《信号与系统教学课件ppt作者王丽娟第2章连续时域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《信号与系统教学课件ppt作者王丽娟第2章连续时域分析（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第2章章信号与信号与LTI连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析2.1引言引言2.2LTI连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型2.3系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应2.4卷积卷积*2.5零输入响应零输入响应2机械工业出版社1、什么是时域分析？、什么是时域分析？系统的数学模型、系统激励与响应都表系统的数学模型、系统激励与响应都表示为时间的函数，求解系统响应或者分析系示为时间的函数，求解系统响应或者分析系统特性完全在时间域里进行。统特性完全在时间域里进行。2、时域分析方法、时域分析方法常见两种时域分析方法：微分分析法与卷常见两种时域分析方法：微分分析法与卷积法。积法。2.1引
2、言引言3机械工业出版社分析步骤：分析步骤：（1）微分分析法）微分分析法经典时域分析法经典时域分析法已知已知系统系统激励激励列输出列输出/输入输入微分方微分方程程求微分求微分方程的方程的齐次解齐次解确定全确定全响应的响应的系数系数+全响应全响应确定边确定边界条件界条件求微分求微分方程的方程的特解特解优点：直观、物理概念清楚。优点：直观、物理概念清楚。不足：能够分析的实际问题有限。不足：能够分析的实际问题有限。4机械工业出版社卷积法建立在卷积法建立在LTI系统全响应能够分解为系统全响应能够分解为零输入响应和零状态响应之和的认识之上，零输入响应和零状态响应之和的认识之上，以及把冲激函数引入线性系统的
3、理论研究之以及把冲激函数引入线性系统的理论研究之中。中。分析零状态响应的步骤：分析零状态响应的步骤：（2）卷积法卷积法 现代时域分析法现代时域分析法已知已知系统系统激励激励列写列写系统系统微分微分方程方程解微分解微分方程求方程求单位冲单位冲激响应激响应激励与激励与冲激响冲激响应卷积应卷积运算运算零状态零状态响应响应5机械工业出版社3、本章学习内容的编排、本章学习内容的编排学学习怎怎样用用时域卷域卷积法求零状法求零状态响响应。内容包。内容包括：括：（1）利用算子符号建立）利用算子符号建立单输入入/单输出系出系统微分方微分方程。程。（2）什么是）什么是单位冲激响位冲激响应？如何解系？如何解系统微分
4、方程，微分方程，求求单位冲激响位冲激响应？（3）卷）卷积的定的定义、计算、性算、性质及及应用。用。6机械工业出版社2.2.1算子符号与传输算子算子符号与传输算子一、算子符号一、算子符号为了在建立系统数学模型的过程中书写和整为了在建立系统数学模型的过程中书写和整理方程便捷，引入算子符号替代微分和积分运算理方程便捷，引入算子符号替代微分和积分运算符号。符号。1、微分算子符号、微分算子符号2.2LTI连续时间系统的数学模型连续时间系统的数学模型 p 与变量结合与变量结合7机械工业出版社2、积分算子符号、积分算子符号 1/p 与变量结合与变量结合例例在关在关联参考方向下，参考方向下，电感元件的端口伏安
5、感元件的端口伏安关系关系为以及以及用算子符号表示为用算子符号表示为以及以及8机械工业出版社例例微分方程微分方程可表示可表示为p2r(t)+5pr(t)+6 r(t)=pe(t)或者或者(p 2+5p+6) r(t)=pe(t)(p2+5p+6)和和p 被称被称为算子多算子多项式。算子多式。算子多项式式在形式上与代数式相同，但本在形式上与代数式相同，但本质上不是代数式，上不是代数式，仅仅是一种运算符号。是一种运算符号。9机械工业出版社二、算子符号的运算规则二、算子符号的运算规则1、算子多项式可进行乘、除运算、算子多项式可进行乘、除运算比如比如两两边同除同除(p2+7p+12)，得，得令令为系统传
