最新协调与谈判四川大学精品课件

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1、协调与谈判四川大学协调与谈判四川大学博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）24.1 4.1 协调博弈协调博弈 4.1.1 多重纳什均衡多重纳什均衡 4.1.2 协调博弈协调博弈2博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）9聚点均衡 在多重均衡的博弈中，有一致意向选择的均衡为在多重均衡的博弈中，有一致意向选择的均衡为“聚点均衡聚点均衡”，它取决于该，它取决于该博弈之外的特定环境。博弈之外的特定环境。 夫妻爱好问题夫妻爱好问题 纯策略纳什均衡分别是（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。不存在上

2、述的帕纯策略纳什均衡分别是（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。不存在上述的帕累托占优纳什均衡，也不存在风险占优纳什均衡，其均衡选择依赖于该博弈之外累托占优纳什均衡，也不存在风险占优纳什均衡，其均衡选择依赖于该博弈之外的特定环境。如果丈夫工作劳累，妻子温柔体贴，他们会选择（足球，足球）；的特定环境。如果丈夫工作劳累，妻子温柔体贴，他们会选择（足球，足球）；如果该周末正好是妻子的生日，他们会选择（芭蕾，芭蕾）如果该周末正好是妻子的生日，他们会选择（芭蕾，芭蕾）9博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕

3、）10 现有两个人约定第二天就一项重要事宜进行商讨，但未给出具体时间。一现有两个人约定第二天就一项重要事宜进行商讨，但未给出具体时间。一旦约会成功，两人都会有收益，约会不能见面会误事，收益为负效应。假旦约会成功，两人都会有收益，约会不能见面会误事，收益为负效应。假设第一人在时刻到达，而第二个人在时刻到达。显然当设第一人在时刻到达，而第二个人在时刻到达。显然当 时，是纳什时，是纳什均衡点，这种纳什均衡点有无穷多个。均衡点，这种纳什均衡点有无穷多个。 在多重均衡的博弈中，在多重均衡的博弈中，聚点均衡聚点均衡只能只能 具体问题具体分析具体问题具体分析 例4.1.3 约会博弈10博弈论及其应用（汪贤裕

4、）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）114.1.2 协调博弈 多重均衡的博弈的两个难题多重均衡的博弈的两个难题 协调博弈的分类协调博弈的分类 纯粹协调博弈的特征纯粹协调博弈的特征 博弈论专家对实现协调有一些共同的看法博弈论专家对实现协调有一些共同的看法 11博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）12多重均衡的博弈的两个难题多重均衡的博弈的两个难题第一个难题第一个难题 当理性的局中人面临着多种策略可以达到均

5、衡时，如何使所有局当理性的局中人面临着多种策略可以达到均衡时，如何使所有局中人在策略选择上实现纳什均衡的一致性，即使每个局中人的中人在策略选择上实现纳什均衡的一致性，即使每个局中人的选选择结果择结果而组成的策略组合而组成的策略组合是一个纳什均衡是一个纳什均衡。第二个难题第二个难题 在多重均衡中，存在有社会最优的帕累托占优纳什均衡，如何使在多重均衡中，存在有社会最优的帕累托占优纳什均衡，如何使所有的局中人所有的局中人选择策略选择策略，使得组成的策略组合，使得组成的策略组合是一个帕累托占优是一个帕累托占优纳什均衡纳什均衡。12博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕

6、）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）13协调博弈的分类协调博弈的分类协调博弈的分类: :纯粹协调博弈和非纯粹协调博弈纯粹协调博弈和非纯粹协调博弈 纯粹协调博弈纯粹协调博弈：局中人对不同的均衡有相同的：局中人对不同的均衡有相同的 偏好。（例偏好。（例4.1.24.1.2） 非纯粹协调博弈非纯粹协调博弈：局中人对不同的均衡有不同的：局中人对不同的均衡有不同的 偏好。（夫妻爱好博弈偏好。（夫妻爱好博弈）13博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）14纯粹协调博弈

7、的特征例例4.1.4 Cooper4.1.4 Cooper的协调博弈的协调博弈 设有两个局中人设有两个局中人A A和和B B，两人从事同一种生产。局中人努力的，两人从事同一种生产。局中人努力的 情况为情况为 。假设人均消费量为。假设人均消费量为 每个人的得益为每个人的得益为 得益矩阵：得益矩阵： （1 1，1 1）是）是风险占优均衡，风险占优均衡，（2 2，2 2）是）是帕累托占优纳什均衡帕累托占优纳什均衡。14博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）15策略的互补性策略的互补性：有一个局中

8、人选择了帕累托占优纳什均衡中的策：有一个局中人选择了帕累托占优纳什均衡中的策略，能增加另一方选择帕累托占优纳什均衡中策略的边际收益。略，能增加另一方选择帕累托占优纳什均衡中策略的边际收益。这种具有正反馈的特征称之为策略的互补性。这种具有正反馈的特征称之为策略的互补性。对纯粹协调博弈，（下面简称协调博弈）的研究大多采用对纯粹协调博弈，（下面简称协调博弈）的研究大多采用实验博实验博弈弈的方法进行的方法进行纯粹协调博弈的特征15博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）16CG（Cooperatio

9、n Game）的得益矩阵：的得益矩阵：纯策略纳什均衡纯策略纳什均衡1，1和和2，2，其中，其中1，1是风险占优均衡，是风险占优均衡，2，2是帕累托占优纳什均衡是帕累托占优纳什均衡 库珀库珀（Cooper）实验实验 选择了选择了11个人，每人均与其余人进行上述得益矩阵下的两次博弈，其个人，每人均与其余人进行上述得益矩阵下的两次博弈，其博弈顺序不是公共的知识。若每次博弈完后，则按上面得益矩阵计分。博弈顺序不是公共的知识。若每次博弈完后，则按上面得益矩阵计分。当实验全部结束后，参与人按所得的分数进行奖励。当实验全部结束后，参与人按所得的分数进行奖励。纯粹协调博弈的特征16博弈论及其应用（汪贤裕）博博

10、弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）17实验结果表明，自然协调成功的情况不存在实验结果表明，自然协调成功的情况不存在风险占优在风险占优在该博弈中的指导作用要好于帕累托占优。该博弈中的指导作用要好于帕累托占优。类似的类似的2人协调博弈实验人协调博弈实验: :取所取得局中人的得益函数为取所取得局中人的得益函数为 其中其中: :为局中人的策略，取值为自然数序列为局中人的策略，取值为自然数序列 这些实验都与库珀对这些实验都与库珀对CG-22的博弈实验有类似结论的博弈实验有类似结论17博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用

