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1、极限运算法则极限运算法则 一、一、一、一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则极限的四则运算法则二、复合函数的极限二、复合函数的极限二、复合函数的极限二、复合函数的极限 本节介绍极限的四则运算法则及复合函数的极限运本节介绍极限的四则运算法则及复合函数的极限运本节介绍极限的四则运算法则及复合函数的极限运本节介绍极限的四则运算法则及复合函数的极限运算法则，利用这些法则可以求某些函数的极限算法则，利用这些法则可以求某些函数的极限算法则，利用这些法则可以求某些函数的极限算法则，利用这些法则可以求某些函数的极限. . . . 由极限定义来求极限是不可取的，往往也是行不通由极限定义来求极
2、限是不可取的，往往也是行不通由极限定义来求极限是不可取的，往往也是行不通由极限定义来求极限是不可取的，往往也是行不通的，因此需寻求一些方法来求极限。的，因此需寻求一些方法来求极限。的，因此需寻求一些方法来求极限。的，因此需寻求一些方法来求极限。一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则一、极限的四则运算法则则有则有则有则有定理定理定理定理1 1 . . 若若若若( ( B B0 )0 )推论推论推论推论 1 1 . .( ( C C 为常数为常数为常数为常数 ) )推论推论推论推论 2 2 . .( ( n n 为正整数为正整数为正整数为正整数 ) ) 下面的定理，仅就
3、函数极限的情形给出，所得的结论下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立对数列极限也成立对数列极限也成立对数列极限也成立. . . .注注注注 （1 1 1 1）参与运算的函数必须个个极限都存在；）参与运算的函数必须个个极限都存在；）参与运算的函数必须个个极限都存在；）参与运算的函数必须个个极限都存在；（2 2 2 2）极限的四则运算法则可以推广至有限个函数的情形；）极限的四则运算法则可以推广至有限个函数的情形；）极限的四则运算法则可以推广至有限个函数的情形；）极限的四则运算法则可以
4、推广至有限个函数的情形；（3 3 3 3）在作除法运算时，分母的极限不能为）在作除法运算时，分母的极限不能为）在作除法运算时，分母的极限不能为）在作除法运算时，分母的极限不能为0.0.0.0.例例例例1 1 求求求求解解解解原式原式原式原式例例例例2. 2. x x = 3 = 3 时分母为时分母为时分母为时分母为 0 0 例例例例3. 3.例例例例4 4 4 4.求求求求解解解解: : x x = 1 = 1 时时时时分母分母分母分母 = 0 = 0 , , 分子分子分子分子00 , ,但因但因但因但因例例例例5.5.5.5. 求求求求解解解解: : 分子分母同除以分子分母同除以分子分母同除
5、以分子分母同除以则则则则“ “ 抓大头抓大头抓大头抓大头” ”原式原式原式原式(“ (“ 抓大头抓大头抓大头抓大头” ”法法法法) )解解解解: : 例例例例6 6 6 6 . . . . 求求求求时时时时, ,分子分子分子分子分子分母同除以分子分母同除以分子分母同除以分子分母同除以则则则则分母分母分母分母一般有如下结果：一般有如下结果：一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数 ) ) 分子、分母同除以分子、分母同除以分子、分母同除以分子、分母同除以x x的最高次幂的最高次幂的最高次幂的最高次幂, , 就可得到上就可得到上就可得到上就可得到上式式式式. . 例例例例7 7 7 7
