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1、高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性:(1) 元素的确定性如:世界上最高的山(2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性 : 如: a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示 : 如: 我校的篮球队员,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合:A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作: N 正整数集N*或 N+ 整数集 Z
2、 有理数集Q 实数集 R 1) 列举法: a,b,c 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3) 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4) Venn 图: 4、集合的分类:(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例: x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意:BA有两种可能( 1)A 是 B 的一部分,; (2)A 与 B 是同一集合。反之 : 集合 A 不包含于集合B,或集合 B 不包含集合A,记作 AB或 BA 2 “相等”关系:A=B
3、(55,且 55,则 5=5) 实例:设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即:任何一个集合是它本身的子集。AA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页真子集 :如果 AB,且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集,记作 AB( 或 BA) 如果AB, BC , 那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合,含有2n个子集, 2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集
4、定义由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集 记作AB(读作 A 交 B ) ,即 AB=x|xA,且 xB 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的并集 记作: AB(读作 A 并 B ) ,即 AB =x|xA,或 xB)设 S 是一个集合, A 是S 的一个子集, 由 S 中所有不属于A 的元素组成的集合, 叫做 S 中子集A 的 补集 (或余集)记作ACS,即CSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2S A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页性质
5、AA=A A=AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA ABABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A(CuA)=U A(CuA)= 二、函数的有关概念1函数的概念:设A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB 为从集合A 到集合 B的一个函数记作:y=f(x) ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域
6、2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示4映射一般地,设A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f:AB 为从集合A到集合 B 的一个映射。 记作“f ( 对应关系):A (原象)B(象) ”对于映射f:AB来说,则应满足:(1)集合A中的每一个元素, 在集合B中都有象, 并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;精选学习资料 - - - - -
7、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集二函数的性质1.函数的单调性 (局部性质 ) (1)增函数设函数 y=f(x) 的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当 x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说 f(x) 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间. 如果对于区间D 上的任
8、意两个自变量的值x1,x2,当 x1x2 时,都有 f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的 )单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:1任取 x1,x2D,且 x11,且nN*负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是0,记作00n。当n是奇数时,aann, 当n是偶数时,)0()0(|aa
9、aaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:) 1,0(*nNnmaaanmnm,) 1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质(1)rasrraa),0(Rsra;(2)rssraa )(),0(Rsra;(3)srraaab)(),0(Rsra(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(aaayx且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页注意:指数函数的底数的取值范围,
10、底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-112345678011定义域 x0 定义域 x0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页值域为 R 值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点( 1,0)函 数 图 象 都 过 定 点(1,0)(三)幂函数1、幂函数定义: 一般地, 形如xy)(Ra的函数称为幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳(1)
11、所有的幂函数在(0, +)都有定义并且图象都过点(1,1) ;(2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间), 0上是增函数 特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当10时,幂函数的图象上凸;( 3)0时,幂函数的图象在区间),0(上是减函数在第一象限内, 当x从右边趋向原点时, 图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数)(Dxxfy,把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义:函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根,亦即函数)(xfy的图象与x轴交点
12、的横坐标。即:方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点3、函数零点的求法:1(代数法)求方程0)(xf的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(xfy的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点:二次函数)0(2acbxaxy(1),方程02cbxax有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点(2),方程02cbxax有两相等实根,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页(3) , 方程02cbxax无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页