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1、学而不思则惘,思而不学则殆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆评卷人得分一、填空题(题型注释)1.设点P为函数axxxf221)(2与2( )3ln2g xaxb)0(a图象的公共点,以P为切点可作直线l与两曲线都相切,则实数b的最大值为答案及解析:1.3243e2.若函数( )(1)xf xmxe在(0,)上单调递增,则实数m的取值范围是答案及解析:2.1,3.若曲线3xy在点( 1,1 )处的切线和曲线2109yaxx也相切,则实数a的值为答案及解析:3.474.若函数( )(1)xf
2、xmxe在(0,)上单调递增,则实数m的取值范围是答案及解析:4.1,5. 若幂函数)(xf的图象经过点)21,41(A,则它在A点处的切 线方程为答案及解析:5.0144yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆6.已知函数fx的定义域为15 ,,部分对应值如下表, fx的导函数yfx的图象如图所示 . 下列关于fx的命题:函数fx的极大值点为0,4;函数fx在0 2,上是减函数;如果当1x,t时,fx的最大 值是 2,那么t的最大值为4;当12a时,函数yfxa有4个零点;函数yfxa的零
3、点个数可能为0、1、2、 3、4 个其中正确命题的序号是答案及解析:6. 7.曲线324yxx在点(1,3)处的切线的倾斜角为答案及解析:7.48.直线yexb(e为自然对数的底数)与两个函数( )xf xe,( )lng xx的图象至多有一个公共点,则实数b的取值范围是答案及解析:8. 2,09.已知函数),()(23Rbabxaxxxf的图象如图所示,它与x 轴在原点处相切,且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为121,则 a 的值为x1 0 4 5 fx1 2 2 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共
4、41 页学而不思则惘,思而不学则殆答案及解析:9.-1 10.已知函数3( )2 ,f xxx xR,若不等式(cos )(sin)0f mf m,当0,2时恒成立,则实数m的取值范围是答案及解析:10.1m11.若直线bxy与函数xy1图象的切线垂直且过切点,则实数b答案及解析:11.略12.过原点向曲线axxy232可作三条切线,则实数a的取值范围是答案及解析:12.略13.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线xbaxy2(a,b 为常数 )过点)5,2(P,且该曲线在点 P处的切线与直线0327yx平行,则ba的值是 . 答案及解析:13. 精选学习资料 - - - - - - - - -
5、 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆14.点 P在曲线323xxy上移动,设在点P处的切线的倾斜角为为,则的取值范围是答案及解析:14.15.设二次函数f(x)ax2bxc(a ,b,c 为常数 ) 的导函数为f (x) 对任意x R,不等式 f(x)f (x) 恒成立,则222cab的最大值为答案及解析:15.2 22【答案】16. 已知 M是曲线 yln x 12x2(1 a)x 上任意一点,若曲线在M点处的切线的倾斜角是均不小于4的锐角,则实数a 的取值范围是_答案及解析:16.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
6、归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆17.函数12lnyxx的单调减区间为答案及解析:17.(0,) 18.已知函数2( )1bxcf xax(a,b,c R ,a 0 )是奇函数,若f(x) 的最小值为12,且 f(1) 25,则 b的取值范围是答案及解析:18.(19.已知 f(x)=过 A(1,m) 可作曲线的三条切线,则m的取值范围是 . 答案及解析:19.(-3,-2) 20.设曲线1 exyax在点01()A xy,处的切线为1l,曲线1exxy在点02()B xy,处的切线为2l若存在030,2x,使得12ll,则实数a的取值范围