6、输算子。为系统传输算子。 描述单输入描述单输入/输出的系统微分方程简洁地表示为输出的系统微分方程简洁地表示为H(p)r(t)e(t)10机械工业出版社2、算子多项式可因式分解、算子多项式可因式分解对二阶微分方程对二阶微分方程(p2+7p+12)r(t) =(2p+7)e(t)进行因式分解、除运算，并展开为进行因式分解、除运算，并展开为其中其中11机械工业出版社说明一个高阶系统可以由若干低阶系统并联构成。说明一个高阶系统可以由若干低阶系统并联构成。r(t)e(t)+r(t)= r1(t)+r2(t)e(t)r1(t)r2(t)把二阶微分方程拆分为把二阶微分方程拆分为两个一两个一阶微分方程，分微分
7、方程，分别是是 12机械工业出版社2.2.2用算子符号建立系用算子符号建立系统微分方程微分方程 1、建立系统微分方程的步骤、建立系统微分方程的步骤第一步，由已知时域电路模型找出算子电路模型。第一步，由已知时域电路模型找出算子电路模型。 遵循的原则：遵循的原则： 电电感感元元件件用用算算子子符符号号Lp或或1/Lp表表示示，电电容容元元件件则则用用算算子子符符号号1/1/Cp或或Cp表表示示；Lp及及1/1/Cp相相当当于于阻阻抗抗，1/Lp与与Cp相相当当于于导导纳纳。其其他他元元件件、电电路路结结构构、电电量量的参考方向都保持不变。的参考方向都保持不变。第第二二步步，根根据据算算子子电电路路
8、模模型型，运运用用电电路路定定律律、定定理理和和各各种种分分析析方方法法，建建立立用用算算子子符符号号表表示示的的微微积积分分方程或方程组。方程或方程组。13机械工业出版社第第三三步步，运运用用算算子子多多项项式式的的运运算算规规则则，化化简简和和整整理方程，得到输入理方程，得到输入/输出微分方程，或系统传输算子。输出微分方程，或系统传输算子。2、举例、举例例时时域域电电路路模模型型如如图图所所示示。输输入入为为电电压压源源vS(t)，输输出为电流出为电流i(t)。请写出：。请写出：（1）系统传输算子）系统传输算子H(p)。（2）系统微分方程。）系统微分方程。1H111F1i(t)+vs(t)
9、14机械工业出版社p1/pv1v2111i(t)+vs(t)把把v2(t)=i(t)代入以上两式，代入以上两式，解得：解得：（1）系统传输算子为系统传输算子为（2）系统微分方程为系统微分方程为解：第一步，画算子电路。第一步，画算子电路。第二步，第二步，列写微分方程。列写微分方程。选择节点法。点法。设参考参考节点和点和节点点电压，如，如图所示。所示。 15机械工业出版社v0(t)a)iS(t)1H2H+- -i0(t)2 2 v0(t)b)iS(t)p2p+- -i0(t)222+pc)2iS(t)+- -+- -v0(t)例 电路如路如图a所示，激励所示，激励为电流源流源iS(t)。（1）若响
10、）若响应为电压vo(t)，求，求输入入/输出微分方程。出微分方程。（2）若响）若响应为电流流io(t)，求，求输入入/输出微分方程。出微分方程。解：选择等效变换法。简选择等效变换法。简化算子化算子电路。路。 16机械工业出版社2+pc)2iS(t)+- -+- -v0(t)（1）运用分压公式，图）运用分压公式，图c中输出电压为中输出电压为描述描述vo(t)与与iS(t)关系的微分方程关系的微分方程为(p2+5p+2)vo(t) =4piS(t)（2）根据）根据图b，把，把vo(t)=2pio(t)代入上式，得代入上式，得io(t)与与iS(t)关系的微分方程关系的微分方程(p2+5p+2)io