11、（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）18例例4.1.6 CG-334.1.6 CG-33协调博弈协调博弈：CG的意义同例的意义同例4.5，33是指一个是指一个2人人3策略的策略的非合作博弈。非合作博弈。 得益矩阵：得益矩阵： 库珀通过改变参数库珀通过改变参数x和和y的取值，实验局中人对这些参数的理解和对均的取值，实验局中人对这些参数的理解和对均衡的影响。三个最典型的实验：衡的影响。三个最典型的实验： 情形情形1：（x，y）=（1000，0） 情形情形2：（x，y）=（700，1000）这两种情况下，策略组合这两种情况下，策略组

12、合1，1和和2，2都是纯策略纳什均衡，且都是纯策略纳什均衡，且1，1是风险占优均衡，是风险占优均衡，2，2是帕累托占优纳什均衡。是帕累托占优纳什均衡。18博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）19实验的结果：实验的结果：（1）博弈的结果基本上都是纳什均衡；博弈的结果基本上都是纳什均衡；（2）在情形在情形1中，多数结果是中，多数结果是1，1风险占优均衡；在情形风险占优均衡；在情形2中，多数中，多数 结果是结果是2，2帕累托占优纳什均衡。帕累托占优纳什均衡。情形情形3：（：（x，y）=（700

13、，650）。）。 3，3仍然是次优的策略组合。对策略仍然是次优的策略组合。对策略3，局中人的最优反应是策略，局中人的最优反应是策略1。但实验结果表现为均衡但实验结果表现为均衡2，2结果。库珀得到结果。库珀得到“没有出现完全和这些结果没有出现完全和这些结果一致的解释一致的解释”。这里的。这里的“这些结果这些结果”是指上面提出的，寻求次优策略的最是指上面提出的，寻求次优策略的最优反映导致了均衡结果的选择。优反映导致了均衡结果的选择。19博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）20博弈论专家对实现

14、协调有一些共同的看法1. 1. 博弈前的交流。博弈前的交流。 假定在博弈前，局中人可以向对方传递信息，但这一信息并不假定在博弈前，局中人可以向对方传递信息，但这一信息并不约束局中人在博弈中对策略的选择。这类博弈通常称为廉价商约束局中人在博弈中对策略的选择。这类博弈通常称为廉价商议议（cheap talk）博弈博弈。20博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）212. 2. 外部建议外部建议 假设在博弈前，存在一个局中人之外的建议者，他对局中人的策略选择假设在博弈前，存在一个局中人之外的建议者

15、，他对局中人的策略选择给出建议。范给出建议。范海克海克（Van Huyck）等人对下面三个博弈进行了外部建议等人对下面三个博弈进行了外部建议的实验。的实验。 （a） （b） （c） 表表4.17（a）：）：收到外部建议之前收到外部建议之前40%在纯策略纳什均衡上协调成功在纯策略纳什均衡上协调成功 给出外部建议时给出外部建议时协调成功的概率是协调成功的概率是95%博弈论专家对实现协调有一些共同的看法21博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）22表表4.1.7（b）：）：1未收到外部建议之前未

16、收到外部建议之前98%的博弈实验结果是纳什均衡（的博弈实验结果是纳什均衡（1，1） 2外部建议选取均衡外部建议选取均衡3，3时时 17%的局中人接受了建议的局中人接受了建议 3外部建议选取外部建议选取2，2时时有有75%的局中人接受了建议的局中人接受了建议结果表明结果表明当建议不符合局中人利益时，局中人并不接受建议当建议不符合局中人利益时，局中人并不接受建议表表4.1.7（c）：）：1未收到外部建议之前未收到外部建议之前70%的博弈实验结果是纳什均衡（的博弈实验结果是纳什均衡（2，2） 2外部建议者给出一个外部建议者给出一个1，1均衡（或均衡（或3，3均衡）建议时均衡）建议时实验实验 博弈的结

17、果与建议相符的只有博弈的结果与建议相符的只有16%结果表明结果表明若外部建议不是帕累托占优纳什均衡时，建议无效若外部建议不是帕累托占优纳什均衡时，建议无效博弈论专家对实现协调有一些共同的看法22博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）23 3. 3. 外部选择：外部选择： 假定在协调博弈之前增加一个对博弈之外的选择，再进行协假定在协调博弈之前增加一个对博弈之外的选择，再进行协调博弈，会增加协调成功的可能性。调博弈，会增加协调成功的可能性。 库珀对库珀对CG-22协调博弈（即例协调博弈（即例4

18、.1.5）实验）实验 77%的博弈结果是的博弈结果是2，2帕累托占优纳什均衡，只有帕累托占优纳什均衡，只有2%的博弈结果是的博弈结果是1，1风险占优均衡。风险占优均衡。范范海克对海克对CG-22协调博弈进行了实验协调博弈进行了实验 几乎所有的结果都是几乎所有的结果都是2，2帕累托占优纳什均衡。帕累托占优纳什均衡。博弈论专家对实现协调有一些共同的看法23博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）244.2 相关均衡 相关均衡相关均衡 事前沟通的两个例子事前沟通的两个例子 相关均衡是一种机制设计的

19、思想相关均衡是一种机制设计的思想 24博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）25相关均衡 纳什均衡的异议：纳什均衡没有考虑均衡的效率（静态博弈的纳什均纳什均衡的异议：纳什均衡没有考虑均衡的效率（静态博弈的纳什均衡中）例如，在例衡中）例如，在例4.1.6，CG-33协调博弈中，无论（协调博弈中，无论（x，y）取什么样）取什么样的数对，的数对， 1，1和和2，2都是纯策略纳什均衡点，而博弈中效率最高的都是纯策略纳什均衡点，而博弈中效率最高的结果（结果（600，600）是策略组合）是策略组合3，

20、3的结果。的结果。 如何实现效率最高的策略组合？如何实现效率最高的策略组合？ 相关均衡相关均衡25博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）26事前沟通的两个例子1 夫妻爱好博弈夫妻爱好博弈纯策略纳什均衡：（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。纯策略纳什均衡：（足球，足球）和（芭蕾，芭蕾）。静态博弈中静态博弈中策略选择结果未必是纳什均衡。策略选择结果未必是纳什均衡。 一个约定一个约定 抛一硬币，若正面向上，在博弈中，双方都选择抛一硬币，若正面向上，在博弈中，双方都选择足球足球策略；若反面向上，在策略

