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1、第三章第三章 插值法和最小二乘法插值法和最小二乘法 3.1 插值法插值法 3.2 插值多项式中的误差插值多项式中的误差 3.3 分段插值法分段插值法 3.4 Newton插值插值 3.5 Hermite插值插值 3.6 三次样条三次样条 插值插值 3.7 数据拟合数据拟合1插值法与最小二乘法优秀本章要点要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值,而数据拟合则是另外一类的函数近似问题.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值在本章的
2、最后介绍了拟合的最小二乘法P122. 2. 5. 10. 11. 16. 19, 20 , 25. 27. 本章作业2插值法与最小二乘法优秀 为了计算函数值或分析函数的性态为了计算函数值或分析函数的性态, 必须首先产必须首先产生函数可计算的近似式生函数可计算的近似式. 函数的插值与数据拟合的函数的插值与数据拟合的最小二乘法就是研究如何用简单函数为各种离散数最小二乘法就是研究如何用简单函数为各种离散数据建立连续模型据建立连续模型,为各种非有理函数提供好的逼近为各种非有理函数提供好的逼近, 使它们既能达到精度要求使它们既能达到精度要求, 又使计算量尽可能小又使计算量尽可能小. 插插值与数据拟合是数
3、值计算的最基本的内容值与数据拟合是数值计算的最基本的内容, 这方面的这方面的研究无论是对实际应用还是对数值计算领域本身都研究无论是对实际应用还是对数值计算领域本身都是极为重要的是极为重要的.请看下面的问题请看下面的问题:3插值法与最小二乘法优秀给出概率积分的一个函数表格:012340.450.460.470.480.490.47550.4847 0.4937 0.50270.5117有什么简便的方法, 可求出当x=0.463的概率积分值的近似值?4插值法与最小二乘法优秀一、插值问题一、插值问题能否找到一个性能优良、便于计算的函数满足:5插值法与最小二乘法优秀-(1)这就是插值问题, (1)式为
4、插值条件,其插值函数的图象如图6插值法与最小二乘法优秀7插值法与最小二乘法优秀二、插值多项式的存在唯一性二、插值多项式的存在唯一性插值函数类插值函数类: 多项式, 分段多项式, 有理函数, 样条函数, 三角多项式. 求插值多项式的方法称为多项式插值多项式插值.且满足-(2)-(3)8插值法与最小二乘法优秀-(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式9插值法与最小二乘法优秀定理1. 由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解-(2)-(3)则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法1
5、0插值法与最小二乘法优秀三、Lagrange插值多项式设-(5)11插值法与最小二乘法优秀-(6)n+1次多项式由待定系数法可求得:12插值法与最小二乘法优秀-(6)(请同学们思考)从而插值法与最小二乘法优秀其中-(6)-(7)14插值法与最小二乘法优秀例例1:解解:15插值法与最小二乘法优秀且在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值16插值法与最小二乘法优秀Lagrange线性插值基函数为Lagrange线性插值多项式为17插值
6、法与最小二乘法优秀例例2.解解:Lagrange插值基函数为插值基函数为Lagrange线性插值多项式为线性插值多项式为18插值法与最小二乘法优秀所以19插值法与最小二乘法优秀20插值法与最小二乘法优秀一、插值余项满足不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？21插值法与最小二乘法优秀令设其中22插值法与最小二乘法优秀23插值法与最小二乘法优秀根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于因此24插值法与最小二乘法优秀所以定理1.Lagrange型余项25插值法与最小二乘法优秀设则26插值法与最小二乘法优秀例1:解:27插值法与最小二乘法优秀28插值法与最小二乘法优秀Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高如果增一个节点, 所有基函数必须重新计算29插值法与最小二乘法优秀例2.并作图比较.解:30插值法与最小二乘法优秀不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象31插值法与最小二乘法优秀结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.32插值法与最小二乘法优秀