6、求求求求解解解解 分子是分子是分子是分子是2 2次多项式次多项式次多项式次多项式, , 分母是分母是分母是分母是3 3次多项式次多项式次多项式次多项式, , 故故故故原式原式原式原式=0.=0.例例例例8 8 8 8 求求求求解解解解 分子是分子是分子是分子是 5 5 次多项式次多项式次多项式次多项式, , 分母是分母是分母是分母是 3 3 次多项式次多项式次多项式次多项式, , 故故故故原式原式原式原式= = . .例例例例9 9 9 9 求求求求 解解解解 分子是分子是分子是分子是5050次多项式次多项式次多项式次多项式, , 最高次幂的系数最高次幂的系数最高次幂的系数最高次幂的系数 a
7、a0 0=2=22020333030分母是分母是分母是分母是5050次多项式次多项式次多项式次多项式, ,最高次幂的系数的最高次幂的系数的最高次幂的系数的最高次幂的系数的 b b0 0=5=55050故故故故原式原式原式原式例例例例10101010 求求求求解解解解 此题此题此题此题当当当当时，为时，为时，为时，为不能直接计算，将分子分母同乘（不能直接计算，将分子分母同乘（不能直接计算，将分子分母同乘（不能直接计算，将分子分母同乘（原式原式原式原式= = = =的类型，的类型，的类型，的类型，）就）就）就）就可以将原式化为可以将原式化为可以将原式化为可以将原式化为例例例例11111111 求求
8、求求解解解解先先先先变变形化形化形化形化简简再再再再计计算：算：算：算： 时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，极限，极限，极限， 注：注：注：注：在定理中在定理中在定理中在定理中, , 若把若把若把若把 x xx x0 0 换成换成换成换成 x x 或把或把或把或把 u u0 0 换换换换成成成成 结论仍然是成立的结论仍然是成立的结论仍然是成立的结论仍然是成立的. .二、复合函数的极限二、复合函数的极限二、复合函数的极限二、复合函数的极限定理定理定理定理2. 2. 对于复合
9、函数对于复合函数对于复合函数对于复合函数如果如果如果如果时时时时, ,且且且且则有则有则有则有例例例例12121212 求求求求解解解解 可以把可以把可以把可以把看成是由看成是由看成是由看成是由复合而成复合而成复合而成复合而成. .因此因此因此因此由于由于由于由于如果函数如果函数如果函数如果函数在在在在有定义，且有定义，且有定义，且有定义，且则则则则例如例如例如例如表明此时符号表明此时符号表明此时符号表明此时符号“limlim”与与与与“f f ”可以对换可以对换可以对换可以对换. . . . 例例例例13.13.13.13. 例例例例14.14.14.14. 求求求求解解解解: : 由于由于
10、由于由于原式原式原式原式= =则令则令则令则令例例例例15151515 . . . . 求求求求解解解解: : 方法方法方法方法 1 1则则则则令令令令 原式原式原式原式方法方法方法方法 2 2例例例例1616 设设设设 具有极限具有极限具有极限具有极限 l l, , 试求试求试求试求a a和和和和l l . .解解解解 因为因为因为因为 故必有故必有故必有故必有 于是有于是有于是有于是有 4 4 a a = 0, = 0, 即即即即 a a = 4, = 4, 将将将将a a = 4= 4代回原极限式代回原极限式代回原极限式代回原极限式, , 有有有有解得解得解得解得 l l = 10. =
11、 10. 作作 业业P49 1 (2),(4),(6),(8),(10); 2 (2),(4),(6),(8),(10),(12); 3解解解解: :利用前一极限式可令利用前一极限式可令利用前一极限式可令利用前一极限式可令再利用后一极限式再利用后一极限式再利用后一极限式再利用后一极限式 , , 得得得得可见可见可见可见是多项式是多项式是多项式是多项式 , , 且且且且求求求求故故故故例例例例17171717定理定理定理定理3 3 3 3 如果如果如果如果是初等函数，是初等函数，是初等函数，是初等函数，则则则则例如，例如，例如，例如，是初等函数，是初等函数，是初等函数，是初等函数，一点，所以一点，所以一点，所以一点，所以综上可得综上可得综上可得综上可得: : : :是其定义域内是其定义域内是其定义域内是其定义域内一点，一点，一点，一点，是其定义域内是其定义域内是其定义域内是其定义域内