21、；若反面向上，在博弈中，双方都选择博弈中，双方都选择芭蕾芭蕾策略。根据博弈前双方的约定，保证了博弈的结果策略。根据博弈前双方的约定，保证了博弈的结果是一个纯策略纳什均衡。是一个纯策略纳什均衡。26博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）272 2 广告博弈广告博弈 设有两个商家出售同一种商品。为了促进商品的销售，可以进行广告宣传，但设有两个商家出售同一种商品。为了促进商品的销售，可以进行广告宣传，但做广告需要成本。假设两个商家都做广告，肯定双方都有收益；都不做广告，做广告需要成本。假设两个商

22、家都做广告，肯定双方都有收益；都不做广告，则双方都无收益；若有一个商家做广告，而另一家不做，则做广则双方都无收益；若有一个商家做广告，而另一家不做，则做广 告的商家独自承担成本，但另一个商家则坐享告的商家独自承担成本，但另一个商家则坐享 广告带来的好处。两商家分别是广告带来的好处。两商家分别是1 1和和2 2，策略集，策略集 都是都是 做广告，不做广告做广告，不做广告 ，收益情况如右图，收益情况如右图纳什均衡：纳什均衡： 做广告，不做广告做广告，不做广告 ， 不做广告，做广告不做广告，做广告 和和 。前两个是纯策略纳什均衡。混合策略纳什均衡的结果是前两个是纯策略纳什均衡。混合策略纳什均衡的结果

23、是27博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）28博弈的约定：博弈的约定： 约定约定1 1 ：抛一枚硬币，若正面向上，采用（做广告，不抛一枚硬币，若正面向上，采用（做广告，不做广告）策略组合；若反面向上，采用（不做广告，做广告）策做广告）策略组合；若反面向上，采用（不做广告，做广告）策略组合。由于抛硬币时出现正面和反面的概率都是一样的，则每略组合。由于抛硬币时出现正面和反面的概率都是一样的，则每个商家得到的期望收益为：个商家得到的期望收益为： 约定约定2 2：选择一个博弈的局外人，按下面三步

24、确立每个商选择一个博弈的局外人，按下面三步确立每个商家的策略选择：家的策略选择：28博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）29 第一步第一步，局外人在，局外人在A,B,C中随机地任取一个字母，然后进入下一步；中随机地任取一个字母，然后进入下一步； 第二步第二步，若局外人选取是，若局外人选取是A则通知商家则通知商家1，不通知商家，不通知商家2；，若局外人选取是；，若局外人选取是B，则，则 通知商家通知商家2，不通知商家，不通知商家1；若局外人选取是；若局外人选取是C则两个商家都不通知，然后则

25、两个商家都不通知，然后 进入第三步；进入第三步； 第三步第三步，若商家，若商家1得到通知，则选择得到通知，则选择不做广告不做广告，否则选择，否则选择做广告做广告，若商家，若商家2得到得到 通知，则选择通知，则选择不做广告不做广告，否则选择，否则选择做广告做广告。 约定的结果：约定的结果：（1）局外人选取）局外人选取A，则有策略组合，则有策略组合不做广告，做广告不做广告，做广告，导致一个纳什均衡的出现；，导致一个纳什均衡的出现；（2）局外人选取）局外人选取B，则有策略组合，则有策略组合做广告，不做广告做广告，不做广告，导致一个纳什均衡的出现；，导致一个纳什均衡的出现；（3）局外人选取）局外人选取

26、C，则有策略组合，则有策略组合做广告，做广告做广告，做广告，导致一个次优策略组合出现；，导致一个次优策略组合出现； 29博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）30 由第一步的选取是等可能的，则选取由第一步的选取是等可能的，则选取A，B和和C的概率分别是的概率分别是 ，因而商家的期，因而商家的期望收益为：望收益为： 。 广告博弈中的博弈前约定满足下面两个要求：广告博弈中的博弈前约定满足下面两个要求： 1. 1. 约定是公平合理的，双方都愿意接受；约定是公平合理的，双方都愿意接受； 2. 2.

27、 在约定的要求下，没有人愿意单独的违背约定，否则可能导致自己在约定的要求下，没有人愿意单独的违背约定，否则可能导致自己得益的损失。得益的损失。 上面两个条件的约定实际上是博弈中局中人策略选择的理性规定，称之为上面两个条件的约定实际上是博弈中局中人策略选择的理性规定，称之为博弈的相关均衡博弈的相关均衡。 30博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）31 例例4.2.1中两种约定的比较中两种约定的比较 1 根据博弈的得益结构情况看：根据博弈的得益结构情况看：第一种约定比第二种约定的结第一种约定比

28、第二种约定的结果要好些果要好些 2 将得益结构作如下变化：将得益结构作如下变化： 约定约定2要比约定要比约定1好好。（提示：。（提示： ）31博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）32相关均衡是一种机制设计的思想 博弈的相关均衡的确立是一种机制设计的思想，博弈的相关均衡的确立是一种机制设计的思想，这种机制设计满足纳什均衡的思想，这种机制设计必这种机制设计满足纳什均衡的思想，这种机制设计必须使博弈的局中人对博弈有足够的理解和相互的信任，须使博弈的局中人对博弈有足够的理解和相互的信任，因为约定

29、是没有法律效力的。因为约定是没有法律效力的。 适用于相关均衡的博弈分析必须是局中人的收适用于相关均衡的博弈分析必须是局中人的收益情况是对称的，这才能保证约定的公平合理。益情况是对称的，这才能保证约定的公平合理。32博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）334.3 纳什谈判解纳什谈判解 纳什谈判解的实质纳什谈判解的实质 二人谈判问题二人谈判问题 谈判过程谈判过程 纳什公理体系纳什公理体系 纳什谈判解的定义纳什谈判解的定义 纳什谈判解的三个定理纳什谈判解的三个定理 三个定理的说明三个定理的说明

30、 例题例题4.3.1 4.3.1 例题例题4.3.24.3.233博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）34纳什谈判解的实质 1 1 纳什谈判解纳什谈判解又称为又称为纳什讨价还价解纳什讨价还价解 2 2 纳什谈判解纳什谈判解(1950,(1950,纳什纳什)从非合作博弈向合作博弈的演变从非合作博弈向合作博弈的演变 这里的合作博弈具有这里的合作博弈具有非线性的可转移支付非线性的可转移支付。如何使局中人能得到的收益达。如何使局中人能得到的收益达到公平合理，纳什给出了到公平合理，纳什给出了纳什公

