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1、向量法求二面角的大小向量法求二面角的大小北京市房山区教师进修学校北京市房山区教师进修学校卢寒芳卢寒芳1四、教学过程的设计与实施四、教学过程的设计与实施一、教学背景的分析一、教学背景的分析二、教学目标的确定二、教学目标的确定三、教学方法的选择三、教学方法的选择五、教学效果评价与反思五、教学效果评价与反思21 1教材分析教材分析教材分析教材分析一、教学背景的分析一、教学背景的分析u本节课教学内容选自人教高中数学本节课教学内容选自人教高中数学B版选修版选修21第第 三章第三章第2.4节节“二面角及其度量二面角及其度量”的第的第2课时课时u二面角二面角是立体几何的重要概念之一是立体几何的重要概念之一它
2、是学生在它是学生在 学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之 后，又重点研究的一种空间角后，又重点研究的一种空间角u课标要求课标要求：能用向量方法解决面面夹角的计算问能用向量方法解决面面夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几何问题中的作用题，体会向量方法在研究几何问题中的作用31 1教材分析教材分析教材分析教材分析一、教学背景的分析一、教学背景的分析u利用向量利用向量方法方法求解立体几何问题求解立体几何问题是将逻辑推理转化是将逻辑推理转化 为向量的代数运算为向量的代数运算. . 三步曲：空间向量表示几何元素三步曲：空间向量表示几何元素利用向量运算研利
3、用向量运算研 究几何元素间的关系究几何元素间的关系把运算结果转化成相应的几把运算结果转化成相应的几 何结论何结论. .u用到用到数形结合、类比转化等数学思想和方法数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助，有助 于于提高学生的思维能力提高学生的思维能力42 2学情分析学情分析学情分析学情分析一、教学背景的分析一、教学背景的分析已学习：二面角及二面角的二面角及二面角的平面角平面角的的概念概念会：建立空间直角坐标系 进行向量坐标运算 求求平面的法向量平面的法向量已掌握：用向量用向量求解求解线线线线角、线面角、线面角角的的方法方法 5二二、教学目标的确定教学目标的确定1通过类比异面直线所通过类比异面直
4、线所成的角、直线与平面成的角、直线与平面所成角的解决方法，所成角的解决方法，得到用向量求二面角得到用向量求二面角大小的方法，并能用大小的方法，并能用之解决有关问题，体之解决有关问题，体会向量方法在研究几会向量方法在研究几何问题中的作用何问题中的作用3通过经历向量法求二通过经历向量法求二面角大小的推导过程，面角大小的推导过程，培养大胆探索精神，培养大胆探索精神，提高学习立体几何的提高学习立体几何的兴趣兴趣2在探究用向量法求二在探究用向量法求二面角大小的过程中，面角大小的过程中，体会数形结合、类比体会数形结合、类比转化的数学思想，进转化的数学思想，进一步提高空间想象能一步提高空间想象能力、分析问题
5、和解决力、分析问题和解决问题的能力问题的能力6重点和难点重点和难点重点重点:用法向量夹角求二面角的方用法向量夹角求二面角的方 法的探究及应用法的探究及应用难点难点:二面角与两个半平面的法向二面角与两个半平面的法向 量夹角的关系量夹角的关系教学的重点和难点教学的重点和难点教学的重点和难点教学的重点和难点二、教学目标的确定二、教学目标的确定7多媒体辅助多媒体辅助三三、教学方法的选择教学方法的选择教师启发引导教师启发引导学生自主探究学生自主探究1 1教学方法教学方法教学方法教学方法2 2教学手段教学手段教学手段教学手段8四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2探究方法探究方法1温故知新温故知
6、新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结1温故知新温故知新9四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施lABO如何度量二面角如何度量二面角l的大小的大小1 1温故知新温故知新101 1温故知新温故知新四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施异面直线所成的角异面直线所成的角11四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施1 1温故知新温故知新直线与平面所成的角直线与平面所成的角直线的方向向量为直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为 12通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线面角的解决方法，自然引出用向量探究二面角的面角的解决方法，
7、自然引出用向量探究二面角的大小大小.四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施1 1温故知新温故知新设计意图设计意图13四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结2探究方法探究方法14四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2 2探究方法探究方法lAOB问题问题1： 二面角的平面角二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？能否转化成向量的夹角？15四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2 2探究方法探究方法16从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由向量的夹角来
8、确定，从而调动学生探究这一问题向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题的积极性的积极性.四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2 2探究方法探究方法设计意图设计意图17四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2 2探究方法探究方法问题问题2：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？的法向量有没有关系？l182 2探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系思考：
9、法向量的夹角与二面角平面角的关系19四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施202 2探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 212 2探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性. .根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一
10、问题的主动性和积极性. .22通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生理解法向量夹角与二面角大小的关系理解法向量夹角与二面角大小的关系四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2 2探究方法探究方法设计意图设计意图232 2探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 问题问题3：法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么时法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等
11、，什么时候互补？候互补？再次演示课件再次演示课件242 2探究方法探究方法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 25进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系，进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系，结合规律加深学生对这一难点内容的理解结合规律加深学生对这一难点内容的理解四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施2 2探究方法探究方法设计意图设计意图262探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结3实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施27四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施3 3实践操作实践操作已知已知ABCD 是直
12、角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA 平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 28本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性求解立体几何问题的优越性四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施3 3实践操作实践操作设计意图设计意图29四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施3
13、3实践操作实践操作已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90,SA 平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ，求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 303 3实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施313 3实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施32通过对无棱二面角问题的解决，使学生经历从建立通过对无棱二面角问题的解决，使学生经历从建立坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方好地掌握如何利用法向量的夹角求二面
14、角大小的方法法四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施3 3实践操作实践操作设计意图设计意图333 3实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤：1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标；2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的 夹角；夹角；3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果钝角，得出问题的结果34明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结
15、的明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的能力和意识能力和意识四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施3 3实践操作实践操作设计意图设计意图353 3实践操作实践操作四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点Q是是BC的中点，求二面角的中点，求二面角ADQA1的余弦值的余弦值 巩固练习：巩固练习：362探究方法探究方法1温故知新温故知新3实践操作实践操作4归纳总结归纳总结4归纳总结归纳总结四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施374 4归纳总结归纳总结数形结合数形结合类比转化类比转化两个两个思想思想四四、教学过程
16、的设计与实施教学过程的设计与实施一个步骤一个步骤两种方法两种方法半平面内分别垂直于棱的向量的夹角半平面内分别垂直于棱的向量的夹角两个平面的法向量的夹角求解两个平面的法向量的夹角求解用法向量求二面角大小的步骤用法向量求二面角大小的步骤38引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，有利于学生对已有的知识结构加深理解。有利于学生对已有的知识结构加深理解。四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施4 4归纳总结归纳总结设计意图设计意图394 4归纳总结归纳总结课后作业：课后作业：1、如图所示、如图所示，正方体正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为棱长为
17、1 ， 试用多种方法求二面角试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值的余弦值2、P111练习练习A第第3题题，练习练习B第第2题题四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施40四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施41五、教学效果的评价与反思五、教学效果的评价与反思42五、教学效果的评价与反思五、教学效果的评价与反思1、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。、以课标为中心，加强知识形成过程的教学。2、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合。、几何画板演示、实物教具和传统板书教学有效结合。3、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。、在教师的引导下，学生的主体性得到了充分体现。4、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。、注重提高学生的思维能力和数学思想方法的渗透。教学反思教学反思43教学反思教学反思五、教学效果分析五、教学效果分析Thank you!46
