2022年数字信号处理-原理实现及应用第1章时域离散信号和系统

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1、1第 1章时域离散信号和系统1.1 引言本章内容是全书的基础。学生从学习模拟信号分析与处理到学习数字信号处理，要建立许多新的概念，数字信号和数字系统与原来的模拟信号和模拟系统不同，尤其是处理方法上有本质的区别。模拟系统用许多模拟器件完成，数字系统用运算方法完成。如果对本章中关于数字信号与系统的若干基本概念不清楚，那么在学习数字滤波器时，会感到不好掌握，因此学好本章是很重要的。1.2 本章学习要点(1) 关于信号模拟信号、时域离散信号、数字信号三者之间的区别。如何由模拟信号产生时域离散信号。常用的时域离散信号。如何判断信号是周期性的，其周期如何计算。(2) 关于系统什么是系统的线性、时不变性，以

2、及因果性、稳定性；如何判断。线性、时不变系统输入和输出之间的关系；求解线性卷积的图解法、列表法、 解析法，以及用 MATLAB 工具箱函数求解。线性常系数差分方程的递推解法。用 MATLAB 求解差分方程。什么是滑动平均滤波器，它的单位脉冲响应是什么。1.3 习题与上机题解答1.1 用单位脉冲序列及其加权和表示图P1.1所示的序列。解：( )(2)(1)2 ( )(1)2 (2)3 (3)(4)2 (6)x nnnnnnnnn1.2 给定信号24,41( )4,0 40,nnx nn其他(1) 画出 x(n)的波形，标上各序列值；(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(3)

3、 令1( )2 (2)xnx n，画出1( )x n 的波形；(4) 令2( )(2)xnxn ，画出2( )xn 的波形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2解： (1) 画出 x(n)的波形，如图S1.2.1 所示。图 P1.1 图 S1.2.1 (2) ( )4 (4)2 (3)2 (1)4 ( )4 (1)4 (2)4 (3)4 (4)x nnnnnnnnn-。(3) 画出1( )2 (2)x nx n的波形，如图S1.2.2 所示。(4) 画出2( )(2)xnxn 的波形，如图S1.2.3所示。1.3

4、判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。图 S1.2.2 图 S1.2.3 (a) sin1.2n(b) sin9.7n(c) j1.6en(d) con(3/7)n(e) 3cos78An(f) 1j8en解： (a) sin1.2n是非周期信号。(b) sin9.7n是周期信号，22209.797MMM，取 M = 97，周期为 20。(c) j1.6en是周期信号，2251.64MMM ，取 M = 4，周期为 5。(d) con(3/7)n是周期信号，22143/ 73MMM，周期为 14。(e) 3cos78An是周期信号，周期为14。(f) 1j8en是非周期

5、信号。总结以上，如果数字频率不是的函数，则一定是非周期序列。1.4 对图 P1.1给出的 x(n)，要求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页3(1) 画出 x( n)的波形；(2) 计算e1( ) ( )()2xnx nxn，并画出e( )xn 的波形；(3) 计算o1( ) ( )()2xnx nxn，并画出o( )xn 的波形；(4) 令1eo( )( )( )xnxnxn ，将1( )x n 和 x(n)进行比较，你能得出什么结论？解： (1) 画出 x( n)的波形如图S1.4.1所示。(2) 将图 P1.

6、1 所示波形和图S1.4.1 所示波形相加再除以2，得到e1( ) ( )()2xnx nxn的波形，如图 S1.4.2所示。图 S1.4.1 图 S1.4.2 (3) 将图 P1.1 所示波形和图S1.4.1 所示波形相减，再除以2，得到o1( ) ( )()2xnx nxn的波形，如图S1.4.3所示。图 S1.4.3 (4) 令1eo( )( )( )x nxnxn ，画出波形，得到1eo( )( )( )( )x nxnxnx n 。另外，由波形得到e( )xn1 ( )()2x nxn是 x(n)的偶对称序列，o1( ) ( )()2xnx nxn是x(n)的奇对称序列。这是一个具体