31、理体系纳什公理体系，并推导出纳什解的结果。，并推导出纳什解的结果。34博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）35二人谈判问题设有一个二人有限策略的完全信息静态博弈，即双矩阵博弈。局中人设有一个二人有限策略的完全信息静态博弈，即双矩阵博弈。局中人1取混合取混合策略策略 ，局中人，局中人2取混合策略集取混合策略集 ，局中人，局中人1和和2的支付矩阵分别是的支付矩阵分别是A和和B，即，即 。当局中人。当局中人1取策略取策略 局中人局中人2取策略取策略 时，局中人时，局中人1和和2的得益的得益 分

32、别为分别为: 记两人所得为记两人所得为 ，并考虑到可用抽彩方式决定两人的收益，且抽彩结，并考虑到可用抽彩方式决定两人的收益，且抽彩结果是线性的，则两个局中人的得益果是线性的，则两个局中人的得益 是是 中一个有界闭凸子集，记中一个有界闭凸子集，记 并称为并称为结果集或可达集。即任何结果集或可达集。即任何 表示两个局中人可以共同行动，分别获得收表示两个局中人可以共同行动，分别获得收益益 。一般地讲，在可达集。一般地讲，在可达集 的帕累托边界上，一个局中人得到的多一些，的帕累托边界上，一个局中人得到的多一些，另一个局中人得到的就少一些。那么一个局中人能同意让对方得到多少呢？给另一个局中人得到的就少一

33、些。那么一个局中人能同意让对方得到多少呢？给对方少一些所得，对方是否会接受呢？这构成了两个局中人的谈判问题。对方少一些所得，对方是否会接受呢？这构成了两个局中人的谈判问题。35博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）36谈判过程 初始参考点初始参考点，设为，设为 （共同知识）（共同知识）（4.3.1） （4.3.2） 显然由（显然由（4.3.1）和（）和（4.3.2）式确立的）式确立的 是可以达到博弈结果集是可以达到博弈结果集的，即的，即 。 局中人注意到局中人注意到 往往是往往是 的一个内

34、点，他们想以的一个内点，他们想以 为谈判为谈判的初始点，在的初始点，在 中寻找比中寻找比 更高的收益，并且是双方都能接受的，更高的收益，并且是双方都能接受的，记为记为 ，并称，并称 为为纳什谈判解纳什谈判解。则谈判过程可以抽象地记为：。则谈判过程可以抽象地记为： （4.3.3）36博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）37纳什公理体系公理公理1 （个体合理性）（个体合理性） ；公理公理2 （可行性）（可行性） ；公理公理3 （帕累托最优性）（帕累托最优性） 若若 ，且，且 ，则，则 公理公

35、理4 （无关方案的独立性）（无关方案的独立性） 若若 ，则则公理公理5 （线性变换的无关性）（线性变换的无关性） 若若 ，且，且 ，则，则 。公理公理6（对称性）（对称性）如果对任意如果对任意 ，都有，都有 ，若若 ，则，则37博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）38纳什谈判解的定义 定义定义4.3.14.3.1 满足上述纳什公理体系下的称为满足上述纳什公理体系下的称为纳什谈纳什谈 判解判解（Nash bargaining solution）。）。 38博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及

36、其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）39纳什谈判解的三个定理定理定理4.3.1 若若 是有界的闭凸集，是有界的闭凸集， 为谈判初始点。若有为谈判初始点。若有 满足满足 ，则下面的规划有唯一的最优解：，则下面的规划有唯一的最优解： （4.3.4）定理定理4.3.2 若若 是定理是定理4.3.1条件下的最优解，令函数条件下的最优解，令函数（4.3.5） 则则 有有 。定理定理4.3.3 设设2人谈判问题的结果集人谈判问题的结果集 为凸集，为凸集， 是初始参考点，则存是初始参考点，则存在唯一满足公理在唯一满足公理1到公理到公理

37、6的函数的函数 。证明过程：定理证明过程：定理4.3.1见见 定理定理4.3.2见见 定理定理4.3.3 见见39博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）40定理定理4.3.1的证明的证明最优解的最优解的存在性存在性。由于。由于 显然是有界的闭集，因此连续函数在此集合显然是有界的闭集，因此连续函数在此集合上必有最优值和最优解。上必有最优值和最优解。最优解的最优解的唯一性唯一性。反证法。设有。反证法。设有 和和 都是最优解且都是最优解且 ，不妨假定，不妨假定 设设 由于由于 是凸集，是凸集，

38、。于是。于是 显然，显然， 。这与。这与 和和 都是最大值点矛盾。故都是最大值点矛盾。故 的最大值点是惟一的。的最大值点是惟一的。 40博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）41定理定理4.3.2的证明的证明 采用采用反证法反证法。 设存在有设存在有 ，使得，使得 。令。令。（。（4.3.6） 因为因为 是凸集，因此是凸集，因此 。此时。此时 。（。（4.3.7） 由假设，有由假设，有 （4.3.8） 在（在（4.3.7）式中当）式中当 ，最后一项可以忽略。并由（，最后一项可以忽略。并由（

39、4.3.8）式有）式有 。 （4.3.9） 但是这与但是这与 是是 的最大值点矛盾。故的最大值点矛盾。故 有有 41博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）42定理定理4.3.3的证明的证明 令令 是定理是定理3.4.1所得的最优解。下面所得的最优解。下面证明满足公理证明满足公理1到公理到公理6。 显然，显然， 满足公理满足公理1和和2。又因为如果。又因为如果 且且 ，那么，那么 。因此，它满足。因此，它满足公理公理3。它同时满足。它同时满足公理公理4，这是因为如，这是因为如果它是果它是 在

40、在 上的最大值点，它一定也是上的最大值点，它一定也是 上的最大值点。令上的最大值点。令 ， 。此时。此时 （4.3.10） 因此，当因此，当 是是 的最大值点时，的最大值点时， 亦是亦是 的最大值点。所以的最大值点。所以 满足满足公理公理5。最后，它也满足。最后，它也满足公理公理6。因为，如果。因为，如果 是对称的，并且是对称的，并且 ，我们，我们易知易知 ： ，而，而 是是 唯一的最大值点，因此唯一的最大值点，因此 ，也就是说，也就是说 。42博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）43

