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1、名师总结优秀知识点初中数学二次函数知识归纳1. 定义:一般地,如果cbacbxaxy,(2是常数,)0a,那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质:(1)抛物线2axy的顶点是坐标原点,对称轴是y轴. (2)函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点;当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. (3)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy)(0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线 . 4. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成:khxay2的形式,其中abackabh4422,. 5. 二
2、次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:2axy;kaxy2;2hxay;khxay2;cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向:当0a时,开口向上;当0a时,开口向下;a相等,抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合)的直线记作hx. 特别地,y轴记作直线0x. 7. 顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数,如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:abacabxacbxaxy442222,顶点是),(abacab4422,对称轴是直线a
3、bx2. ( 2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay2的形式,得到顶点为(h,k) ,对称轴是直线hx. ( 3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 9. 抛物线cbxaxy2中,cba,的作用( 1)a决定开口方向及开口大小,这与2axy中的a完全一样 . ( 2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2, 故:0b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页名师总结
4、优秀知识点时,对称轴为y轴;0ab(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧;0ab(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧 . ( 3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0x时,cy,抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点(0,c) :0c,抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴;0c, 与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧,则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴)( 0,0 )kaxy20x(y轴)(0, k) 2hxay
5、hx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422,) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式( 1)一般式:cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值,通常选择一般式. ( 2)顶点式:khxay2. 已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式. ( 3)交点式:已知图像与x轴的交点坐标1x、2x,通常选用交点式:21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点( 1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). ( 2)与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). ( 3)抛物线与x轴的交点:二次函数cbxax
6、y2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x, 是对应一元二次方02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:有两个交点0抛物线与x轴相交;有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切;没有交点0抛物线与x轴相离 . (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时, 两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页名师总结优秀知识点则横坐标是kcbxax2的两个实数根. (5)一次函
7、数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点,由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定:方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点;方程组无解时l与G没有交点 . (6)抛物线与x轴两交点之间的距离:若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021,xBxA,由于1x、2x是方程02cbxax的两个根,故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线,这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征:有开口方向;有对称轴;有顶点。3、二次函
8、数图像的画法五点法:(1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴(2)求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点:当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C及对称点D。由 C、M 、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B ,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。14、二次函数的解析式有三种形式:(1)一般式:)
9、0,(2acbacbxaxy是常数,(2)顶点式:)0,()(2akhakhxay是常数,(3)当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时,即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时,根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax,二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点,则不能这样表示。15、二次函数的最值(10 分)如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值) ,即当abx2时,abacy442最值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页名师总结
10、优秀知识点如果自变量的取值范围是21xxx,那么,首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内,若在此范围内,则当x=ab2时,abacy442最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性,如果在此范围内, y 随 x 的增大而增大, 则当2xx时,cbxaxy222最大, 当1xx时,cbxaxy121最小;如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小, 则当1xx时,cbxaxy121最大, 当2xx时,cbxaxy222最小。16、二次函数的性质( 614 分) 1 、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数,图像a0 a0 y 0 x y 0 x
11、 性质(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;(2)对称轴是x=ab2,顶点坐标是(ab2,abac442) ;(3)在对称轴的左侧,即当xab2时,y 随 x 的增大而增大,简记左减右增;(4) 抛物线有最低点, 当 x=ab2时, y 有最小值,abacy442最小值(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;(2)对称轴是x=ab2,顶点坐标是(ab2,abac442) ;(3)在对称轴的左侧,即当xab2时, y 随 x 的增大而减小,简记左增右减;(4)抛物线有最高点,当 x=ab2时, y 有最大值,abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数,中,cb、a的含义:a表示开口方向:a0时,抛物线开口向上, , ,a0 时,图像与x 轴有两个交点;当=0 时,图像与x 轴有一个交点;当0 时,图像与x 轴没有交点。1.两点间距离公式:同轴两点求距离,大减小数就为之。与轴等距两个点,间距求法亦如此。平面任意两个点,横纵标差先求值。差方相加开平方,距离公式要牢记。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页