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1、4.3.2 函数的极值与导数（2 课时）教学目标：1. 理解极大值、极小值的概念；2. 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3. 掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一创设情景观察图 3.3-8 ， 我们发现，ta时，高台跳水运动员距水面高度最大那么，函数( )h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大ta附近函数( )h t的图像， 如图 3.3-9 可以看出( )h a；在ta，当ta时，函数( )
2、h t单调递增，( )0h t；当ta时，函数( )h t单调递减，( )0h t；这就说明，在ta附近，函数值先增（ta，( )0h t）后减（ta，( )0h t） 这样，当t在a的附近从小到大经过a时，( )h t先正后负，且( )h t连续变化，于是有( )0h a对于一般的函数yfx，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明. 并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法. 判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二新课讲授1 问 题 ： 图3.3-1 （ 1 ）， 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度
3、h随 时 间t变 化 的 函 数2( )4. 96. 51 0h ttt的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数( )( )9.86.5v th tt的图像运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即( )h t是增函数相应地，( )( )0v th t（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即( )h t是减函数相应地，( )( )0v th t2函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负
4、的关系如图3.3-3，导数0()fx表示函数( )f x在点00(,)xy处的切线的斜率在0xx处，0()0fx，切线是“左下右上” 式的，这时，函数( )f x在0x附近单调递增； 在1xx处，0()0fx，切线是“左上右下”式的，这时，函数( )fx在1x附近单调递减结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间( , )a b内，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递增；如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递减说明：（1）特别的，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内是常函数3求解函数( )yfx单调区间的步骤：（ 1）确定函数( )yf
5、x的定义域；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页（ 2）求导数( )yfx；（ 3）解不等式( )0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（ 4）解不等式( )0fx，解集在定义域内的部分为减区间三典例分析例 1 （课本例4）求31443fxxx的极值解： 因为31443fxxx，所以24(2)(2)fxxxx。0,2,2fxxx下面分两种情况讨论：（1）当fx0,即2x，或2x时；（2）当fx)(1xf（）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能
6、在区间的端点4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正” ， 则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值5. 求可导函数f(x)的极值的步骤 : (1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程 f(x)=0 的根(3)用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负， 那么 f(
7、x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么 f(x)在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点四、巩固练习：1求下列函数的极值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页(1)y=x27x+6 (2)y=x327x(1)解： y=(x27x+6)=2x7 令 y=0，解得 x=27. 当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表. x7,2727,2y0 + y极小值254当 x=27时， y 有极小值，且y极小值=
8、425. (2)解： y=(x327x) =3x227=3(x+3)(x 3) 令 y=0，解得 x1=3，x2=3. 当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表. x, 3-3 (-3,3) 3 3,y+ 0 0 + y极大值 54 极小值 -54 当 x=3 时， y 有极大值，且y极大值=54. 当 x=3 时， y 有极小值，且y极小值=54五、教学反思：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤 .还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值
9、点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点六、课后作业：书本 P 34 3 . 4 . 5 七板书设计课后反思：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页 4.3.3 函数的最大（小）值与导数（2 课时）教学目标：使学 生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可 导函 数)(xf在 闭区间ba,上所有点（包括端点ba,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区
10、别与联系教学过程：一创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果0x是函数yfx的极大（小）值点，那么在点0x附近找不到比0fx更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果0x是函数的最大（小）值，那么0fx不小（大）于函数yfx在相应区间上的所有函数值二新课讲授观察图中一个定义在闭区间ba,上的函数)(xf的图象图中)(1xf与3()f x是极小值，2()f x是极大值函数)(xf在ba,上的最大值是)(bf，最小值是3()f x1 结 论：一般 地， 在 闭 区 间ba
11、,上 函 数( )yf x的图像是一条连续不断的曲线，那么函数( )yfx在ba,上必有最大值与最小值说明：如果在某一区间上函数( )yf x的图像是一条连续不断的曲线，则称函数( )yf x在这个区间上连续 （可以不给学生讲）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间( , )a b内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值如函数xxf1)(在),0(内连续，但没有最大值与最小值；在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件 （可以不给学生讲）2 “最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是
12、比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也x3x2x1baxOy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只
13、要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求)(xf在( , )a b内的极值；将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值三典例分析例 1 （课本例 5）求31443fxxx在0, 3的最大值与最小值解： 由例4 可知，在0, 3上，当2x时，( )f x有极小值，并且极小值为4(2)3f，又由于04f，31f因此，函数31443fxxx在0, 3的最大值是4，最小值是43上述结论可以从函数31443fxxx在
14、0, 3上的图象得到直观验证例 2求函数5224xxy在区间2, 2上的最大值与最小值解：先求导数，得xxy443/令/y 0 即0443xx解得1, 0, 1321xxx导数/y的正负以及)2(f，)2(f如下表X -2 （ -2,-1）-1 （ -1,0 ）0 （ 0,1 ）1 （ 1,2 ）2 y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13 从上表知，当2x时，函数有最大值13，当1x时，函数有最小值4例 3已知23( )logxaxbf xx,x(0,+ ). 是否存在实数ab、, 使)(xf同时满足下列两个条件： （1）)(xf) 在（0，1）上是减函数， 在1，+) 上是增函数；（2
15、）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由. 解：设 g(x)=xbaxx2f(x)在（ 0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数g(x)在（ 0，1）上是减函数，在1， +)上是增函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页y=x4-2x2+512108642-4-242xOy3)1 (0) 1( gg3101bab解得11ba经检验， a=1,b=1 时， f(x)满足题设的两个条件. 四课堂练习1下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函