41、验证满足验证满足 纳什公理体系的纳什公理体系的解的唯一性解的唯一性 如上定理如上定理4.3.1所得的最优解，考虑如下集合所得的最优解，考虑如下集合 （4.3.11） 因为为定理因为为定理4.3.1的最优解，由定理的最优解，由定理4.3.2， 。 考虑从考虑从 到到 的一个线性变换：的一个线性变换： （4.3.12） 由于由于 ，即，即 也即：也即： 由定理由定理4.3.1假设可知，假设可知， ，从而，从而 于是，于是， 定理定理4.3.34.3.3的证明（续）的证明（续）43博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其

42、应用（汪贤裕）（汪贤裕）44 此时，由（此时，由（4.3.12）式有）式有 。又因为。又因为 是对称的，根据公理是对称的，根据公理6可知，可知，讨价还价解一定在讨价还价解一定在 线上。根据公理线上。根据公理3 ，它即为点，它即为点 根据上述线性变换的反变换，由公理根据上述线性变换的反变换，由公理5可知，可知， 一定是一定是 的解。因为的解。因为 ，根据公理，根据公理4， 也是的解。而也是的解。而这个问题的最优解是唯一的，所以这个问题的最优解是唯一的，所以 是是 唯一最优解唯一最优解。 当当定理定理4.3.1的条件不成立时的条件不成立时，有两种情况：，有两种情况：在在第一种情况第一种情况里，取里

43、，取 。此时从公理。此时从公理1至公理至公理3可以看出不存在可以看出不存在其它的解，且满足从公理其它的解，且满足从公理1到公理到公理6也只有这样的也只有这样的唯一解唯一解 。 在在第二种情况第二种情况里，取里，取 。此时从公理。此时从公理1至公理至公理3可以看出不存可以看出不存在其它的解，且满足从公理在其它的解，且满足从公理1到公理到公理6也只有这样的也只有这样的唯一解唯一解 。 定理定理4.3.34.3.3的证明（续）的证明（续）44博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）45三个定理的说

44、明三个定理的说明 定理定理4.3.3表明，满足纳什公理体系的谈判解表明，满足纳什公理体系的谈判解 是存在的，并且由定是存在的，并且由定理理4.3.1可知，它即是可知，它即是 函数在函数在 中求最大值时的最优解。满足纳什公理中求最大值时的最优解。满足纳什公理体系（公理体系（公理1公理公理6）的）的纳什谈判解纳什谈判解也简称为也简称为谈判解谈判解，有的教材也称为，有的教材也称为纳纳什解什解。 对定理对定理4.3.2进行分析：根据该定理，对进行分析：根据该定理，对 有有 。若取等号，即有：若取等号，即有： （4.3.13） 上式右端是一个常数，因此上式上式右端是一个常数，因此上式是是 上的一条直线，

45、对于任意上的一条直线，对于任意 中的中的点点 都在该直线的左下方。都在该直线的左下方。45博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）46 当结果集当结果集 的边界是光滑的，该直线是的边界是光滑的，该直线是 的切线，且切点在点的切线，且切点在点 。再从（。再从（4.3.134.3.13）式看，该直线的斜率为：）式看，该直线的斜率为： 而连接而连接 和和 直线斜率为直线斜率为 ，正好是上式的，正好是上式的相反数相反数 同时，同时， 反映了在谈判过程中，两个局中人可以接受的反映了在谈判过程中，两个局

46、中人可以接受的效用转换率效用转换率。 当两个局中人在谈判中的当两个局中人在谈判中的效用转换率为效用转换率为1：1时时，（，（ ）问题变）问题变得更简单。例如，两人谈判得更简单。例如，两人谈判 问题的结果集在直线问题的结果集在直线 的左下方。的左下方。三个定理的说明三个定理的说明46博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）47 若初始参考点为若初始参考点为 ，则纳什谈判解为，则纳什谈判解为 根据公理根据公理3，讨价还价问题，讨价还价问题 的解的解 一定在的子集一定在的子集 上。因为上。因为 是

47、凸的，因此是凸的，因此 是这些是这些 的点：不存在一个的点：不存在一个 ，使得，使得 并且并且 。我们称。我们称 为为 帕累托最优边界。帕累托最优边界。 图图4.3.3 图图4.3.447博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）48 定理定理4.3.2给出了初始参考点和纳什谈判解点之间特给出了初始参考点和纳什谈判解点之间特殊的关系。初始参考点与纳什谈判解的连线的斜率与过殊的关系。初始参考点与纳什谈判解的连线的斜率与过该谈判点的该谈判点的 的支撑线的斜率互为相反数。如果的支撑线的斜率互为相反数

48、。如果 的的帕累托最优边界是光滑的，那么这条支撑线其实就是过帕累托最优边界是光滑的，那么这条支撑线其实就是过谈判点谈判点 的切线。如图的切线。如图4.3.3所示，若所示，若T是初始参考点，是初始参考点，P是纳什谈判解，则是纳什谈判解，则TP的斜率与过的斜率与过P点点 的切线的斜率的切线的斜率互为相反数。在互为相反数。在TP上任意一点上任意一点U作为初始谈判点，其纳作为初始谈判点，其纳什谈判解仍是什谈判解仍是P点。点。 48博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）49 对于双矩阵博弈来说，对于

49、双矩阵博弈来说， 是一个封闭的有限的多边形，是一个封闭的有限的多边形，其帕累托最优边界其帕累托最优边界 为折线为折线ABCD，如图，如图4.3.4所示。若所示。若 的斜率等于的斜率等于BC斜率的相反数，则对斜率的相反数，则对 上任一点上任一点U，作为初，作为初始谈判点，那么它们的纳什谈判解都是始谈判点，那么它们的纳什谈判解都是 。对于像过。对于像过C点在点在 上，左右上，左右“切线切线”的斜率不相等的点，则若初始谈判点在的斜率不相等的点，则若初始谈判点在 （斜率等于过（斜率等于过C点在点在 上左上左“切线切线”的斜率的相反数）上，的斜率的相反数）上， 在在 （斜率等于过（斜率等于过C点在点在

50、上右上右“切线切线”的斜率的相反数）的斜率的相反数）上或在它们与上或在它们与 所围的区域之内，对应的纳什谈判解仍是所围的区域之内，对应的纳什谈判解仍是C点。点。49博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）50例题例题4.3.1 例例4.3.1 设有一雇员为公司老板打工，若雇员打工后可为公设有一雇员为公司老板打工，若雇员打工后可为公司一年盈利司一年盈利10万元，而雇员不打工，则无盈利，那么对这万元，而雇员不打工，则无盈利，那么对这10万万元盈利应如何分配？元盈利应如何分配？ 假设雇员本人总共有

