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1、学习必备欢迎下载重庆科创职业学院授课教案课名:高等数学(工本0023)教研窒:数理教研室班级:编写时间:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页学习必备欢迎下载课题:第一节向量及其线性运算教学目的及要求:使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。教学重点:1. 向量的概念 2.向量的运算 3.空间直角坐标系的概念4.向量的坐标表示式教学难点:空间思想的建立,向量平行与垂直的关系,向量的坐标表示式小结与思考: 本节讲述了空间解析几何的重要
2、性以及向量代数的初步知识, 引导学生对向量 (自由向量) 有清楚的理解, 并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。如何运用平行四边形法则进行向量的减法运算?如何运用三角形法则进行多向量的加、减法运算?介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业: 见作业本 7.旁批栏:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
3、 3 页,共 12 页学习必备欢迎下载二、向量的线性运算1加减法cba: 加法运算规律:平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交换律和结合律见图74 74 加法运算图2cba即cba)(3向量与数的乘法a:设是一个数,向量a与的乘积a规定为0)1 (时,a与a同向,|aa0)2(时,0a0)3(时,a与a反向,|aa其满足的运算规律有:结合律、分配律。 设0a表示与非零向量a同方向的单位向量,那么aaa0定理 1:设向量 a0,那么,向量 b 平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数 ,使 ba。例 1:在平行四边形ABCD 中,设aAB,bAD, 试用a和 b 表示向量MA
4、、MB、MC和MD,这里 M 是平行四边形对角线的交点。(见图 75)解:AMAC2ba,于是)(21baMA由于MAMC,于是)(21baMC图 74 又由于MDBD2ba,于是)(21abMD由于MDMB,于是)(21abMB旁批栏:abc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页学习必备欢迎下载三、空间直角坐标系1将数轴(一维) 、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)
5、如图71,其符合右手规则。即以右手握住z轴,当右手的四个手指从x轴的正向以2角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向。2 空间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为:x轴、y轴、z轴,坐标面分别为xoy面、yoz面、zox面。坐标面以及卦限的划分如图72 所示。图 71 右手规则演示图图 72 空间直角坐标系图图 73 空间两点21MM的距离图3空间点),(zyxM的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。注意:特殊点的表示a) 在原点、坐标轴、坐标面上的点;b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。空间两点间的距离若),(1111zyxM、),(2222zyx
6、M为空间任意两点,则21MM的距离(见图73) ,利用直角三角形勾股定理为:2222122212212NMpNpMNMNMMMd而121xxPM12yyPN122zzNM旁批栏:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页学习必备欢迎下载所以21221221221)()()(zzyyxxMMd特殊地:若两点分别为),(zyxM,)0 ,0 ,0(o,则222zyxoMd例 1:求证以)1 , 3,4(1M、)2, 1 ,7(2M、)3, 2, 5(3M三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。证明 :14)21 () 13()74
7、(222221MM6)23() 12()75(222232MM6)13()32()45(222213MM由于1332MMMM,原结论成立。例 2:设P在x轴上,它到)3 ,2,0(1P的距离为到点)1, 1 ,0(2P的距离的两倍,求点P的坐标。解:因为P在x轴上,设P点坐标为)0,0 ,(x113222221xxPP21122222xxPP212PPPP,221122xx1x所求点为:)0,0 , 1(,)0,0 , 1(四、利用坐标作向量的线性运算1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量
8、与有序数之间的对应关系。设 a =21MM是以),(1111zyxM为起点 、),(2222zyxM为终点的向量,i、j、k 分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们图为这一坐标系的基本单位向量,由图75,并应用向量的加法规则知:)(1221xxMMi + )(12yyj+)(12zzk 或a = axi + ayj + azk 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式。旁批栏:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页学习必备欢迎下载有序数组ax、 ay、az与向量 a 一一对应,ax、ay、az就叫做向量a 的坐标
9、,并记为a ax,ay,az。上式叫做向量a 的坐标表示式。于是,起点为),(1111zyxM终点为),(2222zyxM的向量可以表示为,12121221zzyyxxMM特别地,点),(zyxM对于原点O 的向径,zyxOM注意 :向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标有本质区别:向量 a 的坐标是三个数ax、ay、 az;向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量axi 、 ayj 、 azk.2向量运算的坐标表示设,zyxaaaa,,zyxbbbb即kjiazyxaaa,kjibzyxbbb则(1) 加法:kjiba)()()(zzyyxxbababa(2) 减法:kjiba)()()(zzyy
10、xxbababa()数乘:kjia)()()(zyxaaa或,zzyyxxbabababa,zzyyxxbabababa,zyxaaaa()平行:若 a0 时,向量ab/相当于ab,即,zyxzyxaaabbb也相当于向量的对应坐标成比例,即旁批栏:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页学习必备欢迎下载五、向量的模、方向角、投影(一)向量的模与方向余弦的坐标表示式设,zyxaaaa, 可以用它与三个坐标轴的夹角、(均大于等于0,小于等于)来表示它的方向, 称、为非零向量a 的方向角, 见图 76,其余弦表示形式cosc
11、oscos、称为方向余弦。1 模222zyxaaaa2 方向余弦由性质1知coscoscoscoscoscos212121aaaMMaMMaMMazyx,当0222zyxaaaa时,有图76222222222coscoscoszyxzzzyxyyzyxxxaaaaaaaaaaaaaaaaaa任意向量的方向余弦有性质:1coscoscos222与非零向量a 同方向的单位向量为:cos,cos,cos,1zyxaaaaaaa0例: 已知两点 M1(2,2,2)、M2(1,3,0),计算向量21MM的模、方向余弦、方向角以及与21MM同向的单位向量。旁批栏:精选学习资料 - - - - - - -
12、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页学习必备欢迎下载解:21MM1-2 ,3-2,0-2=-1 ,1,-2 2)2(1)1(22221MM21cos,21cos,22cos32,3,43设0a为与21MM同向的单位向量,由于cos,cos,cos0a即得22,21,210a(二)向量的投影1几个概念(1) 轴上有向线段的值: 设有一轴u,AB是轴u上的有向线段, 如果数满足AB, 且当AB与轴u同向时是正的,当AB与轴u反向时是负的,那么数叫做轴u上有向线段AB的值 ,记做 AB,即AB。设 e 是与u轴同方向的单位向量,则eAB(2)设 A、 B、C 是
13、u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有BCABAC(3) 两向量夹角的概念:设有两个非零向量a和 b,任取空间一点O,作aOA,bOB,规定不超过的AOB称为向量a和 b 的夹角,记为()a,b(4) 空间一点A 在轴u上的投影: 通过点 A 作轴u的垂直平面, 该平面与轴u的交点A叫做点 A在轴u上的投影。(5) 向量AB在轴u上的投影: 设已知向量AB的起点 A 和终点 B 在轴u上的投影分别为点A和B,那么轴u上的有向线段的值BA叫做向量AB在轴u上的投影,记做ABjuPr。2投影定理性质 1: 向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦:cosPrABABju旁批栏
14、:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页学习必备欢迎下载小结与思考: 本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自由向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。如何运用平行四边形法则进行向量的减法运算?如何运用三角形法则进行多向量的加、减法运算?介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标(注意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念。作业: 见作业本 7.旁批栏:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页