11、(t) =2iS(t)17机械工业出版社3、微分方程的一般规律、微分方程的一般规律（1）系统微分方程的阶数等于系统中独立储能元件）系统微分方程的阶数等于系统中独立储能元件的个数。的个数。（2）当元件参数都是常数时，构成的系统是）当元件参数都是常数时，构成的系统是LTI连续连续时间系统。描述时间系统。描述n阶阶LTI连续时间系统输出连续时间系统输出r(t)与输与输入入e(t)的微分方程为的微分方程为令：令：D(p)=p n+an-1pn1+a0N(p)=bm p m+bm-1pm1+b0上式又可表示为上式又可表示为 18机械工业出版社n阶阶LTI连续时间系统的传输算子为连续时间系统的传输算子为（
12、3）在同一个系统中，选取不同的输入与输出，）在同一个系统中，选取不同的输入与输出，会得到不同的系统微分方程（或传输算子）；会得到不同的系统微分方程（或传输算子）；但微分方程等式左边的算子多项式都相同。但微分方程等式左边的算子多项式都相同。19机械工业出版社设信号在信号在t=0接入系接入系统，信号接入前最后，信号接入前最后时刻刻用用t=0表示，称表示，称为起始起始时刻；信号接入后最初刻；信号接入后最初时刻用刻用t=0+表示，称表示，称为初始初始时刻。分析系刻。分析系统的起点的起点有有选在在0时刻时刻与与0+时刻时刻两种系两种系统模式。模式。10起始条件起始条件把系统在把系统在t=0时刻的一组相互
13、独立的数据称时刻的一组相互独立的数据称为起始条件，或起始值。为起始条件，或起始值。起始条件有两种常见选取方法：起始条件有两种常见选取方法：2.2.3边界条件边界条件20机械工业出版社（1）选择系统中独立电感的电流）选择系统中独立电感的电流iL(0)和独立电容和独立电容的电压的电压vC(0)。（2）选择）选择r(0)，r(0)，r(k)(0)，r(n-1)(0)。其中，其中，20+初始条件系系统在在t=0+时刻的一刻的一组相互独立的数据被称相互独立的数据被称为初始条件。初始条件。常常见的的选取方法与起始条件相似。取方法与起始条件相似。21机械工业出版社（1）选择系系统中独立中独立电感感电流流iL
14、(0+)和独立和独立电容容电压vC(0+)为初始初始值。如如果果在在t=0时刻刻，没没有有冲冲激激电流流（或或者者阶跃电压）作作用用于于电容容，vC(t)不不会会发生生跳跳变；若若无无冲冲激激电压（或或阶跃电流流）作作用用于于电感感，iL(t)不不会会发生生跳跳变。则vC(t)和和iL(t)在在t=0满足足换路定律，有路定律，有（2）选择选择r(0+)，r(0+)，r(k)(0+)，r(n-1)(0)。22机械工业出版社3、说明、说明（1）独立独立边界条件的个数等于系界条件的个数等于系统中独立中独立储能元件能元件的个数，也等于系的个数，也等于系统微分方程的微分方程的阶数。数。（2）在）在iL(
15、0)和和vC(0)这组边界条件中只要有一这组边界条件中只要有一个不个不为零，系统就存在零输入响应。为零，系统就存在零输入响应。iL(0)和和vC(0)，或或iL(0+)和和vC(0)这两组数据不能直接用作解微分方程这两组数据不能直接用作解微分方程的的边界条件，但其物理概念清楚。边界条件，但其物理概念清楚。（3）r(k)(0)与与r(k)(0+)这两组数据通常用作解这两组数据通常用作解n 阶阶微微分方程的边界条件。分方程的边界条件。23机械工业出版社2.3系统单位冲激响应系统单位冲激响应1、单位冲激响位冲激响应（简称冲激响称冲激响应）的定）的定义在在单位冲激信号位冲激信号d d (t)作用下，系
16、作用下，系统的零状的零状态响响应，记为h(t)。n阶LTI因果系因果系统的的h(t)满足以下微分方程足以下微分方程:24机械工业出版社2、求解思路、求解思路根根据据d d (t)的的特特点点，把把微微分分方方程程分分解解为为t=0和和t 0两个两个时间区域，有区域，有(pn+an1 pn1+ +a0)h(t)=0t 0(pn+a0)h(t)=(bm pm+bm1pm1+b0) )d(d(t)t =0若若nm，先先根根据据齐次次微微分分方方程程求求出出h(t)的的通通解解，再再求求出出h(t)的的各各阶导函函数数ph(t)，p2h(t)，pnh(t)，然然后后代代入入t =0的的非非齐次次微微分
