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1、学习必备欢迎下载向量知识清单一、向量的有关概念1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: 字母表示法:如, , ,a b c等. 几何表示法: 用一条有向线段表示向量. 如AB,CD等 . 坐标表示法: 在平面直角坐标系中, 设向量OA的起点 O 为在坐标原点, 终点 A 坐标为, x y, 则, x y称为OA的坐标 , 记为OA=, x y. 注: 向量既有代数特征, 又有几何特征, 它是数形兼备的好工具. 3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等 ,
2、记为ab. 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4. 零向量 :长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5. 单位向量 :长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6. 共线向量 : 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定 :0与任一向量共线 . 注:共线向量又称为平行向量.7. 相反向量 : 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是“ 自然的 ” ，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果
3、仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示 ,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加 法 与减法OA+OB=OCOBOA=AB记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2) 则OA OB=(x1+x2,y1+y2) OB OA=（x2-x1,y2-y1）OA+AB=OB实 数 与向 量 的乘积AB=aR 记a=(x,y) 则a=(x,y) 两 个 向量
4、的 数量积cos ,a ba ba b记1122(,),(,)ax ybx y则ab=x1x2+y1y2(二)运算律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载加法：abba(交换律 ); ()()abcabc(结合律 ) 实数与向量的乘积：()abab; ()aaa;()()aa两个向量的数量积: ab=ba; (a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如 (ab)2=222aa
5、 bb(三)运算性质及重要结论平面向量基本定理: 如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于这个平面内任一向量a, 有且只有一对实数12, 使1122aee，称1122ee为12,e e的线性组合。其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底; 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的和, 并且这种分解是唯一的. 这说明如果1122aee且1122aee, 那么1122. 当基底12,e e是两个互相垂直的单位向量时, 就建立了平面直角坐标系, 因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义
6、向量坐标为终点坐标，即若A( x，y)，则OA =（ x,y） ；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1） ，B（ x2,y2） ，则AB=(x2-x1,y2-y1) 两个向量平行的充要条件符号语言：)0(/bbaba坐标语言为：设非零向量1122,abx yx y,则ab(x1,y1)=(x2,y2)，即1212xxyy,或 x1y2-x2y1=0, 在这里 ,实数 是唯一存在的 ,当a与b同向时 ,0；当a与b异向时 ,0。|=|b|a|, 的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时， 的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中 的几何意义。两个向量
7、垂直的充要条件符号语言：ba0baba02121yyxx坐标语言：设非零向量1122,abx yxy，则两个向量数量积的重要性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载22| aa即2|aa(求线段的长度 ); ba0ba(垂直的判断 ); cosa bab(求角度 )。以上结论可以(从向量角度 )有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注 :两向量a,b的数量积运算结果是一个数cosab(其中,a b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. cosb叫做向量b
8、在a方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积a b等于a的模与b在a方向上的投影的积. 如果111(,)P x y,222(,)P xy,则12PP=2121(,)xx yy, 22122121()()PPxxyy, 这就是平面内两点间的距离公式. 课前预习1在ABCD中，BCCDBABC2.平面内三点(0,3),(3,3),( , 1)ABC x,若AB BC ，则 x 的值为 1 3.设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：(ab)c(ca)b=0 |a|- |b|ab| (bc)a(ca)b不与c垂直(3a+2b) (3a2b)=9|a|2- 4b|2中，真命题是4.
