《2022年六年级奥数讲义列方程解应用题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年六年级奥数讲义列方程解应用题(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第十讲列方程解应用题小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩, 管理员叔叔开心的答道: “头数加只数, 只数减头数, 头数乘只数, 只数除头数,把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗?呵呵!认真学习今天的好方法,你就可以准确、快速的解答出上面的问题了!内容概述在小学数学中,列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础,通过分析题里的数量关系,根据四则运算的意义列式解答的。但是,两种解答方法的解题思路却不同。由于数量关系的多样性和叙述方式的不同,用算术方法解答应用题
2、,时常要用逆向思考,列式比较困难,解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题,由于引进了字母表示未知数,可以使未知数直接参与运算,使题目中的数量关系更加清楚,把未知数当成已知数来用,使我们很容易理清数量关系,正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时,用方程往往比较容易。列方程解应用题的一般步骤是:审清题意,弄清楚题目意思以及数量之间的关系,;合理设未知数x,设未知数的方法有两种:问什么设什么(直接设未知数),间接设未知数;依题意确定等量关系,根据等量关系列出方程;解方程;将结果代入原题检验。概括成五个字就是: “审、设、列、解、验”. 列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系
3、。寻找等量关系的常用方法是:根据题中“不变量”找等量关系。一些基本概念:(1)像 4x+2=9 这样的的等式,只含有一个未知数x,而且未知数x 的指数为1 的方程叫做一元一次方程;(2)像 2x+y=8 这样的的等式,含有两个未知数x、y,而且未知数的指数都为1 的方程叫做二元一次方程;把两个二元一次方程用“”写在一起,就组成了一个二元一次方程组;(3)如果有两个未知数,一般需要两个方程才能求出唯一解,如果有三个未知数,一般需要三个方程才能求出唯一解. 如果有更多的未知数,可借助今天学习的解题思路来类推出解法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
4、 - -第 1 页,共 10 页学习必备欢迎下载类型:列简易方程解应用题【例 1】 (清华附中培训试题) (难度系数:)解下列方程:(1)357xx(2)452xx(3)12(3)7xx(4)132(23)5(2)xx(5)5118()2352xx(6)1123xx(7)527xyxy(8)2311329xyxy分析:(1)375,22,21.1xxxxx移项得:注意把“同类”放在等号的同侧,移项过程中注意变号;化简得:等式两边同时除以可得:把代入原式满足等式 .以下各题不再写检验步骤,请教师强调学生答案要检验. (2)2541 .xxx,(3)1 627 7730.xxxx,(4)13465
5、2 194719 7 41234.xxxxxxxx, - =,(5)51115410410 1104()410.35236333333xxxxxxxxxx,(6)3126 33263.xxxxx()-,请教师强调学生在解答时要注意:移项变号、同类放在等式一边、(4)中去括号时每一项都要发生相应变化、(6)中每一项都同时扩大6 倍、 (5)中可以先简化运算的一定要先化简。(7)法 1:加减消元法(8)512722121323xyxyxyxy ( )( )( )式- ( )式可得:,代入( )式可得:,所以23111329212153,1 .13xyxyyyxxy ( ) ( )( ) 3-( )
6、 2可得: 5,将其代入( 1)式可得:所以可得:法 2:代入法 . 建议教师将( 7) 、 (8)贯穿起来,让学生深刻体会:( 1)代入法,以及代入法在什么情况下好用;(2)加减消元法,其本质是找(制造)到一个未知数的系数相等,再利用等式加减得到结果. 【例 2】 (清华附中培训试题) (难度系数:)汽车以每小时72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员按一声喇叭,4 秒后听到回音,听到回音时汽车离山谷多远?(声音的速度以340 米/秒计算)分析: 72 千米 /小时 =72000 米 /3600 秒=2 米/秒,设听到回音时汽车离山谷x 米,根据题意可得:3404=2x+24,解得 x=
7、676(米) .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页学习必备欢迎下载【例 3】 (小数报数学竞赛初赛)(难度系数:)用绳子测井深,绳子两折时,余 60 厘米 ,绳子三折时,差 40 厘米,求绳长和井深?分析:法 1:设井深是x 厘米,则有: 2x+602=3x-40 3 ,井深 x=240(厘米),绳长 600 厘米;法 2:设绳长是y 厘米,则有:11y-60=y+40,y=60024023解得绳长(厘米),井深厘米 .【例 4】 (奥数网习题库) (难度系数:)箱子里面有红、白两种玻璃球,红球数比白球数的3 倍多
