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1、优秀学习资料欢迎下载专题八 四边形第一节平行四边形一【知识梳理】（一） 平行四边形1. 平行四边形是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一 2.平行四边形的定义: 两组对边分别平行的四边形 是平行四边形。 3平行四边形的性质：4. 平行四边形的判定：ABCD 两组对边分别平行且相等两组对角分别相等对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对角分别相等对 角 线 互 相 平 分四边形平行四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载5. 平面的密铺定义：
2、把形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接在一起，使得平面上不留空隙，不重叠，这就是平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌对于限于用一种图形密铺的问题，有三角形、四边形和正六边形，如果能实现平面图形的密铺，在每个顶点集中的顶角要刚好拼成一个周角（二）特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形1.矩形性质与判定：矩形的性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形具有平行四边形的所有性质矩形的判定 ：有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 2.菱形的性质与判定：菱形的性质 ：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角具有平行四边形
3、所有性质菱形的判定 ：对角线互相垂直的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 3.正方形的性质与判定：正方形的性质 ：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形方法与建议：注意从“边、角、对角线”等方面理解特殊四边形的性质和判定；特殊四边形的判定要分清是在哪种图形的基础上做出判断的。注意性质与判定的互逆关系（三）面积计算：（1）平行四边形：S=底高；（2）矩形： S=长宽（3）菱形：
4、1212Sll（12ll、是对角线）正方形：S=边长2（四）平行 四 边 形 与 特 殊 平 行 四 边 形 的 关 系二【课前练习 】1. 请在能够进行平面图形的密铺的图形后打“”若不能打“”（ 1）正方形（） ；（2）正七边形（） ；（3）正六边形（） ；（ 4）正三角形与正十边形（） ；（5）正方形与正八边形（） ；（ 6）正三角形、 正方形与正六边形 （） ； （7） 任意四边形 （） ； （8）任意三角形 （） 2. 下列四个命题中，假命题是（） A两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形B菱形的一条对角线平分一组对角 C顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形 D等腰梯形的两
5、条对角线相等3 以不在同一直线上的三点作平行四边形的三个顶点，则可作出平行四边形（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载第 11 题图第 12 题图第 13 题图4 如图，ABCD 中，对角线AC和 BD 相交于点O ，如果 AC=12 ，BD=10 ，AB=m ，那么 m的取值范围是（） A 1m 11；B2 m 22； C10m 12；D5m 6 5.给出的条件中，能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（） （A）ABCD， A C（B）ABBC，CD D
6、A（C） ABCD，ADBC（D） A B， C D6.如图，ABCD 中， A30， AB6， AD2，则ABCD 的面积是（） （A）23（B）3 （C）6 （D）12 7. n 边形的每个内角等都等于120，则 n 等于 _. 8. 一个正多边形的每个外角都是36，则这个多边形是_边形9. 师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行（1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金窗料（如图），使 AB=CD ， EF= GH ；（2）摆放成如图的四边形，则这时窗框的形状是，根据的数学道理是_（3）将直角尺靠紧窗框的一个角( 如图 ) 调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时( 如图) 说明窗框
7、合格，这时窗框是_，根据的数学道理是_ 10如图，在ABCD 中， BD 是对角线， E、F 是对角线上的两点，要使 BCF DAE，还须添加一个条件（只须添加一个条件）是_11.已知如图，在ABCD 中， ABC 的平分线与AD 相交于点P求证： PDCDBC12已知：如图，ABCD 的对角线AC， BD 相交于点O，过点 O 的直线与AD、BC 分别相交于点E、F求证： OEOF13已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，F、G 是 AB 边上的两个点，且FC 平分BCD，GD 平分 ADC ，FC 与 GD 相交于点E求证： AFGB14. 在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长
8、纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？甲同学说：这是一个平行四边形乙同学说：这是一个菱形请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形 ABCD 中， AB CD ， AD BC ， 边 CD与边 BC上的高相等，试判断四边形 ABCD的形状15. 用三种不同的方法把平行四边形面积四等分 （在所给的图形图如图1478 中，画第 10 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载ABCDOE出你的设计方案，画图工具不限）16. 如图