9、 OAB 中,OA =a, OB =b, OP =p,若p=()|abtab，t R，则点 P 在 AOB 平分线所在直线上5.已知,3 ,2,4 ,axbab,则实数 x=_6_. 6.已知2,8 ,6,4 ,abab则a_(-2,-6)_, b_(4,-2)_,a与b的夹角的余弦值是_102_. 7 在 O A B中 ,(2cos,2sin)OA, (5cos,5sin)OB, 若5OA OB, 则OABS= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载235.；8. 已知 ABC 中， A（2，- 1）
10、，B（3，2） ，C（- 3，- 1） ，BC 边上的高为AD，求点 D 和向量AD坐标。D(1,1) AD=(-1,2) 典型例题一、平面向量的实际背景与基本概念例 1.如图，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA的模相等的向量以及方向相同的向量。解：AD,BE,EB,CFCB,EF二、平面向量的线性运算例 2.如图，在平行四边形ABCD 中，ABa ，ADb ，你能用 a，b 表示向量AC，DB吗？AC=a+b,DB= a-b变式 1：如图，在五边形ABCDE 中，ABa ，BCb ，CDc ，EAd ，试用 a ，b ， c ， d 表示向量CE和DE. CE=a+b+dDE=-a-
11、b-c-d变式 2：已知OA=a，OB=b, OC=c,OD=d, 且四边形ABCD 为平行四边形，则 ab+cd=0变式 3：在四边形ABCD 中，若12ABCD ，则此四边形是梯形变式 4：已知 a、b 是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(ab)垂直的充要条件变式 5：在四边形 ABCD 中，AB=a+2b，BC=4ab，CD=5a3b， 其中 a、b 不共线，则四边形ABCD为梯形例 3如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OAa + b，OBa + 2b，D C A B D E C A B B A C O F D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
12、纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载OCa + 3b，你能判断A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？A、 B、C 三点共线OAOC2OB变式 1：已知OAa + 2b，OB2a + 4b，OC3a + 6b (其中 a 、 b是两个任意非零向量) ，证明： A、B、C 三点共线证明：ABOBOAa + 2b，ACOCOA2a + 4b，2ACAB所以， A、B、C 三点共线变式 2：已知点 A、 B、C 在同一直线上，并且OAa + b，(2)OBma + 2b，(1)OCna + 3b (其中 a 、 b是两个任意非零向量) ，试求 m、n 之间的关系
13、n=2m-6 例 4.已知四边形ABCD，点 E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD、DA 的中点，求证：EFHG变式 1：已知任意四边形ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为E、F，求证：2ABDCEF . 三、平面向量的基本定理及坐标表示例 5.已知 a = (4，2)， b = (6，y)，且 a / b ，求y 3变式 1：与向量 a = (12，5) 平行的单位向量为12513 13，或1251313，-变式 2：已知 a(1,2)，b,1x，当 a+2b 与 2ab 共线时，x值为12变式 3：已知 A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 与ACAB2方向相反的单位
14、向量是(0,1) 变式 4：已知 a = (1 ，0)，b = (2 ，1) 试问：当k 为何实数时，kab 与 a+3b 平行 , 平行时它们是同向还是反向？k=-13反向例 6.设点 P 是线段12PP上的一点，1P、2P的坐标分别为11yx，22yx，(1) 当点 P 是线段12PP上的中点时，求点P 的坐标；（2,22121yyxx）b a D C E F A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载O A P Q B a b (2) 当点 P 是线段12PP的一个三等分点时，求P 的坐标（32
15、,322121yyxx）变式 1：已知两点3,2M，5, 5N，12MPMN，则 P 点坐标是31,2变式 2：如图，设点P、Q 是线段 AB 的三等分点，若OA a，OB b，则 OP 32ab， OQ 32ab(用 a、 b表示 ) 四、平面向量的数量积例 7.已知 |a|6，|b| 4 且 a 与 b 的夹角为60，求(a + 2b)(a3b) -72 变式 1：已知3,4,223,ababab那么a与b夹角为120变式 2：已知向量a 和 b 的夹角为60， | a | 3，| b | 4，则（ 2a b） a 等于 12 变式 3：在ABC中，已知 |AB|=4 ，|AC|=1 ，S
16、ABC=3，则ABAC等于 2变式 4：设向量2172eet与向量21ete的夹角为钝角，求实数t 的取值范围 . t0 且 t214例 8.已知 |a|3，|b| 4 且 a 与 b 不共线， k 为何实数时，向量a + kb 与 akb 互相垂直？k=43变式 1：已知 ab ，|a|2，|b| 3，且向量3a + 2b与 kab 互相垂直，则k 的值为32变式 2：已知 |a|1，|b| 2且（ ab） a，则 a 与 b夹角的大小为4例 9.已知 a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标（-52,51） （52,51）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
17、纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载变式 1：若 i = (1,0), j =(0,1)，则与 2i+3j 垂直的向量是3i+2j 或 3i2j变式 2：已知向量) 1,1 (a，)3,2(b，若bak2与a垂直，则实数k=1 变式 3：若非零向量ba,互相垂直，则下列各式中一定成立的是（ B ）AbabaB|babaC0)(babaD0)(2ba变式 4：已知向量a（ 3， 4） ，b（ 2，x） ， c（ 2，y）且 a b，ac求 |bc|的值625例 10.已知 A (1，2)，B (2，3)，C (2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明直角三角形
18、变式 1：O是ABC所在的平面内的一点，且满足0OBOCOCOA，则ABC一定为直角三角形变式 2：已知 A、B、C 三点不共线， O 是ABC 内的一点，若OAOBOC0，则 O 是ABC 的重心变式 3：已知02ABBCAB，则 ABC 一定是直角三角形变式 4：四边形ABCD中，)3, 2(),(),1 ,6(CDyxBCAB（1）若DABC /，试求x与y满足的关系式；x+2y=0 （2）满足（ 1）的同时又有BDAC，求yx,的值及四边形ABCD的面积。x=-6 ，y=3，S=32 或 x=2，y=-1 ，S=32 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