7、例子，但可以推广到一般情况，结论是对于一般实序列可以分解成偶对称序列e( )xn 和奇对称序列o( )xn ，即( )x neo( )( )xnxn ，式中e1( ) ( )()2xnx nxn，o( )xn1 ( )()2x nxn。1.5 以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试说明系统是否是因果的和稳定的。(1) 21( )u nn(2) 1( )!u nn(3) 3( )nu n(4) 3()nun(5) 0.3( )nu n(6) 0.3(1)nun(7)(4)n解： (1) 21( )u nn，系统是因果、不稳定。(2) 1( )!u nn，系统是因果、稳定的。(3) 3( )nu

8、 n ，系统是因果的，但不稳定。(4) 3()nun ，系统是非因果、稳定的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页4(5) 0.3( )nu n ，系统是因果、稳定的。(6) 0.3(1)nun，系统是非因果的，不稳定。1.6 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系统。(1) ( )3 ( )8y nx n(2) ( )(1)1y nx n(3) ( )( )0.5 (1)y nx nx n(4) ( )( )y nnx n解： (1) ( )3 ( )8y nx n将上式中的

9、 n 用0nn 代替，得到00()3 ()8y nnx nn。令00( ) ()3 ()8y nT x nnx nn，因此00() ()y nnT x nn，系统是时不变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合12( )( )( )x nax nbxn ，则输出为1212( )( )( )3( )3( )8y nT ax nbxnax nbxn，1122( )3( )8, ( )3( )8 T ax nax nT bxnbxn因为1212( )( )( )( )T ax nbxnT ax nT bxn，因此该系统不服从线性叠加原理，是非线性系统。(2) ( )(1)1y nx n分析方法同上

10、，该系统是时不变非线性系统。(3) ( )( )0.5 (1)y nx nx n由上式有000()()0.5 (1)y nnx nnx nn000 ()()0.5 (1)T x nnx nnx nn因此00() ()y nnT x nn，该系统是时不变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合12( )( )( )x nax nbxn ，则输出为121122( )( )( )( )0.5(1)( )0.5(1)y nT ax nbxnax nax nbxnbxn111222( )( )0.5(1), ( )( )0.5( )T ax nax nax nT bxnbxnb xn因为1212( )

11、( )( )( )T ax nbxnT ax nT bxn，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。(4) ( )( )y nnx n由上式得到000()() ()y nnnnx nn00 ()()T x nnnx nn这样00() ()y nnT x nn，该系统不是时不变系统。按照差分方程，可把系统看成是一个放大器，放大器的放大量是n，因为该放大量随n 改变，从物理概念上讲，该系统也是一个时变系统。令系统的输入信号为两个信号的线性组合12( )( )( )x nax nbxn ，则输出为1212( )( )( )( )(1)y nT ax nbxnn ax nbxn，1122( )( ),

12、 ( )( )T ax nnaxnT bxnnbxn因为1212( )( )( )( )T ax nbxnT ax nT bxn，因此该系统服从线性叠加原理，是线性系统。1.7 按照图 P1.7 完成下面各题。图 P1.7 (1) 根据串并联系统的原理直接写出总的系统单位脉冲响应h(n)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页5(2) 设1( )40.5 ( )(3)nh nu nu n，23( )( )(1) ( )h nh nnu n，4( )(1)hnn，5( )( )4 (3)hnnn试求总的系统单位脉冲响应h

13、(n)，并推出 y(n)和输入 x(n)之间的关系。解： (1) 12345( )( )( )( )( )( )h nh nhnh nh nh n 。(2) 在下面的推导中，用一些常用的公式，会使推导简便，它们是( )( )( )x nnx n ，00( )()()x nnnx nn；( )(1)nu nnu n，(1)( )( )u nu nn在(1)式中，34( )( )(1) ( )(1)(1)( )h nhnnu nnnu nnu n234( )( )( )(1) ( )( )( )hnh nhnnu nnu nu n1( )40.5 ( )(3)40.5 ( )(1)(2)4 ( )