9、，在四边形ABCD中， E 、 F、G、H分别是边AB 、BC 、CD 、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，添加的条件_，理由：三【课后训练】 1. 平行四边形一组对角的平分线（） A在同一条直线上；B平行； C 相交； D平行或在同一直线上2. 如图，在ABCD 中，如果点M为 CD中点， AM与 BD相交于点 N那么SDNM：SABCD为（） A 1： 12 B1： 9 C1：8 D1：6 3. 如图，延长正方形ABCD 的一边 BC 至 E，使 CEAC，连结 AE 交 CD 于 F，则 AFC 的度数是（）A、 112.5B、120C、122.5D、 13
10、54. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（） A 四个角都是直角； B对角线相等； C对角线互相平分；D对角线互相垂直5. 如图，在周长为20cm 的ABCD 中，AB AD，AC、 BD 相交于点 O，OEBD 交 AD 于 E，则 ABE 的周长为（）D (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 6.如图，四边形ABCD 为矩形纸片把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在 CD 边的中点E 处，折痕为AF若 CD 6，则 AF 等于（ A）（A）34（B）33（C）24（D）7（ 2007 浙江义鸟）在下列命题中，正确的是（）A一组对边平行的四边形是平行四边形 B 有一个角
11、是直角的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形8（ 2007 甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是( ) A平行四边形B菱形C矩形D正方形9（ 2007 浙江绍兴）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，E 为 BC 的中点，则下列式子中一定成立的是（）AAC=2OE BBC=2OE C AD=OE DOB=OE 10.如图（ 1） ，在平面四边形ABCD中，CEAB，E为垂足如果125A，则BCE（）B A D F E C B A B C D E F A E B C D 图（ 1）精选学习资料 - - - -
12、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载ABCDEFO5535253011（2007 天津）已知矩形ABCD ，分别为AD 和 CD 为一边向矩形外作正三角形ADE 和正三角形CDF，连接 BE 和 BF，则BFBE的值等于。12（2007 甘肃陇南）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点 E、F，23ABBC，则图中阴影部分的面积为 3 13. 已知ABCD 的周长为30 ， AB ： BC=2 ： 3， 那么 AB=_. 14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 、F 在对角线 A
13、C上，且 AE=CF ，请你以 F为一个端点，和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需说明一组线段相等即可）（1）连接 _； （2）猜想 _ （3）说明理由 . 15. 菱形 ABCD 的对角线交于O 点，DEAC ，CEBD ，求证：四边形OCED 是矩形。16. 如图，在菱形ABCD 中， AC 、BD 相交于点O，且 CA ：BD=l ：3 ,若 AB=2 ，求菱形ABCD 的面积17 . 如图，矩形ABCD中，AB8，BC6，对角线AC上有一个动点P （不包括点A和点C） 设APx，四边形PBCD的面积为y（1）写出y与x的函数关系，并确定
14、自变量x范围（2）有人提出一个判断：“关于动点P，PBC面积与 PAD面积之和为常数”请你说明此判断是否正确，并说明理由18. 检查你家（或教室）的门框（或方桌面）是不是矩形，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？并解释其中的道理。19.（2007 甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG 都是正方 形，连接AE、CG（1）求证： AE=CG；（2）观察图形，猜想AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想20. （2007山东青岛）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C与 A重合，点 D落到 D处，折痕为 EF（1）求证： ABE AD F；（2）连接 CF，判断四边形AECF 是什么特
15、殊四边形？证明你的结论A B C D E F DD A D E C B O 第 15 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载21（2007 福建晋江）如图，四边形ABCD 为矩形， AB4，AD3，动点 M、N 分别从 D、B 同时出发，以1 个单位 /秒的速度运动，点M 沿 DA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点C 运动。过点N 作 NPBC，交 AC 于点 P，连结 MP。已知动点运动了x秒。（ 1）请直接写出PN 的长； （用含x的代数式表示）（ 2）若 0 秒x1 秒，试求 MP
16、A 的面积 S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。（ 3）若 0 秒x3 秒， MPA 能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由。答案：3412x；23)23(322xS，当1x时， S有最大值，S最大值34。当1x，或4354x，或89x时， MPA 是等腰三角形。22. 如图， 已知正方形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，E是 AC上一点， 过点 A作 AG EB ，垂足为G，AG交 BD于 F，则 OE=OF 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BOE AOF 90o，BO=AO ，又因为 AG EB，所以 l+ 3 =90=2+3，所