7、是答案及解析:20.312, 21.从x轴上一点A分别向函数3( )f xx 与函数332( )|g xxx引不是水平方向的切线1l 和2l ,两切线1l 、2l 分别与y轴相交于点B和点 C , O 为坐标原点,记OAB 的面积为1S ,OAC 的面积为2S ,则12SS 的最小值为答案及解析:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆21.8评卷人得分二、解答题(题型注释)22.(本小题满分16 分)设函数32( )3f xxxax()aR. (1)当9a时,求函数( )f x 的极大值;(2
8、)若函数( )f x 的图象与函数xxxln)(的图象有三个不同的交点,求a的取值范围;(3)设( )|( )|g xf x,当0a时,求函数( )g x 的单调减区间答案及解析:22.(1)当9a时,由2( )3693(3)(1)fxxxxx=0,得3x或1x, 2分列表如下:所以当1x时,函数( )f x取得极大值为 5. 4分(2)由( )lnf xxx ,得323lnxxaxxx,即23lnaxxx , 6 分令2( )3lnh xxxx ,则12(1)(21)( )23xxh xxxx,列表,得x1(0,)2121(,1)21 (1,)( )fx0 0 ( )f x递减极小值5ln
9、24递增极大值2 递减 8x(, 1)1 ( 1,3)3 (3,)( )fx0 0 ( )f x递增极大递减极小递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆分由题意知,方程( )ah x 有三个不同的根,故a的取值范围是5(ln 2,2)4. 10分(3)因为22( )36313fxxxaxa,所以当3a时,( )f x 在 R上单调递增;当 03a时,( )0fx的两根为 113a,且 01111133aa,所以此时( )f x 在 (,11)3a上递增,在(11,11)33aa上递减,在(1
10、1,)3a上递增;12 分令( )0f x,得0x,或230xxa(* ),当94a时,方程( *)无实根或有相等实根;当904a时,方程( *)有两根3924a , 13分从而当3a时,函数( )g x的单调减区间为(,0); 14分当934a时,函数( )g x的单调减区间为(,0), (11,11)33aa; 15分当904a时,函数( )g x的单调减区间为(,0),39(11,)3 24aa , 39(11,)3 24aa 16分23.(本小题满分16 分)如图所示,某人想制造一个支架,它由四根金属杆,PH HA HB HC构成,其底端三点,A B C均匀地固定在半径为3m的圆O上(
11、圆O在地面上),,P H O三点相异且共线,PO与地面垂直 . 现要求点P到地面的距离恰为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆3 3m,记用料总长为LPHHAHBHC,设HAO(1)试将L表示为的函数,并注明定义域;(2)当的正弦值是多少时,用料最省?答案及解析:23.(1)因PO与地面垂直,且AOBOCO,则,AOHBOHCOH是全等的直角三角形,又圆O的半径为 3,所以3tanOH,3cosAHBHCH, 3分又3 33tanPH,所以93 33tancosL, 6分若点,P H重合,则
12、tan3,即3,所以(0,)3,从而93 33tancosL,(0,)3. 7分(2)由( 1)知93sin3 33tan3 33coscosL,所以23sin13cosL,当0L时,1sin3,11分O P H A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆令01sin3,0(0,)3,当0(,)3时,0L;当0(0,)时,0L;所以函数L 在0(0,)上单调递减,在0(,)3上单调递增, 15分所以当0,即1sin3时, L 有最小值,此时用料最省. 16 分24.(文科学生做)设函数
13、2( )(2)1xaf xax. (1)用反证法证明:函数( )f x不可能为偶函数;(2)求证:函数( )fx在(, 1)上单调递减的充要条件是2a. 答案及解析:24. (1) 假设函数( )f x是偶函数, 2分则( 2)(2)ff,即4413aa,解得2a,4分这与2a矛盾,所以函数( )f x不可能是偶函数. 6分(2) 因为2( )1xaf xx,所以22( )(1)afxx. 8分充分性:当2a时,22( )0(1)afxx,所以函数( )f x在(, 1)单调递减; 10分必要性:当函数( )f x在(, 1)单调递减时,有22( )0(1)afxx,即2a,又2a,所以2a.
