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1、学习必备欢迎下载初中数学竞赛专题辅导中位线及其应用中位线是三角形与梯形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连， 因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用例 1 如图 2-53所示 ABC中，AD BC于 D ，E，F，ABC的面积分析 由条件知，EF， EG分别是三角形 ABD和三角形 ABC的中位线利用中位线的性质及条件中所给出的数量关系，不难求出ABC 的高 AD及底边 BC的长解 由已知， E，F分别是 AB ，BD的中点，所以， EF是ABD 的一条中位线，所以由条件 AD+EF=12( 厘米)得EF=4(厘米) ，从而 AD=8(厘米) ，由于 E，G分别是
2、 AB ，AC的中点，所以 EG是ABC 的一条中位线，所以BC=2EG=26=12(厘米) ，显然， AD是 BC上的高，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载例 2 如图 2 -54 所示 ABC中， B，C的平分线 BE ，CF相交于O ，AG BE于 G ，AH CF于 H(1) 求证： GH BC ；(2) 若 AB=9厘米， AC=14厘米， BC=18厘米，求 GH 分析 若延长 AG ，设延长线交 BC于 M 由角平分线的对称性可以证明ABG MBG ，从而 G是 AM的中点；同样，延
3、长AH交 BC于 N，H是 AN的中点，从而 GH就是 AMN 的中位线，所以GH BC ，进而，利用 ABC的三边长可求出 GH的长度(1) 证 分别延长 AG ，AH交 BC于 M ，N，在 ABM 中，由已知， BG平分ABM ，BG AM ，所以ABG MBG(ASA) 从而， G是 AM的中点同理可证ACH NCH(ASA) ，从而， H是 AN的中点所以 GH是AMN 的中位线，从而， HG MN ，即HG BC (2) 解 由(1) 知， ABG MBG 及ACH NCH ，所以AB=BM=9 厘米， AC=CN=14 厘米又 BC=18厘米，所以BN=BC -CN=18 -14
4、=4(厘米)，MC=BC-BM=18 -9=9(厘米) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载从而MN=18 -4-9=5(厘米) ，说明 (1) 在本题证明过程中， 我们事实上证明了等腰三角形顶角平分线三线合一 (即等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线及垂线) 性质定理的逆定理：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的垂线，则这条平分线也是对边的中线，这个三角形是等腰三角形”(2) “等腰三角形三线合一定理”的下述逆命题也是正确的：“若三角形一个角的平分线也是该角对边的中线，则这个三角形是等腰三角形，这条
5、平分线垂直于对边”同学们不妨自己证明(3) 从本题的证明过程中，我们得到启发：若将条件“B，C的平分线”改为“ B(或C)及C(或B)的外角平分线” ( 如图 2-55 所示) ，或改为“ B，C的外角平分线” ( 如图 2-56 所示) ，其余条件不变，那么，结论 GH BC仍然成立同学们也不妨试证例 3 如图 2-57所示 P是矩形 ABCD 内的一点，四边形 BCPQ 是平行四边形， A，B，C ，D分别是 AP ，PB ，BQ ，QA的中点求证： AC=BD分析 由于 A，B，C，D 分别是四边形 APBQ 的四条边 AP ，PB ，BQ ，QA的中点，有经验的同学知道ABC D是平行
6、四边形， AC 与 BD 则是它的对角线，从而四边形ABCD应该是矩形利用ABCD 是矩形的条件，不难证明这一点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载证 连接 AB，BC ，C D，DA，这四条线段依次是 APB ，BPQ ，AQB ，APQ 的中位线从而ABAB ，BCPQ ，CDAB ，DAPQ ，所以，ABC D 是平行四边形由于ABCD 是矩形， PCBQ 是平行四边形，所以AB BC ，BC PQ 从而AB PQ ，所以 ABBC，所以四边形 ABC D 是矩形，所以AC=BD 说明 在解题过程
7、中，人们的经验常可起到引发联想、开拓思路、扩大已知的作用 如在本题的分析中利用 “四边形四边中点连线是平行四边形”这个经验，对寻求思路起了不小的作用因此注意归纳总结，积累经验，对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的例 4 如图 2-58所示在四边形ABCD 中，CD AB ，E，F 分别是 AC ，BD的中点求证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载分析 在多边形的不等关系中，容易引发人们联想三角形中的边的不形中构造中位线，为此，取AD中点证 取 AD中点 G ，连接 EG ，FG ，在 ACD 中
8、，EG是它的中位线 ( 已知E是 AC的中点 ) ，所以同理，由 F，G分别是 BD和 AD的中点，从而， FG是ABD的中位线，所以在EFG 中，EFEG -FG 由，例 5 如图 2-59所示梯形 ABCD 中，AB CD ，E为 BC的中点，AD=DC+AB求证： DE AE 分析 本题等价于证明 AED 是直角三角形，其中 AED=90 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载在 E 点(即直角三角形的直角顶点) 是梯形一腰中点的启发下， 添梯形的中位线作为辅助线，若能证明，该中位线是直角三角形AE
9、D的斜边 (即梯形另一腰 )的一半，则问题获解证 取梯形另一腰 AD的中点 F， 连接 EF， 则 EF是梯形 ABCD 的中位线，所以因为 AD=AB+CD，所以从而1=2，3=4，所以 2+3=1+4=90(ADE 的内角和等于 180) 从而AED= 2+3=90，所以 DEAE 例 6 如图 2-60所示 ABC外一条直线 l ，D ，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直 l 于 A1，F1，D1，E1求证：AA1+EE1=FF1+DD1分析 显然 ADEF 是平行四边形，对角线的交点O平分这两条对角线，OO1恰是两个梯形的公共中位线利用中位线定理可证精选学习资
10、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载证 连接 EF ，EA ，ED 由中位线定理知， EF AD ，DE AF ，所以 ADEF是平行四边形，它的对角线AE ，DF互相平分，设它们交于O ，作 OO1l于 O1，则 OO1是梯形 AA1E1E及 FF1D1D的公共中位线，所以即 AA1+EE1=FF1+DD1练习十四1已知 ABC中，D为 AB的中点， E为 AC上一点， AE=2CE ，CD ，BE交于 O点，OE=2厘米求 BO的长2已知 ABC 中，BD ，CE分别是 ABC ，ACB 的平分线， AH B
11、D于 H，AF CE于 F若 AB=14厘米，AC=8厘米，BC=18厘米，求 FH的长3已知在 ABC中，AB AC ，AD BC于 D，E，F，G分别是 AB ，BC ，AC的中点求证： BFE= EGD 4如图 2-61 所示在四边形 ABCD 中，AD=BC ，E，F分别是 CD ，AB的中点，延长 AD ，BC ，分别交 FE的延长线于 H，G 求证：AHF= BGF 5在ABC中，AH BC于 H，D，E，F分别是 BC ，CA ，AB的中点 (如图 2-62 所示) 求证： DEF= HFE 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载6如图 2-63 所示D，E分别在 AB ，AC上，BD=CE ，BE ，CD的中点分别是 M ，N，直线 MN 分别交 AB ，AC于 P，Q 求证： AP=AQ 7已知在四边形 ABCD 中，AD BC ，E，F分别是 AB ，CD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