17、分方方程程，通通过比比较等等式式两两边pkd d(t)（k=0，1，2，n）的的系系数数，确确定定通通解解的系数，的系数，进而得到唯一解而得到唯一解h(t)。25机械工业出版社3、求解求解nm微分方程微分方程举例例例 已知描述某因果系统的微分方程为已知描述某因果系统的微分方程为r(t) +7r(t)+10r(t) =21e(t)求该系统的单位冲激响应。求该系统的单位冲激响应。解：当激励当激励e(t)=d d (t)时，响应时，响应r(t)=h(t)，有，有h(t) +7h(t)+10h(t) =21d d (t)t0第一步，根据齐次微分方程求第一步，根据齐次微分方程求h(t)的通解。的通解。当
18、当t0时，时，d d (t)=0，齐次微分方程为，齐次微分方程为h(t) +7h(t)+10h(t) =0特征方程为特征方程为26机械工业出版社特征根为特征根为:l l1= 2，l l2= 5系统单位冲激响应的通解系统单位冲激响应的通解h(t)=(k1e2t +k2e5t)u(t)第二步，根据第二步，根据t = 0的非齐次微分方程确定通解的系数。的非齐次微分方程确定通解的系数。 h (t)=(2k1e2t +5k2e5t)u(t)+(k1e2t +k2e5t) )d d ( (t)利用利用f(t)d d(t)=f (0)d d(t)的关系，简化上式的关系，简化上式 h (t)=(2k1e2t
19、+5k2e5t)u(t)+(k1 +k2) )d d ( (t)h (t)=(4k1e2t +25k2e5t)u(t)(2k1+5k2)d d(t)+(k1+k2)d d (t)把把h(t)、h (t)、h (t)代入式代入式h(t) +7h(t)+10h(t) =21d d (t)27机械工业出版社整理得整理得(5k1+2k2) )d d ( (t)+(k1+k2)d d (t)=21d d (t)比较等式两边函数比较等式两边函数d d (t)和和d d (t)的系数，得到方程组的系数，得到方程组解以上方程组，得解以上方程组，得；k1=7，k2=7。该系统单位冲激响应为该系统单位冲激响应为h
20、(t)=7(e2te5t)u(t)28机械工业出版社4、求解求解nm微分方程微分方程举例例思路：当当nm时，传输算子时，传输算子H(p)是假分式。是假分式。先通过长除，把假分式分解为一个先通过长除，把假分式分解为一个p算子多项式算子多项式与一个真分式传输算子之和的结构，真分式传输与一个真分式传输算子之和的结构，真分式传输算子部分按以上讨论的方法求冲激响应。算子部分按以上讨论的方法求冲激响应。例已知描述系统的微分方程为已知描述系统的微分方程为(p2+5p +6)r(t)=(p2+2p +3)e(t)求：系统单位冲激响应求：系统单位冲激响应h(t)。29机械工业出版社解：用用长除法分解除法分解传输
21、算子算子其中其中 意义：把原系统分解为两个子系统。其中，子系统把原系统分解为两个子系统。其中，子系统 h1(t)已求出，只需要求子系统已求出，只需要求子系统h2(t)。h2(t)按前按前述述n m的情况求解。的情况求解。30机械工业出版社 本节主要解决以下几个问题：本节主要解决以下几个问题：* * 什么是卷积？什么是卷积？* * 卷积有何实际意义？卷积有何实际意义？* * 如何计算卷积？如何计算卷积？* * 卷积运算有哪些规律？卷积运算有哪些规律？2.4 卷积卷积31机械工业出版社一、卷积的定义一、卷积的定义在卷积积分运算中，在卷积积分运算中，t是参变量，变化区域是参变量，变化区域(，)；随；