8、两个,每次从箱子里取出7 个白球, 15 个红球如果经过若干次以后,箱子里只剩下3 个白球, 53 个红球,那么,箱子里原有红球比白球多多少个? 分析:设取球的次数为x 次那么原有的白球数为(3+7x) ,红球数为( 53+15x) 再根据题中的第一个条件: 53+15x=3( 3+7x)+2,解得 x=7,所以原有红球158 个,原有白球52 个,红球比白球多106 个此题用逆向思维较难求解,但是用方程则思路非常清晰简单【例 5】 (奥数网习题库) (难度系数:)小新去动物园看猩猩,有的猩猩在洞中,有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩,管理员叔叔开心的答道:“头数加只数,只数减头数
9、,头数乘只数,只数除头数,把四个得数相加恰好是100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗?分析:设动物园有x 只猩猩,依题意有: (x+x)+( x-x )+xx+xx=100,即 2x+0+ x x+1=100,亦即x( x+2)=99,又整数,只有唯一解=9【例 6】 (华杯赛复赛) (难度系数:)从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20 千米,下坡时每小时行驶35 千米。车从甲地开往乙地需9 小时,从乙地到甲地需 7.5 小时,问:甲乙两地公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?分析:从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从
10、甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x 千米,下坡路为y 千米,依题意得解得 x140,y=70,所以甲、乙两地间的公路有210 千米,从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路. 【例 7】 (华杯赛决赛) (难度系数:)幼儿园有三个班,甲班比乙班多4 人,乙班比丙班多4人. 老师给小孩分枣,甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣, 乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣,结果甲班比乙班总共多分了3 个枣,乙班比丙班总共多分了5 个枣,三个班总共分了多少个枣?分析:法1:设甲班有x 人,则乙班有(x4)人,丙班有(x8)人;甲班每人分得y 个枣,则乙班每人分得(
11、 y+3)个,丁班每人分得(y+8)个那么有甲班共分得xy 个枣,乙班共分得(x-4)(y+3)枣,丙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页学习必备欢迎下载班共分得 (x-8)(y+8)个枣8)8)(8(3)3)(4(yxxyyxxy,整理有7943yxyx,解得1219yx因此,甲班小孩19 人,每个小孩分枣12 个;乙班小孩15 人,每个小孩分枣15 个;丙班小孩11 人,每个小孩分枣20 个 1912+1515+1120673( 个) ,所以,三班共分673 个枣法 2:先看甲、丙两班,有甲班x 人比丙班x 人少
12、分 8x 颗枣,而甲班共分得枣比丙班多8 个,所以甲班多出的 8 人共分得8x+8 颗枣,即每人分得x+1 颗枣那有94418xxxxxx丙班乙班甲班每人枣数人数再看乙、丙班,乙班x 人比丙班x 人少分 5x 颗枣,而乙班共分得的枣比丙班多5 个枣,所以乙班多出的 4 人共分得5x+x 颗枣,即每人分得(5x+5) 4 颗枣有 (5x+5) 4x+4,解得 x11因此,甲班小孩 19 人,每个小孩分枣12 个;乙班小孩15 人,每个小孩分枣15 个;丙班小孩11 人,每个小孩分枣20个 1912+1515+1120673( 个) ,所以三班共分673 个枣类型:引入参数列方程解应用题对于数量关
13、系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。【例 8】 ( 101 中学分班考试试题)(难度系数:)五年级二班数学考试的平均分数是85 分,其中32的人得 80 分以上(含80 分),他们的平均分数是90 分。求低于80 分的人的平均分。分析:设该班级有a名同学,低于 80分的人的平均分为x, 则得方程 : 21859033aaax,解得 x=75. 【例 9】 (华杯赛决赛) (难度系数:)有两个班的小学生要到少年宫参加活动,但只有一辆车接送, 甲班的学生坐
