《2022年第五讲函数方程不等式的思想》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年第五讲函数方程不等式的思想(6页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习好资料欢迎下载第五讲函数方程不等式的思想(一)一、填空题1. 已知函数 f(x)2x,x0 x1,x0,若 f(a)f(a)2012,则实数a 的值等于 _2011_ 2设2( )lg()1f xax的奇函数,则使( )0f x的X 的取值范围是(一1,0)3.若函数f(x)4xx21在区间 (m,2m 1)上是单调递增函数,则m 的取值范围为_ (1,0_4已知函数( )()()f xxaxb(其中ab,,a b为常数),若( )f x的图象如右图所示,则函数( )xg xab在区间 1,1 上的最大值是1ba5函数|log|21xy的定义域为,ba,值域为 0 ,2 ,则区间,ba的长
2、ab的最大值是1546.已知函 数31xxy的最 大值 为 M ,最 小值为m, 则mM的值为_2_7设正实数, ,x y z满足21xyz,则19()xyxyyz的最小值为 _7_8. 已 知 函 数2( )|6 |f xx, 若0ab,且( )( )f af b, 则2a b的 最 小 值 是 _ 16_9.已知001x,y,xy,则112xy的最小值为322. 10.已知函数f(x ) ln(xx21),若实数a, b 满足f(a) f(b1) 0,则ab 等于_1_11已知x是实数且2,3x若11min,|2 | |3 |Sxx,那么maxS=_2_,此时x=52_. 12设函数bxx
3、axh)(,对任意 2,21a,都有10)(xh在 1 ,41x恒成立,则实数b的取值范围是 _47b_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页学习好资料欢迎下载13已知实数x、y 满足205040xyxyy,若不等式222()()a xyxy恒成立,则实数a的最小值是 _95_14已知定义域为D的函数)(xf,对任意Dx,存在正数K,都有Kxf| )(|成立,则称 函 数)(xf是D 上 的 “ 有 界 函 数 ” 已 知 下 列 函 数 : 1sin2)(2xxf; 21)(xxf;xxf2log1)(;1)(2xxx
4、f,其中是 “有界函数” 的是 (写出所有满足要求的函数的序号)二、解答题15.经市场调查,某商品在过去100 天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=13t+1123(1t100,tN)前 40 天价格为f(t)=14t+22(1t40,tN),后 60 天价格为f(t)=12t+52 (41t100, tN),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值解:当 1t 40,tN 时,S (t)= g(t) f(t)= (13t+1123)(14t+22)=112t2+2t+112 223=112(t12)2+25003,所以 768=S(40)S(t)S(1
5、2)=112 223+12=250036 分当 41 t100,t N 时,S (t)= g(t) f(t)= (13t+1123)(12t+52)= 16t236t+112 523=16(t108)283,所以 8= S (100)S(t)S (41)=1491212 分所以, S(t)的最大值为25003,最小值为814 分强化: 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10 万元 1000 万元的投资收益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过9 万元,同时奖金不超过投资收益的20%现有两个奖励方案的函数模型
6、:(1)2150xy; (2)4lg3yx试问这两个函数模型是否符合该公司要求,并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页学习好资料欢迎下载解:设奖励函数模型为yf(x),由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件:当 x10,1000时, f(x)是增函数; f(x)9 恒成立; 1( )5f xx恒成立 对于函数模型( )2150xf x:当 x10,1000时, f(x)是增函数,则max100020( )(1000)2291503f xf所以 f(x) 9 恒成立3分因为函数( )12150f xxx在 10
7、,1000上是减函数,所以max( )121150105f xx从而1( )5f xx不恒成立故该函数模型不符合公司要求7分 对于函数模型f(x)4lgx3:当 x10,1000时, f(x)是增函数,则max( )(1000)4lg100039f xf所以 f(x) 9 恒成立9分设 g(x)4lgx35x,则4lg1( )5eg xx. 当 x10时,24lg12lg1lg1( )0555eeeg xx,所以 g(x)在10,1000上是减函数,从而g(x) g(10) 10,所以 4lgx35x 0,即 4lgx35x,所以1( )5f xx恒成立故该函数模型符合公司要求 14分16.