22、随t 变化，积分上、下限会发生相应变化，积分上、下限会发生相应的变化。卷积积分的难点是积分分段和确定积分的变化。卷积积分的难点是积分分段和确定积分上、下限。上、下限。2.4.1 卷积的定义和意义卷积的定义和意义32机械工业出版社2.卷积的意义卷积的意义（1）连续时间信号的冲激函数分解）连续时间信号的冲激函数分解当当f1(t)=e(t)，f2(t)=d d (t)时，利用了冲时，利用了冲激函激函数的筛选性，有数的筛选性，有数学含义：数学含义：任何连续时间函数与单位冲激函数卷任何连续时间函数与单位冲激函数卷积等于该函数。积等于该函数。物理意义：物理意义：任何连续时间信号都能够分解为无限多任何连续时
23、间信号都能够分解为无限多冲激函数的线性叠加。或者说，任何连续时间信号冲激函数的线性叠加。或者说，任何连续时间信号都能由无限多个冲激函数线性叠加构成。都能由无限多个冲激函数线性叠加构成。33机械工业出版社推导：推导：任意连续时间信号用一系列矩形脉冲去近任意连续时间信号用一系列矩形脉冲去近似。把似。把t 轴分割成宽度为轴分割成宽度为 的无穷多小段，每段的无穷多小段，每段内的内的e(t)值用该段起始时刻的函数值近似。值用该段起始时刻的函数值近似。te( ( ) )d d(t )e(0)d d(t)00 2 k (k+1) te(0)e(k)e()当当时，时，e(t)用以下矩形近似表示用以下矩形近似表
24、示34机械工业出版社在任意时间段，在任意时间段，e(t)的近似函数的近似函数e (t)为为 当当 0时，时，e (t)e(t)，求和运算变为积分运算，求和运算变为积分运算， d ，k t ，。上式的极限为上式的极限为 35机械工业出版社(2)分析分析LTI连续时间系统的零状态响应连续时间系统的零状态响应LTI系统系统d d (t)h(t)LTI系统系统e( )h(t- ) e( )d d (t- )LTI系统系统含义：在信号含义：在信号e(t)单独作用下，单独作用下，LTI连续时间系统的连续时间系统的零状态响应零状态响应rzs(t)等于输入信号等于输入信号e(t)与单位冲激响应与单位冲激响应h
25、(t)的卷积的卷积.36机械工业出版社1.解析法解析法所谓解析法就是用一个闭和的解析表达式所谓解析法就是用一个闭和的解析表达式来计算卷积积分，一般用于分段简单的函数。来计算卷积积分，一般用于分段简单的函数。例 计算卷积计算卷积u(t)*u(t)。解：根据卷积定义，有根据卷积定义，有2.4.2 计算卷积计算卷积自变量必须满足：自变量必须满足： 0和和t 0，被积函数的非，被积函数的非零区间：零区间：0 0，右移；，右移；t0，左移。，左移。（3）乘乘运算，或被积函数运算，或被积函数f1( ) f2( t )；（4）计算计算f1( ) f2(t ) 重叠区域的面积。重叠区域的面积。随着参变量随着参
26、变量t 移动，移动，f1( )f2(t )的重叠区间的重叠区间在不断变化，重复步骤在不断变化，重复步骤(3)和和(4)。利用图形的直观性辅助卷积计算的方法。利用图形的直观性辅助卷积计算的方法。 39机械工业出版社011e(t)t01h(t)= et u(t)t例e(t)与与h(t) 的波形如图所示，求的波形如图所示，求rzs(t) = h(t)* e(t)自变量变换：自变量变换：t e( ) h( )=e u( )40机械工业出版社011e( )0-11e(- )e( t - )t 1t当当t 从从 变到变到+时时，有有t 0，e (t)右移右移t t 1e(t- )关键点：分段与确定积分上、