14、车从学校出发的同时,乙班的学生开始步行,车到中途某处, 让甲班的学生下车步行,车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫,两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米, 载学生时车速为每小时40 千米,空车时速度为每小时50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?(学生上下车时间不计)888455xyzxyzxyz人数每人枣数共分枣数甲班乙班丙班精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页学习必备欢迎下载分析 :因为每班步行和坐车的行程总和一样长,又同时出发,同时到达, 所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就
15、是说图上乙步行的距离b 千米和甲步行的距离a 千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系:乙班步行 b千米 ( 也就是 a 千米 ) 所用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。设全程为x 千米,甲、乙两班分别步行a、b 千米,根据题意得:24050417xaxaaax解得:所以甲班步行了全程的17.由上例可以看出,列方程解应用题并不一定只设一个未知数,根据解题的需要,我们有时可以多设几个字母来代替数,帮助我们理清题目中复杂的数量关系,以便我们能够很快的找到解决问题的途径。【例 10】(小学奥林匹克决赛)(难度系数:)如图,在一个梯形内有两个三角
16、形的面积分别为 10 和 12,已知梯形的上底是下底长的32。那么余下的阴影部分的面积是多少?分析:设上底为a2,那么下底为a3,则上下两个三角形的高分别为aah1022101,aah832122,梯形的高是aaahh1881021,其面积为45218)32(aaa,阴影部分面积为23121045。类型:列不定方程解应用题有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的,对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求,有时只需要其中一些或个别解。精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页学习必备欢迎下载【例 11】(奥数网习题库) (难度系数:)有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8 千克油,小的能装 5 千克油, 44 千克油恰好装满这些油桶。问:大、小油桶各几个?分析:设有大油桶x 个,小油桶y 个。由题意8x+5y=44 ,知 8x44,所以 x0、1、2、3、4、5。相应的将 x 的所有可能值代入方程,可得x3 时,y=4 . 此题在解答时,也可联系数论的知识,注意到能被5 整除的数的特点,便可轻松求解. 【例 12】(迎春杯预赛 试题) (难度系数:)小华和小强各用6 角 4
18、分买了若干支铅笔,他们买来的铅笔中都是5 分一支和7 分一支的两种,而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔支分析: 设买 5 分一支的铅笔支,7 分一支的铅笔n 支。则 :5+7=64, 64 7n 是 5 的倍数用n=0,1,2,3,4,5,6,7,8 代入检验,只有n=2, 7满足这一要求,得出相应的=10,3即小华买铅笔 lO+212 支,小强买铅笔7+3=10 支,小华比小强多买2 支【例 13】(奥数网习题库)(难度系数:)小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9 分,套中小猴得 5 分,套中小狗得2 分。小明共套了10 次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得
19、 61 分。问:小明至多套中小鸡几次?分析:设套中小鸡x 次,套中小猴y 次,则套中小狗(10-x-y )次。根据得 61 分可列方程:9x+5y+2(10-x-y )=61,化简后得7x=413y。显然 y 越小, x 越大。将y=1 代入得 7x=38,无整数解;若y=2,7x=35,解得 x=5,所以小明至多套中小鸡5 次 . 附加题目【附 1】 (101 测试题)(难度系数:)甲、乙、丙、丁四人共做零件270 个。如果甲多做10 个,乙少做 10 个,丙的个数乘以2,丁做的个数除以2,那么四人做的零件数恰好相等,问丙实际做了多少个?分析 :设四人做的零件数恰好都为x,根据题意可得:(x
20、-10)+(x+10) +(x2)+(x2)=270 ,解得 x=60 ,丙实际做了602=30(个).【附 2】 (迎春杯刊赛) (难度系数:)有甲乙丙三个人,当甲的年龄是乙的2 倍时;丙是22 岁,当乙的年龄是丙的2 倍,甲是31 岁;当甲60 岁时,丙是多少岁? 分析:设丙22 岁时,乙的年龄是x 岁,当时甲的年龄就是2x 岁那么甲是3l 岁时,乙是 (31-x)岁,丙是22+(31-2x) =53-2x 岁,且有: 31-x=2 (53-2x) ,解得 x=25,所以乙25 岁时,甲50 岁,丙 22 岁那么甲 60 岁时,丙32 岁利用方程解年龄问题设定乙的年龄之后,我们可以把各个时
