0fx且( )f x的定义域关于原点对称,则( )f x既是奇函数又是偶函数2奇(偶)函数的基本性
2、质(1) 对称性:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称(2) 单调性:奇函数在其对称区间上的单调性相同,偶函数在其对称区间上的单调性相反3. 判断函数奇偶性的方法(1)图像法(2)定义法1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定 f(x)与 f(x)的关系;3作出相应结论:若 f(x) = f(x)或 f(x)f(x) = 0,则 f(x) 是偶函数;若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0,则 f(x)是奇函数例题精讲【例 1】若函数2( )f xaxbx是偶函数,求b的值. 解:函数f(x)ax2bx 是偶函数,f(x)f(x)ax2bx=
3、ax2-bx.2bx=0. b0. 【例 3】已知函数21( )f xx在y轴左边的图象如下图所示,画出它右边的图象. 题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断下列函数的奇偶性. (1)2( )|(1)f xxx;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - (2)1( )f xxx;(3)( )|1|1|f xxx;(4)( )22f xxx ;(5)22( )11f xxx(6)22,0( ),0xxxf xxxx解:( 1)
4、2( )|(1)f xxx的定义域为R,关于原点对称22()|()1 |(1)( )fxxxxxf x()( )fxf x,即( )f x是偶函数(2)1( )f xxx的定义域为|0x x由于定义域关于原点不对称故( )f x既不是奇函数也不是偶函数(3)( )|1|1|f xxx的定义域为R,关于原点对称f(x)|x1|x1|x1|x1|(|x1|x1|)f(x),f(x)|x1|x1|是奇函数(4)( )22f xxx 的定义域为 2 ,由于定义域关于原点不对称,故( )f x既不是奇函数也不是偶函数(5)22( )11f xxx的定义域为 1,1,由(1)0f且( 1)0f,所以( )
5、0f x所以( )f x图象既关于原点对称,又关于y 轴对称故( )fx既是奇函数又是偶函数(6)显然定义域关于原点对称当 x0 时, x0,f(x)x2x(xx2);当 x0,f(x)xx2(x2x)即22(),0()(),0xxxfxxxx即()( )fxfx( )fx为奇函数题型二利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在R 上的奇函数, f(3)2,求 f(3)和 f(0)的值.解: f(x)是定义在R 上的奇函数,f(3)f(3)2,f(0)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
6、 - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 【例 5】已知 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数,且f(1)g(1)2,f(1)g(1)4,求 g(1). 解:由 f(x)是奇函数, g(x)是偶函数得()( )fxf x,()( )gxg x所以 f(1)g(1)2 f(1)g(1)4 由消掉f(1),得 g(1)3. 题型三利用函数的奇偶性求函数解析式【例 6】已知函数( )f x是定义在R 上的偶函数,当x0时,f(x)x3x2,当 x0 时,求 f(x)的解析式 . 解:当0x时,有0x所以3232()()()fxxxxx又因为( )f x
7、在 R 上为偶函数所以32( )()f xfxxx所以当0x时,32( )f xxx . 【例 7】若定义在R 上的偶函数( )f x和奇函数( )g x满足( )( )xf xg xe,求( )g x. 解:因为( )f x为偶函数,( )g x为奇函数所以()( )fxf x,()( )gxg x因为( )( )xf xg xe所以()()xfxgxe所以( )( )xf xg xe由式消去( )f x,得( )2xxeeg x. 课堂练习仔细读题,一定要选择最佳答案哟!1.函数( )11f xxx 是()A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数2.已知函数( )
8、fx为奇函数,且当0x时,21( )f xxx,则( 1)f()A.2 B.1 C.0 D.-2 3. f(x)为偶函数,且当x0 时,f(x)2 ,则当 x0 时,有()Af(x) 2 Bf(x) 2 Cf(x) 2 D.f(x) R 4.已知函数 y=f(x)是偶函数, y=f(x2)在 0,2上是单调减函数,则()A.f(0)f(1)f(2)B.f(1)f(0)f(2)C.f(1)f(2)f(0)D.f(2)f(1)f(0)5.已知函数 f(x)=ax2bxc(a0 )是偶函数,那么g(x)=ax3bx2cx是()A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6.定义在 R 上的奇
9、函数 f(x)在(0,+)上是增函数,又 f(3)=0,则不等式 xf(x)0 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - 解集为()A.(3,0) (0,3)B.(,3) (3,+)C.(3,0) (3,+)D.(,3) (0,3)7.若 f(x) 在5,5上是奇函数,且f(3)f(1) ,则下列各式中一定成立的是() Af(1)f(1) Cf(2)f(3) Df(3)f(5) 8. 设 f(x) 在2,1上为减函数,最
10、小值为3,且 f(x) 为偶函数,则 f(x)在1,2 上() A为减函数,最大值为3 B为减函数,最小值为 3 C为增函数,最大值为 3 D为增函数,最小值为3 9. 下列四个函数中,既是偶函数又在(0,) 上为增函数的是 () Ayx3 Byx21 Cy|x| 1 Dy2|x| 10. 若函数 f(x) (x1)(x a)为偶函数,则 a() A1 B1 C0 D不存在11. 偶函数 yf(x)的图象与 x 轴有三个交点,则方程f(x)0 的所有根之和为 _12. 如图,给出了偶函数y = f (x)的局部图象,试比较f (1)与 f (3) 的大小 . 13. 已知函数( )(0)pf
11、xxm px是奇函数,求 m的值. 14. 已知 f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,且 f(x)g(x)x2x2,求 f(x),g(x)的表达式x y O 3 2 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - 15.定义在 (1,1)上的奇函数 f(x)是减函数,且 f(1a)f(1a2)0,求实数 a 的取值范围16.函数 f(x)axb1x2是定义在 (1,1)上的奇函数,且 f1225,求函数 f(x)的解析式17. 判断函数1( )(1)1xf xxx的奇偶性 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - -