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1、康托尔与集合论康托尔与集合论主要内容简介集合论诞生历程三次数学危机集合论趋于完善启发简介格奥尔格康托尔 格奥尔格康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，）德国数学家，19世纪数学伟大成就之一集合论的创立人。生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。康托尔先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。 个人事迹 康托尔，康托尔，康托尔，康托尔，18621862年入苏黎世大学学工年入苏黎世大学学
2、工年入苏黎世大学学工年入苏黎世大学学工, ,翌年转入柏林大学攻读翌年转入柏林大学攻读翌年转入柏林大学攻读翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于数学和神学，受教于数学和神学，受教于数学和神学，受教于库默尔库默尔库默尔库默尔（KummerKummer，Ernst EduardErnst Eduard，）、，）、，）、，）、维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（维尔斯特拉斯（WeierstrassWeierstrass，Karl Theodor WilhelmKarl Theodor Wilhelm，）和，）和，）和，）和克罗内克克罗内克克罗内克克罗内克(Kronecker(Kronecker，
3、LeopoldLeopold，1823.12.7-1891.12.29)1823.12.7-1891.12.29)。18661866年曾去格丁根学习一学期。年曾去格丁根学习一学期。年曾去格丁根学习一学期。年曾去格丁根学习一学期。18671867年在库默尔指导下以解决年在库默尔指导下以解决年在库默尔指导下以解决年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程一般整系数不定方程一般整系数不定方程一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士求解问题的论文获博士求解问题的论文获博士求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分学位。毕
4、业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1869-19131913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义
5、无理数。而用有理数列极限定义无理数。而用有理数列极限定义无理数。而用有理数列极限定义无理数。18721872年成为该校副教授，年成为该校副教授，年成为该校副教授，年成为该校副教授，18791879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在精神分裂症，虽在精神分裂症，虽在精神分裂症，虽在18871887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直年恢复了健康，继续工作，但晚年一直年恢复了健康，继续工作，但晚年一
6、直年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。病魔缠身。病魔缠身。病魔缠身。19181918年年年年1 1月月月月6 6日在德国哈雷（日在德国哈雷（日在德国哈雷（日在德国哈雷（HalleHalle）- -维滕贝格大学维滕贝格大学维滕贝格大学维滕贝格大学附属精神病院去世。附属精神病院去世。附属精神病院去世。附属精神病院去世。康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，面的兴趣是数论，面的兴趣是数论，面的兴趣是数论，18
7、701870年开始研究三角级数并由此导致年开始研究三角级数并由此导致年开始研究三角级数并由此导致年开始研究三角级数并由此导致1919世纪世纪世纪世纪末、末、末、末、2020世纪初最伟大的数学成就世纪初最伟大的数学成就世纪初最伟大的数学成就世纪初最伟大的数学成就集合论和超穷数理论的建立。集合论和超穷数理论的建立。集合论和超穷数理论的建立。集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题问题问题
8、问题.1888-1893.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，年康托尔任柏林数学会第一任会长，年康托尔任柏林数学会第一任会长，年康托尔任柏林数学会第一任会长，18901890年年年年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。领导创立德国数学家联合会并任首届主席。领导创立德国数学家联合会并任首届主席。领导创立德国数学家联合会并任首届主席。 集合论诞生历程集合论诞生历程 集合论研究的开端：十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集。 1874 1874年，德国数学家康托尔在年，德国数学家康托尔在著名的著名的克
9、雷尔数学杂志克雷尔数学杂志上发表上发表了关于了关于无穷集合论无穷集合论的第一章革命性的第一章革命性文章。从文章。从18741874年到年到18841884年，康托尔年，康托尔的一系列关于集合的文章，奠定了的一系列关于集合的文章，奠定了集合论的基础。他对集合所下的定集合论的基础。他对集合所下的定义是：把义是：把若干确定的若干确定的、有区别的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，其中各事并起来，看作一个整体，其中各事物称为该物称为该集合集合的元素的元素。 格奥尔格康托尔 集合是数学的一个基本分支，在数学中占据着一集合是数学的一个基本分支，在数学中
10、占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那领域。如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论它在数学中的重要性。其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。一。集合集合论受排挤集合论受排挤 如同每一个新事物的出现一样，集合论一经问世就遭到许多数学家及其他学者的激烈反对。当时的权威数学