14、 13分综合知,原命题成立. 14分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆(说明:用函数单调性的定义证明的,类似给分;用反比例函数图象说理的,适当扣分)25.(本小题满分16 分)设函数axxxxf233)()aR. (1)当9a时,求函数)(xf的极大值;(2)当3a时,试求函数)(xf的单调增区间;(3)若函数)(xf的图象与函数xxxln)(的图象有三个不同的交点,求a的取值范围. 答案及解析:25.(1)当9a时,由2( )3693(3)(1)fxxxxx=0,得3,1xx, 2分列
15、表如下:所以当1x时,函数( )f x取得极大值为 5. 4分(2)因为2( )36fxxxa,当3a时,方程( )0fx有相异两实根为113a,令( )0fx,得113ax或113ax,7 分所以函数( )f x的递增区间为(,11)3a, (11,)3a. 10 分(3)由( )lnf xxx ,得323lnxxaxxx,即23lnaxxx , 12分令2( )3lnh xxxx ,则12(1)(21)( )23xxh xxxx,列表,得x1(0,)2121(,1)21 (1,)( )fx0 0 ( )f x递减极小值递增极大值递减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
16、总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆5ln 242 14分由题意知,方程( )ah x 有三个不同的根,故a的取值范围是5(ln 2,2)4. 16分26.为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD ( AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM 与 HN均为米,6GEMHFN,AE ,EG ,HF,FC的造价均为每米1 万元, GH的造价为每米2 万元,设 MN 与 AB所成的角为(0,4),天桥的总造价(由AE ,EG ,GH , HF ,FC五段构成, GM 与 HN忽略不计)为W万元( 1)试用
17、表示 GH的长;( 2)求 W关于 的函数关系式;(3)求 W 的最小值及相应的角答案及解析:26.(1)由题意可知MNP= ,故有 MP=60tan ,所以在RtNMT 中,(2)=(3)设(其中,则令 f ()=0 得 12sin =0,即,得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆列表f ( )+ 0 f ()单调递增极大值单调递减所以当时有,此时有答:排管的最小费用为万元,相应的角27.( 本小题满分16 分) 设函数xxfxaka(0a,且1a1)是定义域为R的奇函数(1)求实数k的
18、值;( 2)若23)1(f用定义证明:( )fx是单调增函数;设( )( )222xxg xaafx-=+-,求( )g x在)1,+ ?上的最小值答案及解析:27.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆28.(本小题满分16 分)已知函数af(x) = lnxx.(1) 当 a0 时,判断f(x)在定义域上的单调性;(2) 若 f(x)在1 ,e 上的最小值为32,求实数 a 的值;(3) 若 f(x)0 时,f (x) 0,则 f(x) 在定义域 (0 ,+) 上是增函数,(2)2xaf
19、 (x)0x,解得 x=a,则 当 a 1,f (x) 0 f(x)在 1 ,e 上是增函数,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆此时, f(x)min= f(1)=a=1.5 ,而 a=1.5 不符合题意;当 1 a e 时,即 ea 1 时,当 x1 , a 时,f (x) 0,此时, f(x)是增函数,所以f(x)在 x=a 时,取得极小值且极小值为f( a)=ln(a)+1,由题意得,f( a)=1.5得ae符合题意; 6 分当 a e 时,即 ae 时,f (x) 0 f(x)在
20、1 ,e 上是减函数,此时,mina3f(x)= f(e)1e2,则ea2不符合题意,所以,所求a 的值为ae. (3) 若 f(x)x2在(1 ,+) 上恒成立 2aln xxx在(1 ,+) 上恒成立 axlnx x3在(1, +) 上恒成立, 10 分设 g(x)= xlnx x3,h(x)= g (x)=1+lnx3x2,则2116xh (x)6x0xx(x1) ,h(x) 在(1,+) 上是减函数,h(x) h(1)=2,即 g(x)0 ,g(x) 在(1 ,+ )上是减函数,g(x)110,又1()0f x,()0()fxf x-=12, 由( )fx在,)(0上为减函数可知21x
21、x. 即120xx -16分42.已知函数1( ),( )lnxf xkeg xxk,其中0k若函数( ),( )f xg x在它们的图象与坐标轴交点处的切线互相平行(1)求k的值;(2)是否存在直线l,使得l同时是函数( ),( )f xg x的切线?说明理由(3)若直线(0)xa a与)(xf、( )g x的图象分别交于A、B两点,直线(0)yb b与( )h x的图象有两个不同的交点C、D记以A、B、C、D为顶点的凸四边形面积为S,求证:2S答案及解析:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 41 页学而不思则惘,思而不