27、下限。关键点：分段与确定积分上、下限。41机械工业出版社t001t-1t0 t0f2(t- )右移右移t 0f2(t- )左左移移-2t22t+2f2(- )-22f2(t - )t2t+2-22f2(t - )t2t+245机械工业出版社t 4两波形没有重叠部分，被积函数两波形没有重叠部分，被积函数0，故有，故有-22f2(-)t-2 t +2-2 246机械工业出版社-4 t 0两波形重叠区域为两波形重叠区域为-2，t +2 t-2 t +2-2 2-22f2(- ) t-2 t +247机械工业出版社04 t-2 t +2-22-22f2(- ) t-2 t +248机械工业出版社卷积结
28、果卷积结果t- 4 4f(t)6022f1(t)t2023/4f2(t)t2两两个个等等宽宽矩矩形形卷卷积积为为等等腰腰三三角角形形；三三角角形形的的非非零零值值脉脉宽宽是是两两个个矩矩形形非非零零值值脉脉宽宽之之和和；f(t)的的脉脉宽宽下下限限是是f1(t)和和f2(t)的的脉脉宽宽下下限限之之和和，f(t)的的脉脉宽宽上上限限是是f1(t)和和f2(t)的脉宽上限之和。的脉宽上限之和。49机械工业出版社2.4.3卷积的性质卷积的性质一、时移性一、时移性若有若有f(t) = f1(t) f2(t)则有则有f1(tt1) f2(tt2)=f1(tt2) f2(tt1)=f1(tt2t1) f
29、2(t)=f1(t) f2(tt2t1)=f (t t1t2)设函数设函数f1(t)、f2(t)、f3(t)中任意两者的卷积中任意两者的卷积均存均存在，则卷积积分存在如下运算规律。在，则卷积积分存在如下运算规律。 50机械工业出版社例 计算以下卷积：计算以下卷积：(1) f(t) d d (t t0) (2) ) d d ( (t t1) d d (t t2) 解：(1)已知已知f(t)* d d (t)=f(t)，以及卷积的时移性，得，以及卷积的时移性，得f(t) d d (t t0)=f (t t0)(2)根据根据d d(t)* * d d (t)=d d (t)与与时移性，有移性，有 d
30、 d (t t1) d d (t t2)=d d (t t1 t2)51机械工业出版社证明：根据卷积定义根据卷积定义 令令 t1=x，则有有 =x +t1，d =dx，代入上式，代入上式，证毕。证毕。52机械工业出版社二、交换律二、交换律运算规律：交换两个函数卷积的次序不改变运算结果。运算规律：交换两个函数卷积的次序不改变运算结果。 证明：已知已知 令令t =x，则有有 =tx，d =dx，代入上式，得，代入上式，得证毕。证毕。53机械工业出版社物理意义：物理意义：h(t)e(t)r(t) = e(t)*h(t)h(t)e(t)r(t) = h(t)*e(t)信号信号e(t)作用于作用于单位冲
31、激响位冲激响应为h(t)的的LTI连续时间系系统产生的零状生的零状态响响应与信号与信号h(t)作用于作用于单位冲激响位冲激响应是是e(t)的的LTI连续时间系系统产生的生的零状零状态响响应完全相同。完全相同。54机械工业出版社三、分配律三、分配律分配律分配律说明明加法运算与卷加法运算与卷积积分运算可以互分运算可以互换次序。次序。证明：证毕。证毕。55机械工业出版社两种物理解两种物理解释：f1(t)f2(t)+f3(t)r(t)（1）若把若把f1(t)视为LTI系系统的冲激响的冲激响应，f2(t)+f3(t)视为系系统的激励，分配律告的激励，分配律告诉我我们：两个：两个信号共同作用于信号共同作用
32、于LTI系系统产生的零状生的零状态响响应等于等于每个信号每个信号单独作用于独作用于该系系统产生的生的零状零状态响响应之和。之和。f1(t)f2(t)f1(t)f3(t)r(t) 56机械工业出版社f1(t)f2(t)+f3(t)r(t)f1(t)f2(t)r(t)f3(t)（2）若）若f2(t)+f3(t)是是LTI系统的单位冲激响应，系统的单位冲激响应，f1(t)为系统激励，分配律指出：一个单位冲激响应为为系统激励，分配律指出：一个单位冲激响应为f2(t)+f3(t)的的LTI系统，可由两个系统，可由两个LTI子系统并联子系统并联构构成。成。f1(t)作用于并联系统产生的零状态响应等于作用于