16、数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数 y=f(x)在区间 a,b上的最大值是M，最小值是m,若 M=m,则 f(x)( ) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能3函数 y=234213141xxx，在 1，1上的最小值为( ) A.0 B.2 C. 1 D.12134求函数5224xxy在区间2 ,2上的最大值与最小值5课本练习五回顾总结1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数)(xf在闭区间ba,上连续，是)(xf在闭区间ba,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3闭区间ba,上的连续函数
17、一定有最值；开区间),(ba内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4利用导数求函数的最值方法六布置作业七 板书设计课后反思：1.4 生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用2 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点 ：利用导数解决生活中的一些优化问题教学难点 ：利用导数解决生活中的一些优化问题教学过程 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页建立数学模型一创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，
18、这些问题通常称为优化问题 通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题二新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数
19、解决优化问题的基本思路：三典例分析例 1饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是20.8 r分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题： （）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是332240.20.80.8,0633ryf rrrrr令20.8 (2
20、)0frrr解得2r（0r舍去）当0, 2r时，0fr；当2, 6r时，0fr当半径2r时，0fr它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径2r时，0fr它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低（1）半径为2cm 时，利润最小，这时20f，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为6cm 时，利润最大解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像
21、知：当3r时，30f，即瓶子的半径为3cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当3r时，利润才为正值当0, 2r时，0fr，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小例 2汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w（单位： L）与汽车的速度v（单位： km/h）之间有一定的关系， 汽油的消耗量w是汽车速度v的函数 根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析： 研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值如果用G表
22、示每千米平均的汽油消耗量，那么wGs，其中，w表示汽油消耗量 （单位：L） ，s表示汽油行驶的路程（单位： km） 这样， 求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系gfv从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效
23、率最高的问题解：因为wwgtGssvt这样，问题就转化为求gv的最小值从图象上看，gv表示经过原点与曲线上点的直线的斜率进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小在此切点处速度约为90/km h因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h 从数值上看， 每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即90f，约为 L例 3在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起( 如图 )，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？_ x_ x_ 60_ 60x x 精选学习资料 - - -
24、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页解法一 ：设箱底边长为xcm ，则箱高602xhcm，得箱子容积260)(322xxhxxV)600(x23( )602xVxx)600(x令23( )602xVxx0，解得 x=0 （舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000 由题意可知， 当 x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此， 16 000是最大值答：当 x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二 ：设箱高为xcm，则箱底长为 (60-2x)cm，则得箱子容积xxxV2)260()()300(x
25、 （后面同解法一，略）由题意可知， 当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上， 可导函数260)(322xxhxxV、xxxV2)260()(在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例 4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由 V= R2h，得2VhR，则S(R)= 2 R2VR+ 2 R2=2VR+2R2令22()Vs RR+4 R=0 解得， R=32V，从而 h=2VR=23()2VV=3
26、4V=23V即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？x60-2x60-2x60-2xx60-2x6060精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页提示：S=2Rh+22 Rh=RRS222V(R)=RRS222R2=3221)2(21RSRRRS)( RV)=026 RSRhRRhR222622例 5在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售 x
27、单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x) 称为利润函数，记为P(x)。（1） 、如果 C(x)10005003.010236xxx，那么生产多少单位产品时，边际)(xC最低？ (边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2） 、如果 C(x)=50x 10000，产品的单价P1000.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式： 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为qp8125求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解
28、：收入211252588Rq pqqqq，利润221125(1004 )2110088LRCqqqqq(0100)q1214Lq令0L，即12104q，求得唯一的极值点84q答：产量为84 时，利润L 最大例 6一条水渠， 断面为等腰梯形， 如图所示， 在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD 最小， 这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高 h 和下底边长b. 解：由梯形面积公式，得S=21(AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC，DE=33h,BC=bAD=332h+b, S=hbhhbh)33()2332(21CD=hh3230cos,AB=CD
29、.l=h322+b 由得 b=33hSh,代入 ,l=hShhhSh333334l=23hS=0,h=43S, 当 h43S时， l43S时， l 0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页h=43S时， l 取最小值，此时b=S3324练习 1：有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40 千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50 千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500 元和 700 元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【解】设水厂D 点与乙城到岸的垂足B 点之
30、间的距离为x 千米，总费用为y 元，则 CD 2240xy 500（50x） 70016002x25000500 x70016002x，y 500700 21(x21600)21 2 x 50016007002xx，令 y 0，解得 x3650答：水厂距甲距离为503650千米时，总费用最省【点评】当要求的最大（小）值的变量y 与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为 x，然后再根据条件x 来表示其他变量，并写出y 的函数表达式f（x） 四课堂练习1用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积（高为 1.2 m，最大容积31.8m）5课本练习五回顾总结： 解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。六布置作业七板书设计：课后反思；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