22、学则殆42.(1)( ),( )f xg x与坐标轴的交点分别为(0,),(1,0)k,由1( ),( )lnxfxkeg xxk得1( ),( )xfxkeg xkx,由题意知(0)(1)fg,即1kk,又0k,所以1k 2 分(2)假设存在直线l同时是函数( ),( )f xg x的切线,设l与( ),( )f xg x分别相切于点( ,),( ,ln)mM m eN nn(0n),则:()mmlyeexm或表示为1ln()ynxnn,则1(1)ln1mmenemn,要说明l是否存在,只需说明上述方程组是否有解4 分由1men得mne,代入(1)ln1memn得(1)1memm,即(1)1
23、0memm,令()(1)1mh memm,因为2(1)20, (2)30hhe,所以方程(1)10memm有解,则方程组有解,故存在直线l,使得l同时是函数( ),( )fxg x的切线 8 分(3)设00(,)xA x e,00(,ln)B xx,则00lnxABex,设00( )lnxF xex,001( )( )xG xFxex,0201( )0xG xex,即( )G x在(0,)上单调递增,又1()20,(1)102GeGe,故( )G x在(0,)上有唯一零点,设为1(,1)2t,则10tet,因此1,lntettt,当(0, )xt时,( )( )( )0FxG xG t,( )
24、F x在(0, ) t上单调递减;当( ,)xt时,( )( )( )0FxG xG t,( )F x在( ,)t上单调递增,因此1( )( )lntF xF tettt,由于1(,1)2t,1( )2F xtt,则00ln2xABex14 分设1122(,),(,ln)xC x eD xx,则12lnxex,令12lnxexu,则12ln ,uxu xe,21ln( )2uCDxxeuF u,故112 2222SAB CD-16分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆43.设函数( )(1
25、)1xf xx e( 1)证明:当0x时,( )0f x;(2)设111,1aannnaa ee,证明对任意的正整数n,总有1nnaa答案及解析:43.证明 : (1)( )(1)xxxfxex exe,当0x时,( )0fx,所以函数( )f x在(0,)上单调递减,因此( )(0)0f xf 2 分(2)首先用数学归纳法证明0na当1n时,110a,0na成立假设nk时,0ka那么当1nk时,11ananneea4 分当0x时,由熟悉的不等式1xex得11xex(可以用导数证明)所以111,0annea由可知对任意的正整数n,总有0na由( 1)知(1)10nana e,所以1nnaane
26、a e由11aannna ee知1annanna ea e,所以1nnaa 10 分44.设0,a函数21( )f xxa. (1)证明:存在唯一实数01(0,)xa,使00()f xx;(2)定义数列11:0,(),nnnxxxf x*nN对( 1)中的0x,求证 : 对任意正整数n都有2102nnxxx; 答案及解析:44.(1) 解:有321( )10f xxxaxxa令3( )1g xxax由2311( )30,(0)10,()0g xxaggaa所以有且只有一个实数01(0,)xa,使00()f xx;5 分(2)( 数学归纳法 ) 证:2102nnxxx.证明 : 1201210,
27、(,)xxxxxa; 假设2102(1)kkxxxk由21( )f xxa递减性得:2102()()(), (1)kkf xf xf xk即2021(1)kkxxxk又202121022()()()kkkkf xf xf xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆所以1nk时命题成立所以2102nnxxx对*nN成立 . 10 分45. 已知函数xxxfee)(,其中 e 是自然对数的底数. (1)证明 :)(xf是 R 上的偶函数;(2)若关于x的不等式)( xmf1emx在),0(上
28、恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在), 1 0x,使得)3()(0300xxaxf成立 .试比较1ea与1ea的大小,并证明你的结论. 答案及解析:45. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆46.(本小题满分16 分)已知函数( )()()f xx xaxb ,其中 0ab(1)设函数( )yf x 在点( )A s f s,( )B t f t,处取得极值,且st求证: 0satb ;线段AB的中点 C 在曲线( )yf x 上;(2)若22ab,问:过原点且与曲线
29、( )yf x 相切的两条直线是否垂直,并说明理由答案及解析:46.1)依题意,s,t()st 为方程2( )32()0fxxab xab的两个实根,而(0)0fab,( )()0faa ab,( )()0fbb ba,故( )0fx在区间 (0)a,和 ()a b,内各有一个实根,所以 0satb ;由得,2()3abst,3abst,因为3322342( )( )()()()()273f sf tstabstab stabab ab ,321()()23273stabffabab ab ,所以( )( )f sf t22stf,即证线段AB的中点 C 在曲线( )yf x 上;( 2)过原
30、点且与曲线( )yf x 相切的两条直线不垂直,理由如下:设过曲线( )yf x 上一点00P xy,的切线方程为:2000032()()yyxab xabxx,因为切线过原点,所以2000032()yxxab xab,又0000()()yxxaxb ,所以200032()xxab xab000()()xxa xb ,解得00x,或02abx,当00x时,切线的斜率为ab ;当02abx时,切线的斜率为2()4abab;因为 0ab,且2 2ab,所以两条切线斜率之积为:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页,共 41 页学而不思
