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1、学习必备欢迎下载第一讲平面、空间两条直线知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论. 1）公理 1：如果一条直线上两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这条直线上。公理 1 的作用：它是用直线鉴别平面的方法。它是证明直线在平面内的重要依据。2）公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线。公理 2 的作用：它是辨别两个平面相交的方法。它说明两个平面的交线两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过交点。它是判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。3）公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有
2、且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线有切只有一个平面。公理 3 及推论的作用：它是在空间中确定平面的依据。它是证明两平面重合的依据。它为立体几何问题转化成平面几何问题提供了理论依据和具体方法。2.公理 4 及等角定理 . 公理 4：平行于同一直线的两直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行且方向相同，那么这两个角相等。3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面. 4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点。点击双基1.若 a，b 是异面直线，则只需具备的条件是A.a平面 ，b平面 ，
3、a 与 b 不平行B.a平面 ，b平面 ，=l，a 与 b 无公共点C.a直线 c，b c=A，b 与 a 不相交D.a平面 ，b 是 的一条斜线答案： C 2.如下图，直线 a、b 相交于点 O 且 a、b 成 60角，过点 O 与 a、b 都成 60角的直线有O60abABCDESADBCBCD1111A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条解析：在a、b 所确定的平面内有一条，平面外有两条. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载答案： C 3.（20XX 年北京朝阳区模拟题）如图，正四面体S AB
4、C 中， D 为 SC 的中点，则BD 与 SA所成角的余弦值是A.33B.32C.63D.62解析：取AC 的中点 E，连结 DE、BE，则 DESA， BDE 就是 BD 与 SA所成的角 .设 SA=a，则 BD=BE=23a， DE=21a，cosBDE=DEBDBEDEBD2222= 63. 答案： C 4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a， 那么（1）哪些棱所在直线与直线BA1成异面直线？ _. （2）直线 BA1与 CC1所成角的大小为_. （3）直线 BA1与 B1C 所成角的大小为_. （4）异面直线BC 与 AA1的距离为 _. （5）异面直线BA1与 CC1
5、的距离是 _. 答案：（1）D1C1、D1D、C1C、C1B1、DC、AD （2）45（3）60（4）a（5）a5.（20XX 年全国）正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E1D 与 BC1所成的角是 _. 解析：连结FE1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得FE1BC1，在 EFD 中， EF=ED=1， FED=120，FD =120cos222EDEFEDEF=3. 在 EFE1和 EE1D 中，易得E1F=E1D=1)2(2=3， E1FD 是等边三角形，FE1D=60.而 FE1D 即为 E1D 与 BC1所成的角 . 答案：
6、 60说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法. 典例剖析【例 1】 如下图，四面体ABCD 中， E、G 分别为 BC、AB 的中点， F 在 CD 上， H 在 AD 上，且有 DF FC=2 3，DHHA=23. 求证： EF、GH、BD 交于一点 . ABCDEFGHO证明：连结GE、 HF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载E、G 分别为 BC、AB 的中点，GEAC. 又 DF FC=23，DH HA=23，HF AC. GEHF . 故 G、E、F、H 四点共面 . 又 E
7、F 与 GH 不能平行，EF 与 GH 相交，设交点为O. 则 O面 ABD，O面 BCD ，而平面ABD平面 BCD=BD. EF、GH、BD 交于一点 . 评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线 . 【例 2】 A 是 BCD 平面外的一点，E、F 分别是 BC、AD 的中点，ABDEFG（1）求证：直线EF 与 BD 是异面直线；（2）若 ACBD，AC=BD，求 EF 与 BD 所成的角 . （1）证明：用反证法.设 EF 与 BD 不是异面直线，则EF 与 BD 共面，从而DF 与 BE 共面，即AD 与 BC 共面，所以A、 B
8、、C、D 在同一平面内，这与A 是 BCD 平面外的一点相矛盾.故直线 EF与 BD 是异面直线 . （2）解：取 CD 的中点 G，连结 EG、FG，则 EGBD，所以相交直线EF 与 EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与 BD 所成的角 .在 RtEGF 中，求得 FEG=45，即异面直线EF 与 BD 所成的角为 45. 特别提示证明两条直线是异面直线常用反证法；求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直， 若垂直， 则它们所成的角为90；若不垂直， 则利用平移法求角，一般的步骤是 “作（找）证算” .注意，异面直线所成角的范围是（0，2. 【例 3】 长方体 ABCD
9、 A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且 ab，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB 与 CC1；AB 与 A1C1；AB 与 B1C. （2）异面直线D1B 与 AC 所成角的余弦值. （1）解： BC 为异面直线AB 与 CC1的公垂线段，故AB 与 CC1的距离为 b. AA1为异面直线AB 与 A1C1的公垂线段，故AB 与 A1C1的距离为c.过 B 作 BEB1C，垂足为E，则 BE 为异面直线AB 与 B1C 的公垂线， BE=CBBCBB11=22cbbc， 即 AB 与 B1C 的距离为22cbbc. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
10、师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载A A B B C C D D 1111EFOAABBCCDGD1111（2）解法一：连结BD 交 AC 于点 O，取 DD1的中点 F，连结 OF 、AF，则 OFD1B， AOF就是异面直线D1B 与 AC 所成的角 . AO=222ba，OF=21BD1=2222cba，AF=2422cb，在 AOF 中， cosAOF=OFAOAFOFAO2222=)(2222222cbababa. 解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则 ACBG，D1BG（或其补角）为D1B 与 AC 所
11、成的角 . BD1=222cba，BG=22ba， D1G=224ca，在 D1BG 中，cosD1BG=BGBDGDBGBD1212212=)(2222222cbababa，故所求的余弦值为)(2222222cbababa. 深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法. 闯关训练夯实基础1.两条相交直线l、m 都在平面 内且都不在平面内.命题甲： l 和 m 中至少有一条与相交，命题乙：平面 与相交，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：若 l 和 m 中至少有一条与 相交，不妨设l=A，则由于 l，A.而 A，
12、与相交.反之，若 =a，如果 l 和 m 都不与 相交，由于它们都不在平面内，l 且 m. la 且 ma，进而得到lm，与已知 l、m 是相交直线矛盾.因此 l 和 m 中至少有一条与 相交 . 答案： C 2.（20XX 年天津， 6）如下图，在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C1D1中， O 是底面 ABCD 的中心， E、F 分别是 CC1、AD 的中点，那么异面直线OE 和 FD1所成的角的余弦值等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载ADBCBCD1111OEFABCDEFGA.510B.