14、2 (1)(2)nnh nu nu nnnnnnn1234( )( )( )( )4 ( )2 (1)(2)( )4 ( )6 (1)7 (2)h nh nh nhnnnnu nnnu n12345( )( )( )( )( )( )7 (2)4 ( )6 (1)( )4 (3)7 (2)5 ( )6 (1)4 (3)h nh nhnh nhnhnu nnnnnu nnnn或者( )7 ( )2 ( )(1)4(3)h nu nnnn( )( )( )7 ( )( )2 ( )(1)4 (3)y nx nh nx nu nx nx nx n1.8 由三个因果线性时不变系统串联而成的系统如图P1

15、.8(a)所示，已知分系统2( )( )(2)hnu nu n整个系统的单位脉冲响应如图P1.8(b)所示。(1) 求分系统单位脉冲响应1( )h n ；(2) 如果输入( )( )(1)x nnn，求该系统的输出y(n)。图 P1.8 解： (1) 按照图 P1.8(a)写出系统的单位脉冲响应如下：122( )( )( )( )h nh nhnh n式中，22( )( )(2)( )( )(1)hnu nu nRnnn。22( )( ) ( )(1) ( )(1)( )2 (1)(2)hnhnnnnnnnn1221111( )( )( )( )( ) ( )2 (1)(2)( )2(1)(2

16、)h nh nhnh nh nnnnh nh nh n111( )( )2(1)(2)hnh nh nh n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页6已知 h(n)，求1( )h n 。上式是一个递推公式，用递推法求解。求解时注意系统是一个因果系统。10, (0)(0)1nhh；111, (1)(1)2(0)523nhhh；1112, (2)(2)2(1)(0)10613nhhhh；1113, (3)(3)2(2)(1)11632nhhhh；1114, (4)(4)2(3)(2)8431nhhhh；1115, (5)(5

17、)2(4)(3)4220nhhhh；1116, (6)(6)2(5)(4)110nhhhh；1117, (7)(7)2(6)(5)0nhhhh。最后得到当 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,时，1( )1 3 3 2 1 0 0h nL, , ,(2) 122122( )( )( )( )( )( )( )( )( )y nx nh nhnhnh nx nhnhn111111( )( ) ( )(1) ( )2 (1)(2)( ) ( )(1)(2)(3)( )(1)(2)(3)y nh nnnnnnh nnnnnh nh nh nh n将已求出的1( )h n 代入上式，

18、得到当 n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,时, ( )1, 4, 5, 3, 3, 4, 5, 1, 0, 0,y nL。1.9 计算并画出图P1.9 所示信号的卷积( )( )x nh n 。图 P1.9 (a) ( )( ),0,0,6,11,15,18,14,10,6,3,1,0,0,x nh nLL，原点在 6 处，波形如图S1.9.1(a)所示。(b) ( )( ),0,0,6,11,15,18,14,10,6,3,1,0,0,x nh nLL，原点在 18处，波形如图S1.9.1(b)所示。(c) ( )( ),0,0,1,2,2,2,1 ,0,0,x nh n

19、LL，原点在第一个2 处，波形如图S1.9.1(c)所示。(d) ( )( ),0,0,1,2,2,2,1,0,0,x nh nLL，原点在第一个1 处，波形如图S1.9.1(d)所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页7图 S1.9.1 1.10 证明线性卷积服从交换率、结合率和分配率，即证明如下等式成立：(1) ( )( )( )( )x nh nh nx n(2) 1212( )( )( )( ( )( )( )x nh nhnx nh nhn(3) 1212( )( )( )( )( )( )( )x nh

20、 nhnx nh nx nhn解： 证明如下：(1) 因为( )( )() ()mx nh nx m h nm令mnm( )( )() ()( )( )mx nh nx nm h mh nx n(2) 利用上面已证明的结果，得到122121( )( )( )( )( )( )()()()mx nh nhnx nhnh nx m hnmh nm21()( )()mkx mh k h nmk交换求和号的次序，得到1221212112( )( )( )( )()()( ) ()()( ) ( )( ) ( )( )( )kmkx nh nhnh kx m h nmkhkx nkh nkhnx nh