31、则惘,思而不学则殆ab22222()1()()()2(1)1144abababab abababab,所以过原点且与曲线( )yf x 相切的两条直线不垂直47.(本小题满分16 分)设a是实数,函数f(x) ax2(a1)x2lnx(1)当a1 时,求函数f(x) 的单调区间;(2)当a2 时,过原点O作曲线yf(x) 的切线,求切点的横坐标;(3)设定义在D上的函数yg(x) 在点P(x0,y0) 处的切线方程为l:yh(x) ,当xx0 时,若在D内恒成立,则称点P为函数yg(x) 的“巧点”当a14时,试问函数yf(x) 是否存在“巧点”?若存在,请求出“巧点”的横坐标;若不存在,说明
32、理由答案及解析:47.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆48.已知函数 f(x)lnx mx(m R)(1)若曲线y f(x) 过点 P(1, 1) ,求曲线yf(x)在点 P处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间 1 ,e 上的最大值;(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证: x1x2e2答案及解析:48.【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆函数的最小值大于
33、零,即可得证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆(3)不妨设120xx 因为120fxfx,所以1122ln0ln0xmxxmx ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆49. 已知函数f(x)x3ax2a2x2,aR. (1) 若 a0 时,试求函数yf(x)的单调递减区间;(2) 若 a0,且曲线yf(x)在点 A、B(A、B不重合 ) 处切线的交点位于直线x2 上,证明: A、B两
34、点的横坐标之和小于4;(3) 如果对于一切x1、x2、x30,1,总存在以f(x1) 、f(x2) 、 f(x3) 为三边长的三角形试求正实数a 的取值范围答案及解析:49.(1) 函数 f(x) 的导函数f (x) 3x22axa23(x a) 3ax. 因为 a 0,由 f (x) 0,解得3ax a. 所以函数yf(x)的单调递减区间为3aa.(3分) (2) 当 a0 时, f(x)x32. 设在点 A(x1,x312) , B(x2,x322) 处的切线交于直线x2 上一点 P(2, t) 因为 y 3x2,所以曲线yf(x) 在点 A处的切线斜率为k3x21,所以,在点A处的切线方
35、程为y(x312)3x21(x x1) 因为切线过点P,所以 t (x312) 3x21(2 x1) ,即 2x316x21(t 2) 0. 同理可得x326x22(t 2)0.(5分) 两式相减得2(x31 x32) 6(x21x22) 0. 即(x1x2)(x21x1x2x22) 3(x1x2)(x1x2) 0. 因为 x1x20,所以 x21x1x2x223(x1x2) 0. 即(x1x2)2x1x23(x1x2) 0.(7 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆单调递增50.(
36、本小题满分16 分) 已知函数( )lnf xxax,a为常数 . (1)若函数( )f x在1x处的切线与x轴平行,求a的值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆(2)当=1a时,试比较fm与1fm的大小;(3)若函数( )f x有两个零点1x、2x,试证明212x xe. 答案及解析:50.(1)1( )fxax,由题(1)1=0fa,1a4 分(2)当=1a时,( )lnfxxx,11( )1xf xxx,当01x时,( )0fx,( )f x单调递增,当1x时,( )0fx,( )
37、f x单调递减由题,令1111ln(ln)2lnh mfmfmmmmmmmm,则2222212111=0mmmh mmmmm7分又10h,当01m时,0h m,即1fmfm;当=1m时,=0h m1=fmfm;当1m时,0h m即1fmfm10分(3)11ln0xax,22ln0xax,1212lnlnxxa xx,1212lnlnxxa xx,1212lnln=xxaxx,12分欲证明212x xe,即证12lnln2xx,因为1212lnlnxxa xx,所以即证122axx,所以原命题等价于证明121212lnln2xxxxxx,即证:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆1212122lnxxxxxx12xx,令12=xtx,则1t,设21ln1tg ttt1t,222114011tgtttt t,所以g t在1 +,单调递增,又因为1 =0g,所以10g tg,所以21ln1ttt,所以212x xe16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页,共 41 页学而不思则惘,思而不学则殆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页,共 41 页