13、515C.54D.32解法一：取面CC1D1D 的中心为H，连结 FH、D1H.在 FHD1中，FD1=25， FH=23，D1H=22. 由余弦定理，得D1FH 的余弦值为515. 解法二：取BC 的中点 G.连结 GC1FD1，再取 GC 的中点 H，连结 HE、OH，则 OEH 为异面直线所成的角 . 在 OEH 中， OE=23，HE=45，OH=45. 由余弦定理，可得cosOEH=515. 答案： B 3.如图，四面体ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点，若CD=2AB=2，EFAB，则 EF 与 CD所成的角等于 _. 解析：取AD 的中点 G，连结 EG、 FG，易
14、知 EG=1，FG=21. 由 EFAB 及 GF AB 知 EFFG. 在 Rt EFG 中，求得 GEF=30，即为EF 与 CD 所成的角 . 答案： 304.（20XX 年上海）在正四棱锥PABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60，则异面直线 PA 与 BC 所成角的大小等于_.（结果用反三角函数值表示）答案： arctan2 5.如下图，设不全等的ABC 与 A1B1C1不在同一平面内，且ABA1B1，BCB1C1，CAC1A1. SAABBCC111求证： AA1、BB1、CC1三线共点 . 证明：不妨设AB A1B1，AA1BB1=S， BCB1C1， BB1面 BCC1
15、B1，S面 BBC1B1.同理，S面 ACC1A1.S CC1，即 AA1、BB1、CC1三线共点于S. 6.在三棱锥ABCD 中， AD=BC=2a，E、F 分别是 AB、CD 的中点， EF=3a，求 AD 与 BC 所精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载成的角 . BCDAEFM解：取 AC 的中点 M，连结 ME、 MF，则 ME BC，MF AD，所以 EMF（或其补角）是直线AD 与 BC 所成的角 .在 EMF 中， ME=21BC=a，MF =21AD=a，EF=3a，cosEMF= 2
16、22223aaaa=21， EMF =120，因此异面直线AD 与 BC 所成的角为60. 培养能力7.如下图，在三棱锥PABC 中，AB=AC， PB=PC， E、 F 分别是 PC 和 AB 上的点且PEEC=AFFB=32. EPBFA（1）求证： PA BC；（2）设 EF 与 PA、BC 所成的角分别为 、，求证： +=90. 证明：（1）取 BC 的中点 D，连结 AD、PD. DBCPGFE则 BC平面 ADP，AP平面 ADP，APBC. （2）在 AC 上取点G，使 AGGC=32，连结EG、FG，则 EGPA，FGBC，从而 EGF为 PA 与 BC 所成的角，由（1）知
17、EGF=90，而 GEF 、 GFE 分别是 EF 与 PA、 EF 与 BC 所成的角 、， + =90. 8.如下图，设ABC 和 A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、 BB1、CC1相交于一点O，且1OAAO=1OBBO=1OCCO= 32.试求111CBAABCSS的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载AABBCC111O解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且1OAAO=1OBBO=1OCCO，所以 ABA1B1，ACA1C1， BC B1C1.由平移角定理得BAC
18、= B1A1C1， ABC = A1B1C1， ABC A1B1C1，所以111CBAABCSS=（32）2=94. 说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题. 探究创新9.如下图， 已知空间四边形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，M、 N 分别是 AB、CD 的中点， MN=7，求异面直线AC 与 BD 所成的角 . BCDAMNE3 5 7解：取 BC 的中点 E，连结 EN、EM， MEN 是异面直线AC 与 BD 所成的角或其补角. 在 EMN 中， EN=2BD=3，EM=2AC=5，MN=7，cosMEN=21， MEN=120. 异面直线AC 与 BD 所成的角是60. 思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角. 2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