21、nx nh nhn(3) 1212( )( )( )()()()mx nh nh nx mh nmhnm1212()()()()( )( )( )( )mmx m h nmx m hnmx nh nx nhn1.11 已知系统的输入x(n)和单位脉冲响应h(n)，试求系统的输出y(n)。(1) 54( )( ), ( )( )x nR nh nRn(2) 4( )( )(2), ( )2( )x nnnh nRn(3) 3( )(2), ( )0.5( )nx nnh nRn(4) 5( )( ), ( )0.5( )nx nR nh nu n精选学习资料 - - - - - - - - -

22、名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页8(5) 1,0 6( )30,nnx n其他1,2 2( )0,nh n其他(6) ,3 5( )0,nanx n其他1,0 4( )0,nh n其他解： (1) 54( )( )( ),0,1,2,3,4,4,3,2,1 ,0y nR nR nLL，原点在第一个1 处。(2) 444( ) ( )(2)2( )2( )2(2),0,2,2,0,0,2, 2,0,y nnnR nRnRnLL，原点在第一个 2 处。(3) 2333( )(2)0.5( )0.5(2)40.5(2)nnny nnR nR nR n。(4) 该题解的

23、方法和主教材中的例题1.3.3 相同，5( )( )( )()()n mmy nh nx nRm au nm；mn ， 0 4m，n0，y(n) = 0 0 4n，非零值范围为0mn ，因此1101( )1nnn mnmay naaa5 n ，非零区间为0 4m，因此45101( )1n mnmay naaa结果为11510, 01( ),0 411,51nnnnay nanaaana(5) 751( )( )( )( )(2)3y nx nh nnR nR n。为了计算方便，将上式写成753 ( )3 ( )*( )( )*(2)y nx nh nnRnRn采用列表法，计算过程如表S1.11

24、.1所示。表 S1.11.1 m 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 3x(m) 0 1 2 3 4 5 6 h(m) 1 1 1 1 1 h( m)1 1 1 1 1 3y(0) = 3 h(1 m)1 1 1 1 1 3y(1) = 6h(2 m)1 1 1 1 1 3y(2) = 10h(3 m)1 1 1 1 1 3y(3) = 15h(4 m)1 1 1 1 1 3y(4) = 21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页9h( 1 m) 1 1 1 1 1 3y( 1) = 1 h( 2 m) 1 1

25、 1 1 1 3y( 2) = 0 1( ),0,1,3,6,10,15,21,20,18,15,11,6,0,3y nLL，原点在 3 处。(6) ,3 5( )0,nanx n其他1,0 4( )0,nh n其他9( )(3)nx na Rn，5( )( )h nR n95( )(3)()mmy na R mRnm由9(3)Rm得到3 5m。由5()R nm 得到4nmn 。max 3,4 min5,nmn ；3 0n，343(1)( )1nnmmaay naa；1 5n，454(1)( )1nnmm naay naa；6 9n，54104(1)( )1nnmm naay naa；最后得到

26、314146,3 01,1 5( )1,6 910,nnnnaanaaany naaana其他1.12 如果线性时不变系统的输入和输出分别为(1) 10, 0, 3,0, 1, 2( )0,nx n其他10, 1, 0, 2,0, 1, 2, 3( )0,nyn其他(2) 20, 0, 0, 1,0, 1, 2, 3( )0,nxn其他21, 2, 1,1, 0, 1( )0,nyn其他试求出相应的系统单位脉冲响应。解： 这是一个简单的解线性卷积的题目，可用递推法求解。(1) 211111110( )( )( )()()(2)(2)mynxnh nx m h nmxh n110, 03( 2)