21、期甲、乙、丙的年龄都用含有x 的式子表达出来,继而很方便地建立等量关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页学习必备欢迎下载【附 3】 (奥数网习题库) (难度系数:)有甲、乙、丙三堆石子,从甲堆中取出8 个给乙堆后,甲、乙两堆的石子数就相等了;再从乙堆中取出6 个给丙堆,乙、丙两堆石子个数就也相等了;此时又从丙堆中取 2 个给甲堆,使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍,问:原来甲堆有多少个石子? 分析: 设甲堆原来有x 个石子, 那么甲堆取出8 个给乙后, 甲乙两堆都是 (x-8) 个石子; 然后乙取6 个给丙,乙丙的石子
22、数都变成了x-8-6=x-14 ;再从丙堆取2 个给甲堆,那么甲堆变为x-8+2=x-6 ,丙堆变为x-14-2=x-16 ,此时有关系:x-6=2( x-16) ,解得 x=26题目中的变化过程比较多,在设立未知数后,一步步跟上分析,把每一步的变化结果都用x 的式子表示出来,最后建立等量关系. 【附 4】 (人大附中分班考试试题)(难度系数:)如右图,沿着边长为90 米的正方形,按逆时针方向,甲从A 出发,每分钟走65 米,乙从 B 出发,每分钟走72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?分析:这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环
23、行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。设追上甲时乙走了x 分。依题意,甲在乙前方390=270(米) ,故有 72x65x+270.解得: x=2707,在这段时间内乙走了:2701722777()77米,由于正方形边长为90 米,共四条边,故由111277730907747 290 77777(+ )+,可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上 . 【附 5】(第十一届迎春杯决赛)(难度系数:)小明从自己家到奶奶家时,前一半路程步行,后一半路程乘车;他从奶奶家回家时,前1/3 时间乘车,后2/3 时间步行结果去奶奶家的时间比回家所用的时间多2 小时已知小明
24、步行每小时行5 千米,乘车每小时行15 千米,那么小明从自己家到奶奶家的路程是多少千米?分析:设小明家到奶奶家的路程为x 千米,而小明从奶奶家返回家里所需要的时间是y 小时,那么根据题意有:11xx22y251512x=y 15y533x=150y=18.解得,用方程解题关键在于未知数设定的合理性,解答中的一个路程未知数,一个时间未知数,恰好能够把题目中的所有关系都利用到【附 6】 (奥数网习题库) (难度系数:)有甲、乙、丙、丁4 个人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21 和 17,这 4 人中最大年龄与最小年龄的差是多少?分析:设甲、乙、丙、丁4 个人的年龄分别
25、为a、b、c、d,那么有:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页学习必备欢迎下载29323321317345(1)31a 12b 9c 3d 2121 3 18abcdbcdaacdbabdcabcd把四个式子加起来得到:再将上面方程组里面的每个式子后与( )式相减分别得到:=, = , = , =,所以年龄最大与最小的差值为- =(岁)【附 7】 (首师大附入学测试题)(难度系数:)某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4 分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6 分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每
26、隔几分发一班车?分析:此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4 分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6 分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6 分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。设汽车站每隔x 分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得:122212124()4,5x 4.6()5VVV XVVVVV X可得,进而可得=【附 8】 (北大附中培训试题) (难度系数:)小萌在邮局寄了3 种信,平信每封8 分,航空信每封1 角,挂号信每封2 角,她共用了1 元