51、资产价值假设雇员本人总共有资产价值10万元，若能分到盈利万元，若能分到盈利 ，他所增加的效用为他所增加的效用为 ，令，令 ， 为为大于大于0的一个常数。很容易验证：的一个常数。很容易验证： ，表明雇员是，表明雇员是穷人，具有穷人，具有风险规避风险规避的特点。公司老板是富有的，如他能分到的特点。公司老板是富有的，如他能分到盈利盈利 ，他所增加的效用为，他所增加的效用为 。50博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）51 公司老板和雇员对盈利公司老板和雇员对盈利10万元分配进行谈判，谈判的初始参

52、考点万元分配进行谈判，谈判的初始参考点为为 ，即公司老板不雇工，对老板和雇员的增加效用均，即公司老板不雇工，对老板和雇员的增加效用均为为0，且，且 。则有。则有 （4.3.15） 则结果集则结果集 为下图所示，其中为下图所示，其中 的右上曲线（即帕累托最优的右上曲线（即帕累托最优边界边界 ）为）为 。例题例题4.3.14.3.151博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）52 利用定理利用定理4.3.14.3.1，计算，计算 在在 上的极大值，可以得到上的极大值，可以得到 满足下式满足下式

53、经计算，经计算， 万元。即公司老板分配得万元。即公司老板分配得 万元，而雇员分得万元，而雇员分得 万元。万元。 具有风险规避的雇员在谈判中并无优势。具有风险规避的雇员在谈判中并无优势。例题例题4.3.14.3.152博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）53例题4.3.2 例例4.3.2 考虑下面的双矩阵博弈考虑下面的双矩阵博弈 若两个局中人能通过契约进行合作，那么对合作的收益应如何分配，即若两个局中人能通过契约进行合作，那么对合作的收益应如何分配，即纳纳什谈判解什谈判解是什么？是什么？

54、先求纳什均衡以将其作为谈判初始参考点。先求纳什均衡以将其作为谈判初始参考点。 唯一的纳什均衡为：唯一的纳什均衡为： 纳什均衡结果为纳什均衡结果为 可达集可达集 为为 中（中（6，1），（），（1，3），（），（2，4）和（）和（4，1）四个结果点）四个结果点围成的凸集围成的凸集 ，见下图。，见下图。53博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）54 帕累托边界：（帕累托边界：（2，4）和（）和（6，1）两点连成的线段。很容易求得该直线方）两点连成的线段。很容易求得该直线方程为：程为： 纳什谈判

55、解的求解：纳什谈判解的求解： 方法方法1 1 根据定理根据定理4.3.1求解：求解： 由于纳什谈判解具有由于纳什谈判解具有 中的帕累托最优性，因此纳什谈判解中的帕累托最优性，因此纳什谈判解 一定在（一定在（4.3.16）表示的直线上。由（）表示的直线上。由（4.3.16）可以得：）可以得：代入（代入（4.3.17）式）式 得出得出 ，代回到，代回到 ，得到，得到 。 54博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）55 于是于是纳什谈判解纳什谈判解为：为： 方法方法2 2 根据定理根据定理3.4

56、.2，可达集，可达集 在点在点 切线的斜率与连接切线的斜率与连接 和和 两点的直线的斜率互为相反数。两点的直线的斜率互为相反数。 可达集可达集 在在 点的切线即为（点的切线即为（4.3.16）表示的直线，斜率为）表示的直线，斜率为 。 连接和两点直线斜率为：连接和两点直线斜率为： 则则 （4.3.18）55博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）56 将上式化简，有：将上式化简，有： 再由纳什谈判解具有帕累托最优性，即再由纳什谈判解具有帕累托最优性，即 在直在直线（线（4.3.16）上，则纳

57、什谈判解是下面方程组的解：）上，则纳什谈判解是下面方程组的解： （4.3.19） 求解可得求解可得纳什谈判解纳什谈判解为：为： （4.3.20）56博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）574.4 初始参考点和其它谈判解4.4.1 初始参考点初始参考点4.4.2 其它谈判解其它谈判解57博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）584.4.1 初始参考点 几个初始参考点的介绍几个初始参考点

58、的介绍 例例4.4.1 利用不同初始参考点求解纳利用不同初始参考点求解纳 什谈判解什谈判解 58博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）59几个初始参考点的介绍谈判问题的初始参考点：谈判问题的初始参考点： 1. 保守收益点保守收益点。即用（。即用（4.3.1）式和（）式和（4.3.2）式求）式求 ； 2. 纳什均衡结果纳什均衡结果。即在例。即在例4.3.2中，先取纳什均衡，然后采用中，先取纳什均衡，然后采用纳什均衡结果去求纳什均衡结果去求 。 在例在例4.3.1中，采取的是保守收益点方法确定

59、中，采取的是保守收益点方法确定 。 3 其它几种求初始参考点方法。其它几种求初始参考点方法。59博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）60 设结果集或可达集设结果集或可达集 是一个有界凸集。是一个有界凸集。 是一个事先是一个事先给出的初始参考点，结合下图先给出一些记号：给出的初始参考点，结合下图先给出一些记号： （4.4.1） （4.4.2） （4.4.3） （4.4.4） （4.4.5） （4.4.6）图图4.4.14.4.160博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及

60、其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）61 定义4.4.1 设设 是平面是平面 上的凸集，上的凸集， 称为称为 的的理想点理想点。 定义4.4.2 设设 是平面是平面 上的凸集，上的凸集， 称为称为 的的最小期望点最小期望点。 定义4.4.3 设设 是平面是平面 上的凸集，点上的凸集，点 称为称为 的的最小妥协点最小妥协点。 定义4.4.4 设设 是平面是平面 上的凸集，由上的凸集，由 ， 和和 所围成所围成矩形称为含矩形称为含 的最小矩形。其对角线交点称的最小矩形。其对角线交点称最小矩阵的中心。最小矩阵的中心。 61博弈论及其应用（汪贤裕）博博

61、弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）62纳什谈判解初始参考点除了前面介绍的纳什谈判解初始参考点除了前面介绍的1和和2之外还可以有之外还可以有下列的选取法：下列的选取法：3. 采用采用 的的最小期望点最小期望点作为新的初始参考点；作为新的初始参考点；4. 采用采用 的的最小妥协点最小妥协点作为新的初始参考点；作为新的初始参考点；5. 包含包含 的的最小矩形的中心最小矩形的中心作为新的初始参考点。作为新的初始参考点。 62博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博