27、, ( 2) 0nhh；1, n11113( 1), ( 1) 3hh；112, 03 (0), (0) 0nhh；3, n11223(1), (1) 3hh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10得到1120, , 0, ,2, 1,0,1( )330,nh n其他(2) 3222222220( )( )( )()()(3)(3)(3)mynxnhnxm hnmxhnhn21, 2, 1,4, 3, 2( )0,nhn其他1.13 已知因果系统的差分方程为( )0.5 (1)( )0.5 (1)y ny nx nx

28、 n求系统的单位脉冲响应h(n)。解： 用递推法求解，令( )( )x nn ，y( 1) = 0，y(n) = h(n)，11( )(1)( )(1)22h nh nnn0, n11(0)( 1)(0)( 1)122hh；1, n1111(1)(0)(1)(0)12222hh；112, (2)(1)22nhh；2113, (3)(2)22nhh归纳起来，结果为11( )(1)( )2nh nu nn。1.14 设系统的差分方程为( )(1)( ), 0 1y nay nx na，y( 1) = 0。分析系统是否是线性、时不变系统。解： 分析的方法是让系统输入分别为( )n ，(1)n，( )

29、(1)nn时，求它的输出，再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。(1) ( )( )x nn ，系统的输出用1( )y n 表示：11( )(1)( )y nay nn该情况在主教材例题1.5.21.4.1 中已求出，系统的输出为1( )( )nyna u n 。(2) ( )(1)x nn，系统的输出用2( )yn 表示：22( )(1)(1)ynaynn0, n22(0)( 1)( 1)0ya y1, n22(1)(0)(0)1ya y2, n22(2)(1)(1)ya yaL L精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 1

30、8 页11, n12( )nyna最后得到12( )(1)nynau n。(3) ( )( )(1)x nnn，系统的输出用3( )yn 表示：33( )(1)( )(1)ynaynnn0, n33(0)( 1)(0)( 1)1ya y1, n33(1)(0)(1)(0)1ya ya2, n233(2)(1)(2)(1)(1)ya ya aaa3, n22333(3)(2)(3)(2)()ya yaaaaaL L, n13( )nnynaa最后得到13( )(1)( )nnynau na u n 。由(1)和(2)得到12( ) ( ), ( ) (1)y nTnynTn12( )(1)yny

31、n因此，可断言这是一个时不变系统。情况(3)的输入信号是情况(1)和情况 (2)的输入信号的相加信号，因此3( ) ( )(1)ynTnn。观察123( )( )( )ynynyn，得到312( )( )( )yny nyn ，因此该系统是线性系统。最后得到结论： 用差分方程( )(1)( ), 01y nay nx na描述的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。1.15 习题 1.6 和习题 1.14 都是由差分方程分析系统的线性时不变性质，为什么习题 1.6没给初始条件，而习题 1.14 给了初始条件？解：系统用差分方程描述时，分析其线性时不变性质，需要给定输入信号求输出，因

32、此需要已知差分方程的初始条件， 是几阶差分方程就需要几个初始条件，习题 1.6 的差分方程是零阶的， 因此不需要初始条件，而习题 1.14 是一阶的，因此需要一个初始条件。1.16 设系统的单位脉冲响应为( )(3/8)0.5( )nh nu n ，系统的输入x(n)是一些观察数据，设0( ),x nx12,kxxxLL，试用递推法求系统的输出y(n)。递推时设系统的初始状态为零。解：033( )( )( )0.5()0.5, 088nn mn mmmmmy nx nh nxu nmxn0, n03( )8y nx1, n1101033( )0.5(0.5)88mmmy nxxx2, n222

33、012033( )0.5(0.50.5)88mmmy nxxxxL L最后得到03( )0.58nmn mmy nx。1.17 如果线性时不变系统的单位脉冲响应为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12( )( ), 1nh na u na求系统的单位阶跃响应。解：单位阶跃响应是系统输入单位阶跃序列时系统的零状态响应，因此该题即是求系统对单位阶跃序列的响应。系统的单位阶跃响应用y(n)表示，即( )( )( )() ()nmmy na u nu na u m u nm非零值区间为0 m，mn ，最后得到101( )