11、家克罗内克(Kronecker)非常敌视康托尔的集合论思想，时间达整整十年之久，法国数学大家庞加莱(Poincare)则预测后一代人将把集合论当作一种疾病。在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃。然而乌云遮不住太阳，经历二十余年后，集合论最终获得了世界公认。 克罗内克AND庞加莱克罗内克，德国数学克罗内克，德国数学家。对代数和代数数家。对代数和代数数论，特别是椭圆函数论，特别是椭圆函数理论有突出贡献。他理论有突出贡献。他的主要贡献在于努力的主要贡献在于努力统一数论、代数学和统一数论、代数学和分析学的研究。克罗分析学的研究。克
12、罗内克的数学观对后世内克的数学观对后世有极大影响。有极大影响。亨利亨利 庞加莱，法国数庞加莱，法国数学家、天体力学家、学家、天体力学家、数学物理学家、科学数学物理学家、科学哲学家。他被公认是哲学家。他被公认是1919世纪后四分之一和世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和学家，是对于数学和它的应用具有全面知它的应用具有全面知识的最后一个人。识的最后一个人。 二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们乐观二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们乐观地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以地认为从算术公理系统出发，只要借助集合论的概念，便可以建
13、造起整个数学的大厦。在建造起整个数学的大厦。在19001900年第二次国际数学大会上，著年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“ “数学已被算术化了。数学已被算术化了。我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。” ”然而这种自然而这种自得的情绪并没能持续多久。英国哲学家罗素得的情绪并没能持续多久。英国哲学家罗素(Russell)(Russell)就很怀疑数就很怀疑数学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于学的这种严密性，他经过三年的苦思冥想，于19021902年找到了一年找到了一个能证明自己观点的简单
14、明确的个能证明自己观点的简单明确的“ “罗素悖论罗素悖论罗素悖论罗素悖论” ”。不久，集合论。不久，集合论是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。是有漏洞的消息迅速就传遍了数学界。 集合论的漏洞 罗素罗素（Russell），英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家，无神论或者不可知论者，也是上世纪西方最著名、影响最大的学者和和平主义社会活动家之一，1950年诺贝尔文学奖得主，同时被认为是与弗雷格、维特根斯坦和怀特海一同创建了分析哲学。罗素悖论 罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论。论。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：在某个城市中有一位理
15、发师，他的广告词是这样写的：“ “本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！我对各位表示热诚欢迎！” ”来找他刮脸的人络绎不绝，来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸
16、，他就属于不给自己刮脸，他就属于“ “不给自己刮脸的人不给自己刮脸的人” ”，他，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“ “给自己刮脸的人给自己刮脸的人” ”，他就不该给自己刮脸。，他就不该给自己刮脸。 理发师悖论号称理发师悖论号称“ “天衣无缝天衣无缝” ”、“ “绝对严密绝对严密” ”的的数学陷入了自相矛盾之中。从此整个数学的基础被动数学陷入了自相矛盾之中。从此整个数学的基础被动摇了，由此引发了数学史上的摇了，由此引发了数学史上的第三次数学危机第三次数学危机。理发师悖论三次数学危机第一次数学危机： 无理数的发现第一次数学危机 。希帕
17、索斯提出一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少？他导致了数学史上第一个无理数 的诞生。掀起当时数学界上一场巨大风暴。直接动摇毕达哥拉斯学派的数学信仰。第二次数学危机无穷小量取值大小 源于微积分工具的使用。微积分在很多疑难问题运用中及其简单，但是不论是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都不是严格的。对于无穷小量是不是0的看法引发了数学史上第二次危机。第三次数学危机悖论的产生。在康托尔的集合论被公认没多久，1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论存在漏洞。这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。公理化集合论的诞生 危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。危机产生后，众多数学家
18、投入到解决危机的工作中去。19081908年，德国数学家策梅罗年，德国数学家策梅罗(E.Zermelo)(E.Zermelo)提出公理化集合论，试提出公理化集合论，试图把集合论公理化的方法来消除悖论。他认为悖论的出现是由于图把集合论公理化的方法来消除悖论。他认为悖论的出现是由于康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混康托尔没有把集合的概念加以限制，康托尔对集合的定义是含混的策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为的策梅罗希望简洁的公理能使集合的定义及其具有的性质更为显然。策梅罗的公理化集合论后来演变成显然。策梅罗的公理化集合论后来演变成ZFZF或或ZFSZFS公理系
19、统。从公理系统。从此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免此原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在与此相对应，在19081908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数地解决了第三次数学危机。公理化集合论的建立，标志着著名数学家学家希耳伯特希耳伯特所表述的一种激情的胜利！所表述的一种激情的胜利！启发无论是康托尔，还是牛顿或者莱布尼兹，他们所创立的理论或者定理并非开始就趋于完善的。都是经过后来无数专业人士不断实验和改正后才形成了现在的学科。质变的发生必然需要量变达到一定程度才能发生，进而说明无论是数学或者其他学科都是如此，前方并不一帆风顺，只有那些坚持不懈，勇于挑战的人才会走向最后的成功！