62、弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）63例4.4.1 例例4.4.1 设有一凸集，由曲线设有一凸集，由曲线 和和 围成。记围成。记(1) 为为初始参考点初始参考点， 为纳什谈判解；（为纳什谈判解；（2） 为为最小期望点最小期望点， 为以为以 为初为初始参考点所得的纳什谈判解；（始参考点所得的纳什谈判解；（3） 为为最小妥协点最小妥协点， 为以为以 为初始参为初始参考点所得的纳什谈判解；（考点所得的纳什谈判解；（4） 为含为含 的的最小矩阵的中心最小矩阵的中心， 为以为以 为为初始参考点所得的纳什谈判解。初始参考点所得的纳什谈判解。 经计算有：经计算有： 。 则得到则得到不同的纳什谈判

63、解不同的纳什谈判解：分别如右图所示。分别如右图所示。63博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）644.4.2 其它谈判解 R-K-S谈判解谈判解 R-K-S谈判解的公理体系谈判解的公理体系 定理定理4.4.4 谈判解的唯一性定理谈判解的唯一性定理 例题求解例题求解64博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）65R-K-S谈判解 R-K-S谈判解谈判解（ Raiffa-Kalai-Smor

64、odinsky bargaining solution ）,它由它由 Raiffa（1957）提出，而由）提出，而由 Kalai和和 Smorodinsky对该模型进行公理化。对该模型进行公理化。 设两人谈判问题的可达集设两人谈判问题的可达集H为凸集，为凸集， 为初始参考点，为初始参考点， 是是H的的理想点。作一条连接理想点。作一条连接 和和 的直线，该直线与可达集的直线，该直线与可达集H的边界的边界相交交点相交交点 称为称为R-K-S谈判解谈判解 设设2人谈判解的可达集人谈判解的可达集H是是一个凸集，一个凸集， 为谈判的为谈判的初始参考点，两个局中人可初始参考点，两个局中人可接受的接受的R-

65、K-S谈判解结果为谈判解结果为 ，令令 。 65博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）66R-K-S谈判解的公理体系 公理公理1（个体合理性）（个体合理性） ；公理公理2（可行性）（可行性） ；公理公理3（帕累托最优性）（帕累托最优性）若有若有 ，且，且 ，则一定有：，则一定有： ；公理公理5（线性变换的无关性）（线性变换的无关性）设设D是由线性变换从是由线性变换从H得到，即得到，即 如果如果 ，则一定有：，则一定有：公理公理6（对称性）（对称性）若若 ，必有，必有 ，则当，则当 ，则，则

66、 有：有： 。公理公理7（单调性）（单调性）若若 ，则，则 66博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）67 定义定义4.4.54.4.5 满足上述满足上述 Kalai和和 Smorodinsky提出公理体系下的提出公理体系下的 ，称为，称为R-K-S谈判解谈判解。67博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）68定理4.4.4 谈判解的唯一性定理 设二人谈判问题的结果集设二人谈判问题的结果

67、集H为凸集，为凸集， 为谈为谈判的初始参考点，则存在唯一满足上述公理体系判的初始参考点，则存在唯一满足上述公理体系的的R-K-S谈判解谈判解 。 在在R-K-S谈判解中，两个人的收益效用转换称为可谈判解中，两个人的收益效用转换称为可自由配置（自由配置（free disposal） 。68博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）69例题求解 我们对例我们对例4.4.1进行进行R-K-S谈判解的计算。在此，我们仍取谈判解的计算。在此，我们仍取 若局中人若局中人1是公司老板，其收益为是公司老板，其

68、收益为 ，增加的效用，增加的效用 。局中人。局中人2为雇员，其收益为为雇员，其收益为 ，在原有，在原有10万元的基础上，其增加的效用为万元的基础上，其增加的效用为 （其中（其中 取取1）。他们对）。他们对10万元盈利进行分配。同前面万元盈利进行分配。同前面分析一样，二人可达集分析一样，二人可达集H如上图所示，其如上图所示，其H的右上曲线函数为：的右上曲线函数为： 。69博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）70 该谈判问题的理想点该谈判问题的理想点 。R-K-S谈判解谈判解可以对下可以对下

69、面方程组求解得到：面方程组求解得到： 其中后一个是连接初始参考点（其中后一个是连接初始参考点（0，0）和理想点）和理想点 的的直线方程。经求解可得直线方程。经求解可得 。即两人谈判的可分配数为：。即两人谈判的可分配数为： （万元），（万元）， （万元）（万元） 70博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）71 对例对例4.4.2进行进行R-K-S谈判解谈判解计算；计算； 该博弈的结果集该博弈的结果集H为为 中（中（6，1），（），（1，3），（），（2，4）和（）和（4，1）4个个结果所围成

70、的凸集，初始参考点仍取为纳什均衡结果点：结果所围成的凸集，初始参考点仍取为纳什均衡结果点： 。 图图4.4.5凸集凸集H的中帕累托边界直线为：的中帕累托边界直线为： 而连接初始参考点而连接初始参考点 和理想点和理想点 的直线为：的直线为： ，因此，因此R-K-S谈判解谈判解为下列方程组为下列方程组的解：的解：经求解：经求解： 71博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）724.5 威胁 例例4.5.1 对纳什谈判解的质疑对纳什谈判解的质疑 有效威胁的两个条件有效威胁的两个条件 纳什建议进行讨

71、价还价的三个步骤纳什建议进行讨价还价的三个步骤 含威胁的纳什讨价还价解求解思路含威胁的纳什讨价还价解求解思路 定理定理4.5.1 均衡威胁策略的存在性定理均衡威胁策略的存在性定理 定理定理4.5.2 纳什仲裁值纳什仲裁值 的唯一性定理的唯一性定理 例例4.5.2均衡威胁策略和纳什仲裁值求解例题均衡威胁策略和纳什仲裁值求解例题72博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）73例4.5.1 对纳什谈判解的质疑 一个工厂的工人有两种选择，要么工作，要么不工作。如果工作，他将得一个工厂的工人有两种选择

72、，要么工作，要么不工作。如果工作，他将得到能够维持他生存的薪水，同时老板能够得到到能够维持他生存的薪水，同时老板能够得到10美元。用（美元。用（0，10）来表示此时）来表示此时工人与老板各自得到的效用。如果他不工作，他将会挨饿，同时老板没有利润，工人与老板各自得到的效用。如果他不工作，他将会挨饿，同时老板没有利润，用（用（-500，0）来表示此时工人与老板各自得到的效用。当然，如果老板愿意的）来表示此时工人与老板各自得到的效用。当然，如果老板愿意的话，他会分一点利润给工人。假定效用是线性转移的，话，他会分一点利润给工人。假定效用是线性转移的， 是是 平面第一象限中包平面第一象限中包括了所有括了