34、1nnmmay naa。1.18 已知系统的单位脉冲响应h(n)和输入信号x(n)分别为( )( ), ( )( )(10)nh na u nx nu nu n求系统的响应。解：( )( )( )( )( )( )(10)nny nh nx na u nu na u nu n利用习题 1.17 的结果，得到1991111( )()111nnnnaay naaaaa1.19 已知系统用下面的差分方程描述：( )0.7 (1)2 ( )(2)y ny nx nx n(1) 求系统的单位脉冲响应；(2) 求系统的单位阶跃响应。解： (1) 令( )( ), ( 1)0x nny( )0.7 (1)2

35、 ( )(2)y ny nnnn = 0，(0)0.7 ( 1)2 (0)( 2)2yyn = 1，(1)0.7 (0)2 (1)( 1)20.71.4yyn = 2，2(2)0.7 (1)2 (2)(0)2(0.7)10.02yyn = 3，(3)0.7 (2)0.020.7yyn = 4，2(4)0.7 (3)0.02(0.7)yy2( )( )0.02(0.7)(2)2( )1.4 (1)0.04080.7(2)2 ( )1.4 (1)nnh ny nu nnnu nnn或者( )0.04080.7( )2.0408 ( )1.4286 (1)nh nu nnn(2) 该题可以直接由差分

36、方程求单位阶跃序列的响应，因为上题已求出系统的单位脉冲响应，因此可以直接用线性卷积求解。令( )( )x nu n ，系统的单位阶跃响应用( )uhn 表示，则( )( )( )uhnh nu n( ) 0.04080.7( )2.0408 ( )1.4286 (1)( )nuhnu nnnu n利用习题 1.17 的结果得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13110.70.04080.7( )( )0.04080.1360.09520.710.7nnnu nu n从而有( ) 0.1360.09520.7 (

37、 )2.0408 ( )1.4286 (1)nuhnu nu nu n1.9048 ( )0.09520.7( )1.4286 (1)nu nu nu n1.20*已知两个系统的差分方程分别为(1) ( )0.6 (1)0.08 (2)( )y ny ny nx n(2) ( )0.7 (1)0.1 (2)2 ( )(2)y ny ny nx nx n分别求两个系统的单位脉冲响应和单位阶跃响应（只求前30个序列值即可）。解： (1) 系统差分方程的系数向量为B1 = 1; A1 = 1, 0.6, 0.08。(2) 系统差分方程的系数向量为B2 = 2, 0, 1; A2 = 1, 0.7,

38、0.1。调用 MATLAB函数 filter 计算两个系统的系统单位脉冲响应和单位阶跃响应的程序ex120.m 如下：程序 ex120.m B1 = 1;A1 = 1,0.6, 0.08; 设差分方程 (1)系数向量B2 = 2,0, 1; A2 = 1,0.7,0.1; 设差分方程 (2)系数向量= 系统 1 xn = 1,zeros(1,30); x(n)=单位脉冲序列，长度N=31 hn1=filter(B1,A1,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号h(n) n=0:length(hn1) 1; subplot(3,2,1);stem(n,hn1,.) title(

39、a) 系统 1 的系统单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(h(n) xn=ones(1,30); x(n)=单位阶跃序列，长度N=31 sn1=filter(B1,A1,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号h(n) n=0:length(sn1) 1; subplot(3,2,2);stem(n,sn1,.) title(b) 系统 1 的单位阶跃响应 );xlabel(n);ylabel(s(n) = 系统 2 xn=1,zeros(1,30); x(n)=单位脉冲序列，长度N=31 hn2=filter(B2,A2,xn); 调用 filter 解差分方程

40、，求系统输出信号h(n) n=0:length(hn2) 1; subplot(3,2,5);stem(n,hn2,.) title(a) 系统 2 的系统单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(h(n) xn=ones(1,30); x(n)=单位阶跃序列，长度N=31 sn2=filter(B2,A2,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号s2(n) n=0:length(sn2) 1; subplot(3,2,6);stem(n,sn2,.) title(b) 系统 2 的单位阶跃响应 );xlabel(n);ylabel(s_2(n) 程序运行结果如图S1.