33、并联系统产生的零状态响应等于f1(t)分别作用于两个子系统产生的零态响应之和。分别作用于两个子系统产生的零态响应之和。并联并联LTI系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应等于各等于各LTI子系统冲激响应之和子系统冲激响应之和。57机械工业出版社例例重算以下两个门函数的卷积积分。重算以下两个门函数的卷积积分。已知已知u(t) u(t)=R(t)，利用分配律和时移性，利用分配律和时移性，022f1(t)t2023/4f2(t)t258机械工业出版社四、结合律四、结合律运算含运算含义：交交换卷卷积积分的先后次序不影响运算分的先后次序不影响运算结果。果。物理含义及引申含义：物理含义及引申含义：(1)LT
34、I级联系统的冲激响应等于各级联系统的冲激响应等于各LTI子系统冲激响子系统冲激响 应的卷积应的卷积 。(2)LTI系统级联构成的复合系统仍是系统级联构成的复合系统仍是LTI系统。系统。(3)LTI系统可以任意交换级联次序系统可以任意交换级联次序 。f2(t)*f3(t)f1(t)r(t)f1(t)*f2(t)r(t)f3(t)f1(t)f2(t)59机械工业出版社例在在图示复合系统中，已知三个子系统的冲激响应图示复合系统中，已知三个子系统的冲激响应分别为分别为h1(t)=u(t)，h2(t)=etu(t)，h3(t)=d d (t)，求该，求该复合系统的冲激响应复合系统的冲激响应h(t)。解：
35、利用卷积的结合律和分配律，得利用卷积的结合律和分配律，得e(t) h2(t) h3(t)+r(t) h1(t)60机械工业出版社证明结合律：证明结合律：交交换积分的先后次序，令分的先后次序，令 l l =x，y(t)=f2(t)*f3(t)，有有 证毕。证毕。61机械工业出版社五、微分性五、微分性例例计算以下卷积：计算以下卷积：(1)f (t) d d (t)(2)f (t) d d (t t0)解：(1)运用卷积的微分性及已知运用卷积的微分性及已知f(t)*d d(t)=f(t)，有，有 f(t)*d d(t)=f (t)*d d (t)=f (t)(2)利用卷积的微分性和时移性，得利用卷积
36、的微分性和时移性，得62机械工业出版社证明：证毕。证毕。交交换积分与求分与求导的先后次序，得的先后次序，得同理可证得同理可证得63机械工业出版社六、积分性六、积分性如果不仅如果不仅f1(t)* f2(t)存在，而且积分存在，而且积分和和也存在，则有也存在，则有推论：推论：64机械工业出版社011e(t)t01h(t)= e t u(t)t例 重求重求rzs(t) = h(t)* e(t)解：方法一方法一则则65机械工业出版社方法二：方法二：则则011e(t)t01h(t)= e t u(t)t66机械工业出版社例在在图a所所示示电系系统中中，电流流源源iS(t)=2u(t)A，求求输出出电压v
37、C(t)。a)7 is(t)+- -1H0.1Fvc(t)b)7d d (t)+- -p10/pvc(t)解：画画算算子子电路路；令令is(t)=d d(t)，则vc(t)=h(t)；选择参参考考节点，如点，如图b所示；列所示；列节点点电压方程，有方程，有整理得整理得67机械工业出版社式式(1)的特征方程的特征方程为：特征根特征根为：l l1=2，l l2=5。h(t)的通解的通解为把把h(t)、h(t)和和h(t)代入式代入式(2)，得：得：式中系数满足方程组式中系数满足方程组68机械工业出版社解得：解得：该系统的单位冲激响应为：该系统的单位冲激响应为：在电流在电流is(t)=2u(t)A作用下，系统零状态响应为：作用下，系统零状态响应为：利用卷积的微、积分性，计算得：利用卷积的微、积分性，计算得：69机械工业出版社