8、已知 f(x) x4 4x3(3m)x212x12,mR(1)若 f (1)0,求 m 的值,并求f(x)的单调区间;(2)若对于任意实数x,f(x)0 恒成立,求m 的取值范围解: (1)由 f (x)4x312x22(3m)x12,得f (1)4122(3m)120,解得 m 72 分所以f (x)4 x312x220x124(x1)(x22x3) 方程 x22x30 的判别式 2234 80,所以 x22x30所以 f (x)0,解得 x14 分由此可得f(x)的单调减区间是(, 1), f(x)的单调增区间是(1, ) 8 分(2)f(x)x44x3(3m)x212x12(x23)(x
9、2)2 (m4)x2x (,1) 1 (1, ) f (x) 0 f(x) 单调减极小值单调增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页学习好资料欢迎下载当 m4 时, f(2)4(m4)0,不合题意;12 分当 m4 时, f(x)(x23)(x2)2(m4)x20,对一切实数x 恒成立所以, m 的取值范围是4, )16 分强化 . 函数ln( )axf xxx,其中 a 为常数(1)证明:对任意aR,函数( )yf x 图像恒过定点;(2)当1a时,不等式( )20f xb在(0,)x上有解,求实数b的取值范围;(3)
10、若对任意,0am时,函数( )yf x 在定义域上恒单调递增,求m 的最小值解: (1)令ln0x,得1x,且(1)1f,函数( )yf x 图像恒过定点(1,1)2分(2)当1a时,ln( )xf xxx,21ln( )1xfxx,即22ln1( )xxfxx,令( )0fx,得1xx (0,1) 1 (1, )( )fx0 f(x) 极小值min( )(1)1fxf,( )20f xb在(0,x)上有解,min2( )bfx,即21b,实数 b的取值范围为1(,29分(3)2ln( )1aaxfxx,即22ln( )xaxafxx,令2( )lng xxaxa ,由题意可知,对任意,0)a
11、m,( )fx 0在(0,)x恒成立,即2( )ln0h xxaxa在(0,)x恒成立22( )2axah xxxx,令( )0h x,得2ax(舍)或2a列表如下:x (0,2a) 2a(2a, )( )h x0 h(x) 极小值min3( )()ln0222aahxha,解得32aem的最小值为32e 16分例 3.已知1ln( )xf xx.( 1)若函数( )f x在区间( ,1)a a上有极值,求实数a的取值范围;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页学习好资料欢迎下载( 2)若关于x的方程2( )2f xxx
12、k有实数解,求实数k的取值范围;( 3)当*nN,2n时,求证:111( )2231nf nn.解: (1)1ln( )xf xx,221(1 ln )ln( )xxxxfxxx当(0,1)x时,( )0fx;当(1,)x时,( )0fx;函数( )f x在区间( 0,1)上为增函数;在区间(1,)为减函数-3分当1x时,函数( )f x取得极大值,而函数( )f x在区间( ,1)a a有极值 .111aa,解得01a. -5 分(2) 由 ( 1) 得( )f x的极大值为(1)1f, 令2( )2gxxx k, 所以当1x时, 函数( )g x取得最小值(1)1gk, 又因为方程2( )
13、2f xxxk有实数解, 那么1 1k, 即2k,所以实数k的取值范围是:2k. -10 分(另解:2( )2fxxxk,21ln2xkxxx,令( )h x21ln2xxxx,所以( )h x2ln xx22x,当1x时,( )0h x当(0,1)x时,( )0h x;当(1,)x时,( )0h x当1x时,函数( )h x取得极大值为(1)2h当方程2( )2f xxxk有实数解时,2k. )( 3 )函 数( )f x在 区 间( 1 ,)为 减 函 数 , 而111(*,2)nNnn,1(1)(1)1ffn111ln(1)1nn,即1ln(1)lnnnnlnln 2ln1ln3ln 2lnln(1)nnn1111231n-12 分即1111ln2231nn,而( )1lnn f nn,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页学习好资料欢迎下载111( )2231nf nn结论成立 . -16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页