17、以 l 2，所以Rt BOE RtAOF ，所以 OE=OF 解答此题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E在 AC的延长线上， AG EB ，AG 交 EB 的延长线于 G，AG 的延长线交DB 的延长线于点F，其他条件不变，则仍有OE=OF 问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由23.（本题满分12 分）如图11，在正方形ABCD 中，点 F 在 CD 边上，射线AF 交 BD 于点E，交 BC 的延长线于点G. （1）求证： ADECDE；（2）过点 C 作 CHCE，交 FG 于点 H，求证： FH=GH ；（3）设 AD=1，DF =x，试问是否存在
18、x的值，使 ECG 为等腰三角形，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。第二节 梯形一【知识梳理】（1）定义：一组对边平行，另一组对进不平行的四边形叫梯形特殊梯形：两腰相等的梯形叫等腰梯形一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形（2）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的对角线相等（3）等腰梯形的判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形（4）等腰梯形常见的作辅助线的方法作等腰梯形的两条高，将等腰梯形分成一个矩形和两个全等直角三角形，如图l 426 M A B C N D P A B C D E F H G 精选学习资料 - - - - - - - -
19、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载平移一腰，将等腰梯形化成一个平行四边形和一个等腰三角形如图l 427平移对角线，将等腰梯形转化为等腰三角形，如图l 428如果题中有一腰的中点，则可连结上底的一个顶点和一腰的中点并延长交下底一点，如图 1 429二【课前练习 】 1. 四边形的内角和；外角和。2. 等腰梯形上底与高相等，下底是高的3 倍，则底角为（） A 30o B45 o C60 o D 75 o3. 顺次连结梯形四边中点，所成的四边形是（）A梯形 B矩形 C平行四边形 D菱形4. 已知：在等腰梯形 ABCD 中， AD BC ，对角线AC
20、 BD，AD=3cm ，BC=7cm ，则梯形的高是_cm 5. 如图，已知等腰梯形ABCD 中， AD BC，（ 1）若 AD=5 ，BC=11 ，梯形的高是4，求梯形的周长；（ 2）若 AD=a ，BC=b ，梯形的高是h，梯形的周长为C，则 C= _（请用含a、b 、c 的代数式表示，答案直接填在空格上，不要求证明) （ 3）若 AD=3 ，BC=7 ， BD=52，求证： AC BD 6. 某生活小区的居民筹集资金1600 元，计划在一块上、下底分别为10m， 20m的梯形空地上种植花木（如图10-1）他们在 AMD 和 BMC 地带上种植太阳花，单价为 8 元 /2m，当AMD 地带
21、种满花后（图 10-1 中阴影部分） ，共花了 160 元，请计算种满BMC 地带所需的费用。若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12 元/2m和10 元/2m，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变（如图10-2） ，请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得 APB DPC 且 SAPD=S BPC，并说出你的理由。三【课后训练】1、 （2007 福建福州）下列命题中，错误的是（）A矩形的对角线互相平分且相等B对角线互相垂直的四边形是菱形C等腰梯形的两条对角线相等D等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等2（ 2007 天津市）
22、在梯形ABCD 中， AD/BC ，对角线AC BD，且cmAC5， BD=12 c m，则梯形中位线的长等于（）C（考点：中位线、梯形辅助线做法、勾股定理）A. 7.5cm B. 7cm C. 6.5cm D. 6cm 3. 若等腰梯形两底之差等于一腰的长，则腰与下底的夹角为（）A60 o B30 o C45 o D15 o精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载4. 如图，矩形ABCD 中， AB=3 ，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_ 5. 如图，在梯形ABCD
23、中， AD BC， B 90， AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点 P 从 A点开始沿边AD向 D以 1cm/秒的速度运动，动点Q从 C点开始沿 CB边向 B以 3cm/秒的速度运动，P、Q分别从 A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒， t 分别为何值时，四边形PQCD 是平行四边形、等腰梯形？6. 阅读材料：多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1474 给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2 个，3 个， 4个小三角形请你按照上述方法将图l4 刁 5 中的六边形进行分割，并写出得
24、到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n 边形7（2007 南充） 如图，等腰梯形ABCD 中， AB 15，AD20， C30o点 M、N 同时以相同速度分别从点A、点 D 开始在 AB、AD（包括端点 ）上运动（1）设 ND 的长为 x，用 x 表示出点N 到 AB 的距离，并写出x 的取值范围（2）当五边形BCDNM 面积最小时，请判断AMN 的形状8如图，梯形ABCD 中。AD BC ， AB=DC ，AC 、BD相交于点O 求证： OA=ODC D B A N M 第 7 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