41、20.1所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页14图 S1.20.1 1.21*已知系统的差分方程和输入信号分别为1( )(1)( )2 (2)2y ny nx nx n，( )1,2,3,4,2,1x n用递推法计算系统的零状态响应。解： 调用 MATLAB函数 filter 计算该系统的系统响应的程序ex121.m 如下：调用 filter 解差分方程，求系统响应序列B=1,0,2;A=1,0.5; 设差分方程系数向量xn=1,2,3,4,2,1,zeros(1,24); x(n)长度 N=30 yn=fi

42、lter(B,A,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号y(n) n=0:length(yn) 1; subplot(3,2,1);stem(n,yn,.) title(a) 系统 1 的系统单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(y(n) 程序运行结果如图S1.21.1所示。1.22*如系统的差分方程为12( )(1)(2)( )y na y na y nbx n式中，120.8 , 0.64, 0.866aab。(1) 编写求解系统单位脉冲响应( ), 0 49h nn的程序，并画出( )h n ；(2) 编写求解系统零状态单位阶跃响应( ), 0 100s n

43、n的程序，并画出( ), 0 100s nn；(3) 利用 (1)中的( )h n 的一段形成一个新的系统，该系统的单位脉冲响应为FIR( ),014( )0,h nnhn其他编写求解这个新系统的单位阶跃响应的程序；(4) 比较 (2)和(3)中求得的单位阶跃响应的特点。010203000.20.40.60.81(a) 系 统 1 的 系 统 单 位 脉 冲 响 应nh1(n)010203000.511.522.5(b) 系 统 1的 单 位 阶 跃 响 应ns1(n)0102030-0.500.511.52(a) 系 统 2 的 系 统 单 位 脉 冲 响 应nh2(n)0102030012

44、34(b) 系 统 2的 单 位 阶 跃 响 应ns2(n)图 S1.21.1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15解： 调用 MATLAB函数 filter 计算该系统的系统响应的程序ex122.m 如下：数字信号处理原理、实现及应用第1 章上机题 1.22程序 ex122.m 电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2006 年 8 月调用 filter 解差分方程，求系统单位脉冲响应和单位阶跃响应B=0.866;A=1,0.8,0.64; 差分方程系数向量= (1) 求解系统单位脉冲响应，并画出h(n)

45、xn=1,zeros(1,48); x(n)=单位脉冲序列，长度N=31 hn=filter(B1,A1,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统输出信号h(n) n=0:length(hn) 1; subplot(3,2,1);stem(n,hn,.) title(a) 系统的单位脉冲响应);xlabel(n);ylabel(h(n) = (2) 求解系统单位阶跃响应，并画出h(n) xn=ones(1,100); x(n)=单位阶跃序列，长度N=100 sn=filter(B,A,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统单位阶跃响应s(n) n=0:length(sn) 1

46、; subplot(3,2,2);stem(n,sn,.);axis(0,30,0,2) title(b) 系统的单位阶跃响应);xlabel(n);ylabel(s(n) = (3) 求解截取 15 点的 FIR 系统单位阶跃响应，并画出s(n) for m=1,15, hnfir(m)=hn(m); end sn=filter(B,A,xn); 调用 filter 解差分方程，求系统单位阶跃响应s(n) n=0:length(sn) 1; subplot(3,2,6);stem(n,sn,.);axis(0,30,0,2) title(c) FIR 系统的单位阶跃响应);xlabel(n)

47、;ylabel(s(n) 程序运行结果如图S1.22.1所示。图 S1.22.1 图 P1.22.1(b)和(c)的波形基本相同，由此可见，有些IIR 数字滤波器可以用FIR 数字滤波器逼近，FIR数字滤波器的单位脉冲响应可以通过截取IIR 数字滤波器的单位脉冲响应的一段得到，截取长度足够长时，逼近误差很小。1.23*在图 P1.23中，有四个分系统1234,T T TT和，分别用下面的单位脉冲响应或者差分方程描述：11111111, , , , , ,0, 1, 2, 3, 4, 5:( )24816320,nTh n其他221, 1, 1, 1, 1, 1,0, 1, 2, 3, 4, 5