27、 2 角 2 分。那么小萌寄的这3 种信的总和最少是多少封?分析:平信每封8 分,航空信分封1 角=10 分,挂号信每封2 角=20 分。共用了1 元 2 角 2 分=122 分。设小萌发了平信X 封,航空信Y 封,挂号信Z 封。得方程: 8X+10Y+20Z=122 ,要使这3 种信的总和最少,则挂号信应最多;再则航空信也尽可能多。因总钱数的个位是2,则平信最少是4 封。 84=32 分。其余信的总钱数为122-32=90 分。 90/20=4 10。则挂号信4 封,航空信10/10=1 封。 4+4+1=9 封。【附 9】 (迎春杯决赛 试题) (难度系数:)某校师生为贫困地区捐款1995
28、 元这个学校共有35 名教师, 14 个教学班各班学生人数相同且多于30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数,那么平均每人捐 款多少 元?分析: 设每班有a(30 a45) 名学生,每人平均捐款x 元(x 是整数 ) ,依题意有 :x(14a+35)=1995 于是14a+35|1995 又 3l a45,所以 469 14a+35665,而 1995=35719,在 469 与 665 之间它的约数仅有 665,故 14a+35=665,x=3, 平均每人捐款3 元【附 10】 (奥数网习题库) (难度系数:)甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18 的倍数,乙搬的砖数是 23 的倍数,
29、两人共搬了300 块砖。问:甲、乙二人谁搬的砖多?多几块?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页学习必备欢迎下载分析:设甲搬的是18x 块,乙搬的是23y 块,那么18x+23y=300 ,观察发现18x 和 300 都是 6 的倍数,所以 y 也是 6 的倍数, y=6 时 18x=162 x=9, y=12 时 18x=24 x=4/3 矛盾,所以甲搬了162 块,乙搬了138块,甲比乙多24 块。练习十请你用方程法解答下列问题!1一个数的4 倍加上 3 乘以 0.7 的积,和是216,则这个数是多少?分析:方程法
30、,设这个数为x, 4x+30.7 216,x1.1 2某校有学生465 人,其中女生的23比男生的45少 20 人,那么男生比女生少多少人? 分析:设女生为x 人,那么男生为(465-x)人,根据题意有:24(465)2035xx,解得 x=240,所以女生有 240 人,男生有225 人,男生比女生少15 人3某班原分成两个小组活动,第一组26 人,第二组22 人,根据学校活动器材的数量,要将一组人数调整为二组人数的一半,应从一组调多少人到二组去?分析:设应从第一组调x 人到第二组去,根据题意可得:26-x= (26+22) 3 ,解得 x=10 . 4 现有一笔钱,都是硬币。其中2 分硬币
31、比5 分硬币多 24 个。按钱数算,5 分的钱数比2 分的钱数多3角,还有53 个 1 分硬币,这笔钱一共有多少分?分析:设5 分硬币有x个,则2 分硬币有( 24+x)个,依据5 分的钱数 =2 分的钱数 +3 角,可得方程30)24(25xx,解得26x,则 2 分英镑有 24+26=50 个,共有5 26+2 50+1 53=283 (分)。5甲、乙、丙共有100 本课外书甲的本数除以乙的本数,丙的本数除以甲的本数,商都是5,而且余数也都是 1乙有书 _本分析: 设乙有课外书X 本,依题意甲有课外书(5X+1) 本,丙有课外书5(5x+1)+1=25x+6( 本 ) ,于是有(5x+1)
32、+X+(25x+6)=100,即 3lx=93 解得, X=3,于是乙有课外书3本精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页学习必备欢迎下载6如图,已知CD=5 ,DE=7 ,EF=15,FG=6直线 AB,将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是 65那么三角形ADG面积是多少 ?分析:不妨设ADE 的面积 =a ,因为 DE:EG = 7: (15+6)=1:3,所以AGE 的面积 =3a ;不妨设 CEB 的面积 =4b ,因为CE :EF = (5+7) :15 =4:5 ,所以BEF的面积 =5b ;
33、根据题意可得:a+4b=38 ,3a+ 5b=65,解得: a=10 , b=7 ;那么三角形ADG 面积 =ADE+AGE=4a=40 。7设 A和 B都是自然数,并且满足:11A+3B=3317,那么, A+B= 。分析: 把等式的左边通分,比较左右两边的分子,得3A+11B=17 。故 B=1,A=2,A+B=3 年薪 40 万的面试题小明和小强都是张老师的学生,张老师的生日是M 月 N 日, 2 人都不知道张老师的生日是下列10 组中的哪一天,张老师把M 值告诉了小明,把N 值告诉了小强,张老师问他们知道他的生日是哪一天吗?3 月 4 日、 3 月 5 日 、 3 月 8 日 、6 月 4 日、 6 月 7 日 、9 月 1 日 、9 月 5 日 、12 月 1 日 、12 月2 日、12 月 8 日 ;小明说:如果我不知道的话,小强肯定也不知道小强说:本来我也不知道,但是现在我知道了小明说:哦,那我也知道了请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天?答案: 9 月 1 日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页