73、所有 的点。明显地，的点。明显地， ，纳什谈判解为，纳什谈判解为 。然而，。然而，纳什谈判解忽视了第二个参与人即老板比他的对手（工人）处于更有利的地位。纳什谈判解忽视了第二个参与人即老板比他的对手（工人）处于更有利的地位。事实上，工人不能阻止老板获得事实上，工人不能阻止老板获得10美元的利润，虽然他可能采用不工作来作为美元的利润，虽然他可能采用不工作来作为威胁，但是以不工作来作为威胁并不可信，因此他只有继续工作以领取能维持威胁，但是以不工作来作为威胁并不可信，因此他只有继续工作以领取能维持他生存的薪水。他生存的薪水。 毫无疑问，上例的提出确实表明了纳什谈判解的不足。因此如何对具有威胁毫无疑问，

74、上例的提出确实表明了纳什谈判解的不足。因此如何对具有威胁的考虑，来修正纳什的解法是我们在本节需要考虑的问题。的考虑，来修正纳什的解法是我们在本节需要考虑的问题。 73博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）74有效威胁的两个条件 满足以下两个条件，满足以下两个条件，威胁威胁才算是有效的：才算是有效的： 第一第一、它必须是可信的；、它必须是可信的； 第二第二、它能够改善威胁者（对被威胁者）的地位。、它能够改善威胁者（对被威胁者）的地位。 74博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博

75、弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）75纳什建议进行讨价还价的三个步骤1参与人参与人1宣布一个威胁策略；宣布一个威胁策略；2参与人参与人2在没有考虑到的情况下，宣布一个威胁策略；在没有考虑到的情况下，宣布一个威胁策略；3参与人参与人1和和2 开始讨价还价谈判。如果他们能够达成一致，则收开始讨价还价谈判。如果他们能够达成一致，则收益按照一致的意见分配（此时不再考虑威胁）。如果不能达成一益按照一致的意见分配（此时不再考虑威胁）。如果不能达成一致，则各自使用他们的威胁策略致，则各自使用他们的威胁策略 和和 。两个参与人的支付由这。两个参与人的支

76、付由这种方式决定。种方式决定。 75博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）76含威胁的纳什讨价还价解求解思路讨论讨论2人双矩阵非合作博弈人双矩阵非合作博弈 在一个在一个2人双矩阵非合作博弈中，局中人人双矩阵非合作博弈中，局中人1和局中人和局中人2的收益的收益矩阵分别为矩阵分别为 和和 。若局中人。若局中人1采用威胁策略：采用威胁策略： 局中人局中人2采用威胁策略采用威胁策略 ，则威胁值，则威胁值 和和 可作为纳可作为纳什谈判过程中的初始参考点什谈判过程中的初始参考点 和和 。于是含威胁的纳

77、什讨价还价。于是含威胁的纳什讨价还价解解 为最大化为最大化 的解：的解： （4.5.1） ， ， 对（对（4.5.1）式的）式的 是最优解，则称是最优解，则称 为为均均衡威胁策略衡威胁策略，称，称 为初始点，称为初始点，称 为纳什为纳什仲仲裁值裁值。 均衡威胁策略是否存在？均衡威胁策略是否存在？76博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）77定理4.5.1 均衡威胁策略的存在性定理 任何一个双矩阵博弈中，至少存在着一个均衡威任何一个双矩阵博弈中，至少存在着一个均衡威胁策略胁策略 。 两个参与

78、人在选择威胁策略时，他们要达到的目两个参与人在选择威胁策略时，他们要达到的目的是冲突的。这是因为，他们的谈判点是在的是冲突的。这是因为，他们的谈判点是在 点上，点上，而而 为为 帕累托最优边界，这就决定了他们的收帕累托最优边界，这就决定了他们的收益是相互冲突的。益是相互冲突的。77博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）78定理4.5.2 纳什仲裁值的唯一性定理 如果如果 和和 都是均衡威胁策略，那么都是均衡威胁策略，那么 和和 也是。而且纳什仲裁值对也是。而且纳什仲裁值对 和和 是相同的。

79、是相同的。78博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）79例4.5.2 求下面双矩阵博弈中的均衡威胁策略和纳什仲裁值求下面双矩阵博弈中的均衡威胁策略和纳什仲裁值 在双矩阵博弈中，在双矩阵博弈中， ，其中，其中 ，分别是双矩阵中的四个点（如图，分别是双矩阵中的四个点（如图4.5.1所示）。不难得出，混合策略的纳什所示）。不难得出，混合策略的纳什均衡为（均衡为（0.5，0.5），对应的纳什均衡结果为），对应的纳什均衡结果为 。由于的帕累托最优边界为。由于的帕累托最优边界为 ， 再根据上一节的解法

80、可知，再根据上一节的解法可知，纳什谈判解纳什谈判解为为 。79博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）80 均衡威胁策略均衡威胁策略和和纳什仲裁值的讨论纳什仲裁值的讨论最优威胁策略的求解。考虑到：最优威胁策略的求解。考虑到： 进行矩阵博弈分析，其纳什均衡点为进行矩阵博弈分析，其纳什均衡点为 ，博弈的值为，博弈的值为 -2。即。即 为为均衡威胁策略均衡威胁策略，而，而 。在可转移效用情况下。在可转移效用情况下以及两个局中人的最优收益为以及两个局中人的最优收益为 。采用（。采用（4.5.2）和）

81、和（4.5.3）式有：）式有： 即即纳什仲裁值纳什仲裁值为为 。80博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用博弈论及其应用（汪贤裕）（汪贤裕）81 若采用若采用R-K-S谈判解谈判解计算：计算： 理想点为理想点为 。连接（。连接（1，4）和（）和（4，1）是可达集的帕）是可达集的帕累托边界，其直线方程为累托边界，其直线方程为 。连接。连接 和理想点（和理想点（4，4）的直线方程为）的直线方程为 。求解：。求解： 有威胁有威胁的情况下的的情况下的R-K-S谈判解谈判解 。81博弈论及其应用（汪贤裕）博博弈论及其应用（汪贤裕）博弈论及其应用（汪贤裕）弈论及其应用（汪贤裕）