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1、高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z
2、 有理数集Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c 2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分，； （2）A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 AB或 BA 2 “相等”关系：A=B
3、(55，且 55，则 5=5) 实例：设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。AA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页真子集 :如果 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集，记作 AB( 或 BA) 如果AB, BC , 那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集， 2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集
4、定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 记作AB（读作 A 交 B ） ，即 AB=x|xA，且 xB 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做 A,B的并集 记作： AB（读作 A 并 B ） ，即 AB =x|xA，或 xB)设 S 是一个集合， A 是S 的一个子集， 由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合， 叫做 S 中子集A 的 补集 （或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2S A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页性质
5、AA=A A=AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA ABABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A(CuA)=U A(CuA)= 二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合 B的一个函数记作：y=f(x) ，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域
6、2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示4映射一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合A到集合 B 的一个映射。 记作“f （ 对应关系）：A （原象）B（象） ”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素， 在集合B中都有象， 并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；精选学习资料 - - - - -
7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 ) （1）增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. 如果对于区间D 上的任
8、意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1任取 x1，x2D，且 x11，且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是奇数时，aann， 当n是偶数时，)0()0(|aa
9、aaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：) 1,0(*nNnmaaanmnm，) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa )(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页注意：指数函数的底数的取值范围，
10、底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域 x0 定义域 x0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（ 1，0）函 数 图 象 都 过 定 点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义： 一般地， 形如xy)(Ra的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）
11、所有的幂函数在（0， +）都有定义并且图象都过点（1，1） ；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间), 0上是增函数 特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（ 3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内， 当x从右边趋向原点时， 图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点
12、的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法：1（代数法）求方程0)(xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy（1），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页（3） ， 方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