48、:( )0,nThn其他精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页1633111:( )( )(1)(2)424Tynx nx nx n4:( )0.9 (1)0.81 (2)( )(1)Ty ny ny nv nv n编写程序计算整个系统的单位脉冲响应( ),0 99h nn。图 P1.23 解： 由图 P1.23可知，可以采用以下步骤计算整个系统的单位脉冲响应( )h n 。设( )( )x nn ，123( )( )( )( )v nh nhnhn，该式调用 conv 函数计算。4( ) ( )h nT v n，该

49、式调用filter 函数计算。调用 MATLAB函数 conv 和 filter 计算该系统响应的程序ex123.m如下：数字信号处理原理、实现及应用第1 章上机题 1.23程序 ex123.m 电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2006 年 8 月调用 conv 和 filter 求总系统单位脉冲响应序列h1n=1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32; 对 h1(n)赋值h2n=ones(1,6); h3n=1/4,1/2,1/4,zeros(1,97); 计算 v(n)=h1(n)*h2(n)+h3(n) h12n=conv(h1n,h2n); h12n=h12n,zeros

50、(1,89); vn=h12n+h3n; 调用 filer 计算 h(n)等于 T4 对 v(n)响应B4=1,1;A4=1,0.9,0.81; hn=filter(B4,A4,vn); 以下为绘图部分n=0:length(hn) 1; subplot(2,1,1);stem(n,hn,.) xlabel(n);ylabel(h(n) 程序运行结果如图S1.23.1所示。图 S1.23.1 1.24 (a) 写出 3 项滑动平均滤波器的差分方程和单位脉冲响应。(b)*设 3 项滑动平均滤波器的输入信精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

51、6 页，共 18 页17号为 sin(/6)( )nu n ，画出该滤波器的输入和输出的前15 个序列值。解： (a) 3 项滑动平均滤波器的差分方程和单位脉冲响应分别为11( )( ( )(1)(2) ( )( ( )(1)(2)33y nx nx nx nh nnnn(b) x(n)= sin(/6)( )nu n滤波程序 ex124.m如下：% 数字信号处理原理、实现及应用习题1.24 程序 ex124.m B=1,1,1/3;A=1; % 设置系统函数系数向量B和 A n=0:30;xn=sin(n*pi/6); % 产生 x(n) 的 20 个样值yn=filter(B,A,xn);

52、 % 对 x(n) 平滑滤波subplot(3,2,1);stem(n,xn,.);xlabel(n);ylabel(x(n); subplot(3,2,3);stem(n,yn,.);xlabel(n);ylabel(y(n); 程序运行结果如图S1.24.1所示。1.25*假设 5 项滑动平均滤波器的输入信号用图P1.25 表示，画出该滤波器输出的前16 个序列值的波形，并说明该滤波器对输入信号起什么作用。图 S1.24.1 图 P1.25 解： 5 项滑动平均滤波器的差分方程为1( )( ( )(1)(2)(3)(4)5y nx nx nx nx nx n调用 MATLAB函数 filt

53、er 计算该系统响应的程序ex125.m 如下：%数字信号处理原理、实现及应用第1 章上机题 1.25 程序 ex125.m % 电子工业出版社出版高西全丁玉美阔永红编著2016 年 7 月%调用 conv 实现 5 项滑动平均滤波xn=0.5*ones(1,15);xn(4)=1;xn(8)=1;xn(11)=1; hn=ones(1,5); yn=conv(hn,xn); n=0:length(yn)-1; subplot(2,1,1);stem(n,yn,.) xlabel(n);ylabel(y(n) 程序运行结果如图S1.25.1所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18图 S1.25.1 由图形看出 5 项滑动平均滤波器对输入波形起平滑滤波作用，将信号的第4, 8, 11, 16 的序列值平滑去掉。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页